Giải một số phơng trình vô tỷ
bằng phơng pháp lợng giác hoá

THPT CHUYÊN LO CAI
giothoimai2003
A. Cơ sở lý thuyết.
Phơng pháp lợng giác hoá để giải phơng trình với mục đích thay đổi hình thức của bài toán giải phơng trình
đại số thành việc giải phơng trìn lợng giác.
Ta thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Lợng giác hoá phơng trình theo một số dấu hiệu chủ yếu sau:
*) Nếu xuất hiện: x
2
+ y
2
=1 thì đặt .



=
=


sin
cos
x
y
*) Nếu xuất hiện: x
2
+ y
2
=a




coscos
cossin
sin
az
ay
ax
*) Đặt ẩn phụ lợng giác tuỳ theo điều kiện của phơng trình và đặc thù của
phơng trình( đặt ẩn phụ để có thể áp dụng đợc các công thức lợng giác).
Bớc 2: Thực hiện việc giải phơng trình lợng giác.

B. Bài tập vận dụng.
Bài số 1: Phơng trình sau có bao nhiêu nghiệm:
4x
3
-3x =
2
1 x
(1).
Giải
Điều kiện: 1-x
2
0
x
1 (*). Với điều kiện (*), đặt x = cost, t [ 0;

] (**)
Khi đó phơng trình (1) trở thành: 4cos

ktt







+=
+=



kt
k
t
4
28

D
o điều kiện (**) nên ta có:










8
5
cos
8
cos



x
x
x

Vậy, phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

Bài số 2: Giải phơng trình:
).121(11
22
xxx +=+
(2).
Giải

/2 ;

/2 ] (*) Điều kiện: 1-x
2
0 -1 x 1. Đặt x = sint với t [ -
).sin121(sinsin11
22
ttt +=+
Khi đó phơng trình (2) trở thành:

sin
0
2
cos
t
t
(**). Do điều kiện (*), nên từ (**), ta có:






=
=
2
6


t
t





=
=
1
2

;0(,
cos
1

t
t
(**)
Khi đó phơng trình (3) trở thành:
22
1
cos
1
cos
1
cos
1
2
=

+
t
t
t

22
sin
1
cos
1
=+

2
sin( t +

/4 ) = 1 t +

/4 =

/2 + k2

(***)
Do điều kiện (**), nên từ (***), ta có: t =

/4 x =
2
.
Vậy, phơng trình (3) có nghiệm duy nhất: x =
2
.

Bài số 4: Giải phơng trình: 4.3
3x
3
x+1
=
x
91
(4).
Giải
Điều kiện: 1- 9
x



+=
+=
)(4/
2/8/
lkt
kt



/8 + k

/ 2
(***)
Do điều kiện (**), nên từ (***), ta có: t =

/8.
Ta có: cos

/4 = 2cos
2


/8 - 1 cos

/8 =
2
22 +
.

Bớc 1: Đặt m = cos = cos( k2

);
B
ớc 2: Vì cos = 4cos
3
3

- 3cos
3


x
1
= cos
3

là một nghiệm của phơng trình (5)

2
Tơng tự: x
2,3
= cos
3
2



là nghiệm của phơng trình (5);
Bớc 3: Vậy, phơng trình (5) có ba nghiệm: x


- 3cos
18

. Ta có:
2
3
= cos

/6 = cos(

/6 2

) = cos (
)
6
12



x = cos
18

là một nghiệm của phơng trình (6).
Tơng tự ta cũng đợc x
2,3
= cos (
)
18
12

+1 ) = 1 (7)
Giải
Viết lại pt(7) nh sau:
pt(7) 8x( 2x
2
1)[2(2x
2
1)
2
1] = 1
Ta xét các trờng hợp sau:
+) TH1: Nếu x 1, VT > 1 pt(7) vô no
+) TH2: Nếu x -1, VT < 0 pt(7) vô no
+) TH3: Nếu -1 <x <1: Đặt x= cost với t ( 0;

) (*).
Khi đó pt(7) trở thành: 8cost(2cos
2
t 1)( 2(2cos
2
t 1)
2
1
8cost.cos2t.cos4t = 1 8sint.cost.cos2t.cos4t = sint ( do đk(*) nên sint > 0)
sin8t = sint (**).



+=
+=


/9 }
Vậy, phơng trình (7) có các nghiệm:
x {cos2

/7; cos4

/7; cos6

/7; cos

/9; cos

/3; cos5

/9; cos7

/9 }.

C. Bài tập củng cố.
Giải các phơng trình sau đây:
Bài số 1:
22
1211 xx +=+
. HD: Đặt x = cost, t [0 ;

].
Bài số 2: x
xx
=

Khi đó hãy đa phơng trình về dạng: cost =
2
2

x =
2
2

.
Bài số 5:
012121
22
=+ xxxx
. HD: Đk : -1 x 1. Đặt x = cost, t [0;

]. (*)
Khi đó hãy đa phơng trình về dạng: sin( 2t +

/4 ) = sin ( t/2) t = 3

/10 (do (*)) x = cos(3

/10).
Bài số 6: x+
12
35
1
2
=
x

5/3sin
t
t
⎩
⎨
⎧
=
=
5/3cos
5/4sin
t
t
Bài số 7:
22
2
2
x1 (x1)
x1
2x 2x(1 x )
++
++ =
−
2
HD: §Æt x = tgt,
t ( /2; /2)\{ /4;0}
∈
−π π ±π
. §−a pt vÒ d¹ng:
11 2 1
sin t t x