Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

210

BÀI 8. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

I. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Giả sử
(
)
u u x
=
;
v
=
v(x)
có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có:
•
( ) ( )
d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu
= + ⇔ = + ⇔ = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫⇒

( )

1. Dạng 1:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
ax b
ax b
ax b
ax b
u P x
sin ax b dx
sin ax b dx
cos ax b dx
cos ax b dx
P x
dv
e dx
e dx
m dx
m dx
+
+
+
+

=


( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
m
m
dv P x dx
arcsin ax b dx
arcsin ax b
arccos ax b dx
arccos ax b
arctg ax b dx
arctg ax b
P x
u
arc cotg ax b dx
arc cotg ax b
ln ax b dx
ln ax b
log ax b dx
log ax b

=

+



+


+




∫
(trong đó P(x) là đa thức)
3. Dạng 3:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ax b

m cos x dx
dv x dx
+
+
+
+
+
+



α +β




=



=
α +β





⇒ ⇒



211

III. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:
1. Dạng 1:
( ) ( ) ( )
{
}
∫
ax+b ax+b
P x sin ax + b ;cos ax + b ;e ; m dx

•
∫
3
1
A = x cos x dx
.
Cách làm chậm:
Đặt
3 2
u x du 3x dx
dv cos x dx v sin x
 
= =
 
⇒
 
= =
 
 

= − − +
 
∫
. Đặt
u x du dx
dv cos x dx v sin x
= =
 
 
⇒
 
= =
 
 
.
(
)
( )
3 2 3 2
1
A x sin x 3x cosx 6 xsinx sinxdx x sinx 3x cosx 6 xsin
x cosx c
= + − − = + − + +
∫

Cách làm nhanh:
Biến đổi về dạng
( ) ( ) ( )
∫ ∫
P x L x dx = P x du

cosx c
= + − − = + − + +
∫

•
( ) ( )
3 5 1 3 5 1 5 1 3
1 1
5 5
x x x
x d e x e e d x
− − − −
 
= = −
 
∫ ∫ ∫
3 5x 1
2
A = x e dx( )
( )
( )
3 5x 1 2 5x 1 3 5x 1 2 5x 1
3 5x 1 2 5x 1 5x 1 2 3 5x 1 2 5x 1 5x 1
3 5x 1 2 5x 1 5x 1 3 5x 1 2 5x 1
5x 1 5x 1
1 1 3
x e 3 x e dx x e x d e

3 5x 1 2 5x 1 5x 1 5x 1
1 3 6 6
x e x e xe e c
5 25 125 625
− − − −

= − + − +
 

Nhận xét:
Nếu P(x) có bậc n thì phải n lần sử dụng tích phân từng phần.
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

212

x 0
π
2
/4
t 0
π
/2
•
2
/ 4
∫

A 2 t sin t dt 2 t d cos t 2t cost 2 cos td t 6 t cos t dt
3 3
6 t d sin t 6t sin t 6 sin td t 12 tsin t dt 12 td cos t
2 2
π π π π
π
π π π π
π
= = − = − + =
π π
= = − = − = +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫

2
2 2 2
2 2
0 0
0
3 3 3
12t cos t 12 cos t dt 12sin t 12
2 2 2
π
π π
π π π
= + − = − = −
∫

•
( )

3 1 3 1 sin x 11 3
1 sin x d sin x sin x
48 3 48 3 3 72 48
π
π
 
π π π π
= − + − = − + − = −
 
 
∫

•
( )
∫
1
2 x
5
2
0
x e dx
A =
x + 2
. Đặt
( )
( )
2 x
x
2
u x e

0 0 0
1
1 1
x x x
0 0
0
x e e e
A xe dx xe dx xd e
x 2 3 3
e e e
xe e dx e e 1
3 3 3
= − + = − + = − +
+
= − + − = − + − = −
∫ ∫ ∫
∫

2. Dạng 2:
( )
{
}
m
P x arcsin u;arccos u; arctg u;arc cotg u ; ln u ;lo
g u u ax b dx
= +
∫

•
( ) ( )

e 2x ln x e 2x ln x dx e ln x d x
3 x 3 3 3
     
= − = − = −
     
     
     
∫ ∫ ∫

( )
( )
ee e
3 3 3 3
e
3 3 3 2 3
1
1
1 1
e 2 e 2 2 e 2 5e 2
x ln x x d ln x e x dx x
3 9 3 9 9 9 27 27 27
 
= − − = − + = + = −
 
 
 
∫ ∫

Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần


B = x ln dx
1 x( )
1 2 1 2
2
2
2
0 0
1 2 1 2
2
2
0 0
1 2
0
1 1 x dx 1 x
ln 3 x ln 3 dx
8 1 x 8 1 x
1 x
1 1 1 1 2
ln 3 1 dx ln 3 1 dx
8 1 x 8 1 x
1 x
1 1 ln 3 3 5
ln 3 x 2ln 1 x 2ln
8 1 x 8 2 6
−
 
= − ⋅ ⋅ = −

   
∫ ∫
1
2
3
0
B = ln x + 1 + x dx( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1 1
2 2 2
0 0
1
2
1
2
0
2
0
x dx x dx
ln 1 2 x 1 ln 1 2
1 x x 1 x 1 x
1 d 1 x
ln 1 2 ln 1 2 1 x ln 1 2 2 1
2
1 x

( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1
2 2 2 2
0
0
1
2
2 2
0
1
0
1 x ln x 1 x 1 x d ln x 1 x
dx
x
2 ln 1 2 1 x 1
1 x x 1 x
2 ln 1 2 dx 2 ln 1 2 1
 
= + + + − + + +
 
 
 
= + − + +
 
+ + +
 
= + − = + −


= = + −

+ +
(
)
2
2 2
x dx
du 1 dx x 1 x
1 x 1 x
 
⇒ = + + + =
 
+ +
 

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

214( ) ( ) ( )

 
+
∫(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
1 1
3
2
2
0 0
1 1
2
2
2
0
0
2 2 1 ln 1 2 1 dx 1 x dx
3 3 3
1 x
1 x
2 2 1 ln 1 2 1 1 1 x 1
arctg x d 1 x
3 3 6
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
1
3 2 1 2
2 2
0
2 2 1 ln 1 2 1 2
1 x 2 1 x
3 12 6 3
2 2 1 ln 1 2 2 2
3 12 9
− + π
 
= − + + − +
 
 
− + π −
= − +

•
( ) ( )
( )
1
2 2

1 1 x dx 1 1 x dx
ln 1 2 x 1 ln 1 2
2 2 2 2
1 x x 1 x 1 x
 
+ +
 
 
= − + +
 
 
 
 
= + − + = + −
 
+ + + +
 
∫
∫ ∫

x
0 1
t
0
π
/4
Xét
1
2
2

22 2 2
2 3 4
2 2
0 0 0 0
2
4 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
0 0 0
tg tx dx dt sin t sin t
I dt d sin t
cos t cos t cos t
1 x 1 tg t
sin t d sin t u du 1 1 u 1 u
du
4 1 u 1 u
1 sin t 1 u
π π π
π
⇒ = = ⋅ = =
+ +
 
+ − −
= = =
 
+ −
 
− −
∫ ∫ ∫ ∫

 
 
+
= − − = − +
 
− + −
 
∫ ∫

⇒

( ) ( ) ( ) ( )
6
1 1 1 1 2 2
B ln 1 2 I ln 1 2 ln 1 2 ln 1 2
2 2 2 2 2 4
 
= + − = + − − + = − + +
 
 

•
( )
( )
0 0
0
2 2 2
8
8 8
1 1 1

32ln 3 dx 32ln 3 1 x dx
4 1 x 4 1 x
1 1 l 63
32ln 3 ln 1 x x x 32 ln 3 6 ln 3 6 ln 3
4 2 2 2
− −
− −
−
−
= − − ⋅ ⋅ = − +
−
− −
− −
 
= − + = − + − +
 
− −
 
 
= − + − − − − = − + + = −
 
 
∫ ∫
∫ ∫

x

−
3
0

1 2 2
8
3 2
2 1 1
ln t dt
1
B 2t dt 2 ln t 2 ln t d
t
t t
−
= − = =
∫ ∫ ∫( )
2 22 2
2
1 1
1 1
2 ln t 1 dt 2
2 d ln t ln 2 2 ln 2 1 ln 2
t t t
t
− −
= − = − + = − − = −
∫ ∫

•
( )
(

B =
x + 1( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3
2
2 2
1 1
1
3 3
2 2
2
2
1 1
3
2
1
ln x 1 1 ln 3 1 dx
d ln x
2 20 2
x 1
2 x 1 x x 1
ln 3 1 x 1 x ln 3 1 1 x
dx dx


216

3. Dạng 3: Tích phân từng phần luân hồi
•
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3 3 3
1 1 1
sin ln sin ln sin ln
3 3 3
= = −
∫ ∫ ∫
2
1
C = x sin ln x dx
x d x x x x d x

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 2
3 3 3 3 3
3 3 2 3 3
1

0
0 0
1 1 1 1
1 cos2 dx cos 2 dx
2 4 2 4 2
x
x x
e e
e x e x J
−
= − = − = −
∫ ∫ ∫
π
2x 2
2
0
C = e sin x dx
π
π π
π

2
0
2
x
J e cos x dx
π
=
∫
( )

∫ ∫ ∫
∫

⇒

2 2 2 2
2
e 1 1 e 1 e 1 e 1
C J
4 2 4 8 8
π π π π
− − − −
= − = − =

•
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
1 1
cos ln cos ln 1 sin ln dx
e e
e
x x xd x e x= − = − + +
∫ ∫ ∫
π
e
3
1

−
= − + − = − + − ⇒ = − + ⇒ = +
∫ ∫
∫

•
( ) ( )
[ ]
( )
1
1 1
1 1 1 1 1
1 cos 2ln dx cos 2ln
2 2 2 2 2
ee e
e
x x x dx I
−
= + = − = −
∫ ∫ ∫
π
e
2
4
1
C = cos ln x dx
ππ π
π

Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần

( )
( )
e e
e
1
1 1
e e
1 1
e 1 2 sin 2 ln x dx e 1 2x sin 2 ln x 2 xd sin 2 ln x
2 cos 2ln x
e 1 2 x dx e 1 4 cos 2 ln x dx e 1 4I
x
π π
π
π π
π π
π π π
= − + = − + −
= − − = − − = − −
∫ ∫
∫ ∫

⇒

( )
4
e 1 e 1 6
5I e 1 I C e 1 I e 1 e 1
5 5 5
π π


( ) ( )
( )
( )
x x
x x x
2 2
x x
x
2
1 sin x 1 cos x sin x 1 sin x e dx e sin x dx
e e dx e
1 cos x 1 cos x 1 cos x
1 cos x 1 cos x
1 sin x e dx e sin x dx
e I J ; I ; J
1 cos x 1 cos x
1 cos x
+ + + +
= − = − −
+ + +
+ +
+
= − − = =
+ +
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫
1


=
=


⇒
 
− +
=
= =
 
+
+

+

∫

⇒

x x x
e e dx e
J I
1 cos x 1 cos x 1 cos x
= − = −
+ + +
∫

(2)
. Thay (2) vào (1) ta có:
⇒

− − −
= − = −
∫ ∫ ∫
x x x
e cos x dx e dx e cos x dx0
0 0
1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
π
π π
− −π −π
− −
− − −
= − = − = −
∫ ∫
x
x x
e e e
e cos x dx e cos x dx J

0
2
x
J e cos x dx
π
−

−
− − −
−
= = = − +
∫ ∫ ∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

218

0
1 1 1 1 5 1 1
2
4 4 4 4 4 4 5
x
e e e e
e cos x dx J J J
π
−π −π −π −π
−
− − − −
= − = − ⇒ = ⇒ =
∫

⇒


2 2 2 2
0 0 0
2
2 2 2 2 2 2
7
2 2
0
0 0 0
2
a a a
a
aa a a
x dx a a x
C x a x x d a x dx
a x a x
dx x a
a a x dx a arcsin a x dx C
a
a x
− −
= − − − = =
− −
π
= − − = − − = −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

⇒


2 2 2 2
0 0 0
2
2 2
a a
a
a a a
x
C x a x xd a x a dx
a x
a x a dx
a dx a a x dx a
a x a x
= + − + = −
+
+ −
= − = − + +
+ +
∫ ∫
∫ ∫ ∫

( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
8
0
0
2 2 2
8 8

2
du dx
u x
1
v a x
dv x a x dx
3
=

=

 
⇒
 
= +
 
= +



( ) ( )
a
a
3 3
2 2 2 2
2 2
9
0
0
a a

3 3 3 2 6 8
+ + − + − +
⇒ = − ⋅ = ⇒ =

•
( )
; 0
a
− >
∫
a
2 2 2
10
0
C = x a x dx
. Đặt
( )
3
2 2
2 2
2
du dx
u x
1
v a x
dv x a x dx
3
=

=

= − + − = − + −
 
 
 
π π
= + ⇒ = = ⇒ =
∫ ∫ ∫

•
( )
2
2
2 2 2 2
2
2
a
a
a
a
x x a x d x a
− = − − −
∫ ∫
2a
2 2
11
a 2
C = x a dx( ) ( )

1 2
+ −
= − − = − −
− −
= − − − −
−
= − − + − − −
+
= − − −
+
∫ ∫
∫ ∫
∫

( ) ( )
2
2 2
11 11
2 3 a 2 3
2C 2 3 2 a a ln C 2 3 2 ln
2
1 2 1 2
 
+ +
⇒ = − − ⇒ = − −
 
+ +
 

•


2 2
2 2
4 4
2 2 2
12
3 2
4 4 4
cos x 1
1
2 cotg x dx 2 1 dx
sin x
sin x sin x
dx dx sin x dx
2 2 C
sin x
sin x 1 cos x
π π
π π
π π π
π π π
 
= − − = − − −
 
 
= − + − = − + −
−
∫ ∫
∫ ∫ ∫


2 1
dx dx dx
1 1 1
x x x x x
x x x
+ +
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
3
5 3
1
2
0
x + 2x
D = dx
x + 13 3
2 2 2
2
0 0
x dx
x .x x 1 dx x I J
x 1
= + + = +
+
∫ ∫





( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
3 3 3
3 2 3 2 3 2
2 2 2 2 2
0
0 0
3
5 2
2
0
1 2 1
I x x 1 x x 1 dx 8 x 1 d x 1
3 3 3
2 2 58
8 x 1 8 32 1
15 15 15
= + − + = − + +
= − + = − − =
∫ ∫

Xét
3
2
2
0

+


( ) ( )
33 3
3
3 2
2 2 2 2 2 2
0
0
0 0
2 4
J x x 1 2x x 1 dx 6 x 1d x 1 6 x 1
3 3
= + − + = − + + = − + =
∫ ∫

⇒

1
58 4 26
D I J
15 3 5
= + = + =

•
(
)
2
2 2

( )
( )
( )
2 2
2 3
3 3 3 3
1 1
3 3
2
2
2
2 2
3
2
2 1 1 x dx 2 1 1 d 1 x
3 8 2 3 8 6
x 1 x x 1 x
2 1 1 d u 2 1 1 du
3 8 6 3 8 3
u 1
u 1 u
2 1 1 u 1 2 1 1 1
ln ln 2 ln 1 2
3 8 3 u 1 3 8 3 2
+
= − + = − +
+ +
= − + = − +
−
−

sin x 3
3
0
D = e sin x cos x dx( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2
2
sin x sin x sin x
0
0 0
2 2
2
sin x sin x sin x
0
0 0
1 1 1
1 cos 2x d e 1 cos 2x e e d 1 cos 2x
4 4 4
1 1 1 1 1 1 e
e sin 2x dx d e e 1
2 2 2 2 2 2 2
π π
π

3
3 3
2 2
2
3 3
2
3
3 sin x dx
sin x ln 1 cos x sin xd ln 1 cos x ln 2 sin x
2 1 cos x
3 1 cos x 3
ln 2 dx ln 2 1 cos x dx
2 1 cos x 2
3 3 3
ln 2 x sin x ln 2 1
2 2 6 2
π π
π
π
π π
π π
π π
π
π
= − − − = −
−
−
= − = − +
−
π

2 2
4 4 4
3
3
2
4
4
1 cos x dx 1 dx 1 sin x dx
ln 3 ln 3 ln 3
4 4 sin x 4
cos x tg x sin x
1 d cos x 1 1 1 cos x 3
ln 3 ln 3 ln ln 1 2 ln 3
4 4 2 1 cos x 4
1 cos x
π π π
π π π
π
π
π
π
= − + = − + = − +
+
= − − = − − = + −
−
−
∫ ∫ ∫
∫

•

( ) ( ) ( )
4 4
4
0 0
0
x x 4 x
ln 1 cos x x tg tg dx ln tg 2 ln cos
2 2 4 8 2
2 2
4 2 2
ln 2 1 ln 2 1 ln1 2 1
4 4 4 4
2 2
π π
π
π π
 
= − + + − = + +
 
 
+
π + π π
= + − + = − + = −
+
∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−

0 0
1
1 1 1
2
0
0 0 0
1 1
2 t cos t dt t 1 cos 2t dt t 1 2cos 2t cos 2t dt
2 2
1 1 cos 4t 1
t 1 2cos 2t dt t 2 4cos 2t cos 4t dt
2 2 4
1 1 t 1 1
2t dt t 4cos 2t cos 4t dt t d 2sin 2t sin 4t
4 4 4 4 4
= = + = + +
+
 
= + + = + +
 
 
 
= + + = + +
 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
4 4
2
2
8
2 2
0 0
sin 2 cos
2 cos dx d cos
cos cos
x x
x x
x x
π π
−
= − = −
∫ ∫ ∫
π 4
2
0
tg x
D = 1 + sin x dx
cos x(
)
( )
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2

3
9
2
0
cos
dx
cos
sin cos
x x x
x
x x x
π
= ⋅
+
∫ ∫
π 3
2
2
0
x dx
D =
x sin x + cos x

(
)
3 3
3
0
0 0
3

+
+ π +π + π
 
∫ ∫
∫