1
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp
xếp thứ tự, ký hiệu (x
1
, x
2
,… x
n
) (x
i
 R, i = 1, n)
được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n -
chiều được ký hiệu là R
n
.
R
n
= {x = (x
1
, x
2
,… x
n
): x
i
 R, i = 1, n}
Trong đó x
i
là toạ độ thứ i của điểm x.

= y
i
, I  x = y
b) d(x,y) = d(y,x)
c) d(x,y)  d(x,z) + d (z,y)
3
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Điểm biên: Điểm x
0
 R
n
được gọi là điểm biên của D
 R
n
nếu mọi lân cận của x
0
đều chứa ít nhất các
điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D
được gọi là biên của D.
Lân cận: Cho x
0
R
n
và số r > 0. Tập S(x
0
, r) = {x 
R
n
: d(x,x
0

,
x
(
:
f


• D: miền xác định
• f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị
Ví dụ: Tìm miền xác định:
z = 2x – 3y +5
z = ln(x + y -1)
22
yx1z 
Hàm n biến: D  R
n
, một ánh xạ f: D  R được gọi là
hàm số n biến. Ký hiệu:
)
x
,
x
,
x
(
f
z
)
x
,

0
,y
0
), nếu:
 > 0,  > 0: d(M,M
0
) <  => f(M) – L < 
2
0
2
0
0
)y-(y)x-(x)Md(M, 
L
)
M
(
f
lim
0
MM


L
)
y
,
x
(
f

yx
xy
lim


22
2
2
)0,0()y,x(
yx
)yxsin(
lim



7
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x
0
,y
0
) nếu
)
y
,
x
(
f
)
y

0
là hằng số, hàm số một
biến f(x,y
0
) có đạo hàm tại x = x
0
, được gọi là đạo hàm
riêng của f đối với x tại M
0
. Ký hiệu:
)y,x(
x
z
),y,x(
x
f
,)y,x(f
000000
'
x




Đặt 
x
f = f(x
0
+ x, y
0

y




Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến
số (n3).
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:
4234
y2yx5xz 
y
x
u

10
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo
hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp
1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn
tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2.
)y,x(f
x
f
x
f
x
''
xx
2
2








)y,x(f
yx
f
y
f
x
''
xy
2















0
thì f
xy
= f
yx
tại M
0
.
Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng
cấp cao hơn của n biến số (n3)
12
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm
số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có
các đạo hàm riêng u
x
, u
y
, v
x
, v
y
thì tồn tại các đạo hàm
riêng:
x
v
v
f
x
u









Ví dụ: Tính z = e
u
cosv, u = xy, v = x/y
13
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN
Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình
F(x,y) = 0
Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B)
thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0.
Ví dụ: xy – e
x
+ e
y
= 0
14
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:
y
x
F
F

F
F
y
z



Ví dụ: tính z
x
, z
y
nếu xyz = cos(x+y+z)
16
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
4. CỰC TRỊ
Cực trị tự do:
Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại
điểm M
0
(x
0
,y
0
) nếu tồn tại một lân cận  của M
0
sao cho
f(M)  f(M
0
), M   (f(M)  f(M
0

) = 0
17
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại
những điểm thỏa z
x
= z
y
0, ta gọi định thức Hessian:
Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 8,
z = x
3
+ y
3
yyyx
xyxx
zz
z
z
H 
Đặt:
yyyx
xyxx
2 ,xx1
zz
z

ji
xxij
f
f

nn
2
n
1
n
n22221
n11211
n
2221
1211
2111
f ff

f ff
f ff
H,
ff
ff
H,fH 
• Nếu |H
1
|>0, |H
2
|>0,… |H
n


0)y,x(gcL
0gfL
0gfL
yyy
xxx
 là nhân tử Lagrange, điểm M
0
(x
0
,y
0
) của hệ trên gọi là
điểm dừng.
Định lý: Nếu M
0
(x
0
,y
0
) là cực trị có điều kiện trên.
Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với
g’
x
,g’
y
không đồng thời bằng 0 thì:
20
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.




0gcL
0gfL

0gfL
0gfL
nnn
222
111
21
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại
điểm dừng M
0
, xét định thức Hessian đóng:
yyyxy
xyxxx
yx
LLg
LLg
gg0
H 
• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện
• Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện
Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số:
f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x
2
+ y

n
n
n222212
n112111
n21
L LLg

L LLg
L LLg
g gg0
H 
• Nếu |H
2
|<0, |H
3
|<0,… |H
n
|<0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H
2
|>0, |H
3
|<0,… (-1)
n
|H
n
|>0 : z đạt cực đại
23
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z