Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng

1CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HS KHÁ , GIỎI MÔN TOÁN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
ĐA THỨC BẬC CAO MỘT ẨN Hơn bốn nghìn năm trước đây, người Hi Lạp đã biết cách giải các phương trình
bậc nhất và bậc hai

Phương trình bậc 3
- Năm 1526 nhà toán học I-ta-li-a là Phe-rô mới tìm được cách giải phương trình
bậc 3 dạng x
3
+ ax = b với a , b > 0

- Năm 1535 nhà toán học Tac-ta-li-a đã tìm được cách giải tổng quát phương trình
x
3
+ ax + b = 0 với mọi giá trị của a , b

- Năm 1545 nhà toán học Các-đa-nô đã công bố công thức tìm nghiệm của
phương trình bậc ba

Phương trình bậc 4
Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a là phe-ra-ri đã tìm ra cách giải tổng quát
phương trình bậc bốn

mà phải căn cứ vào từng phương trình , để tìm các giải thích hợp

Sau đây xin đề cập đến một số phương pháp riêng để giải phương trình đa thức
bậc cao hơn 2, nhằm bồi dưỡng học sinh khá giỏi của lớp 9 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC
CAO

I. Phương pháp biến đổi về phương trình tích.
Một trong các phương pháp riêng giải phương trình đa thức bậc cao là phân tích
đa thức thành nhân tử có bậc thấp hơn để đưa việc giải phương trình đã cho về giải
một phương trình tích

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 5x
3
- 6x
2
- 2x
3
+ 3 = 0

Giải
Nhận xét : Nếu phương trình trên có nghiệm nguyên thì số này phải là ước của 3. Ta
thấy đa thức 5x
3
- 6x
2
- 2x
3
Phưong trình Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm
x
1
= 1 x
2
=
2
131 +
x
3
=
2
131 −Ví dụ 2: Giải phương trình : x
4
+ 12x
3
+ 32x
2
- 8x - 4 = 0
Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng

3Giải

2
+ 4x - 2 = 0

x
2
+ 8x + 2 = 0 ⇔ x =
144 +−
hoặc x =
144 −−

x
2
+ 4x - 2 = 0 ⇔ x =
62 +−
hoặc x =
62 −−Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm
x
1
=
144 +−
; x
2
=
144 −−
; x
3
=

131 +−
hoặc x =
2
131 −−

Với y = 7 ⇔ x
2
+ x -5 = 0 ⇔ x =
2
211 +−
hoặc x =
2
211 −−Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm
x
1
=
2
131 +−
; x
2
=
2
131 −−
; x
3
=
2

Với y = -2 ⇔ x
2
+ 5x + 7 = 0 phưong trình này vô nghiêm vì ∆ < 0
Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng

4Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

x
1
=
2
135 +−
; x
2
=
2
135 −−Ví dụ 5 : Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9

Giải
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 ⇔ (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) - 9 = 0

3
= -4 Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 3x
4
- 22x
2
- 45 = 0 b) x
6
- 9x
3
+ 8 = 0

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) 2x
3
- 11x
2
+ 2x + 15 = 0 b) x
4
+ x
2
+ 6x - 8 = 0 c) x
4
+ 4x
3
+ 3x


MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT

I . Phương trình đối xứng (phương trình thuận nghịch)
Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng

5

Định nghĩa:
Phương trình có dạng
a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ + a
1
x + a
0
= 0 ( a ≠ 0).

Trong đó các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau (
a
n
= a
0
; a

2
≠
n
x

+ Đặt x +
x
1
= y (1)
+ Biểu diễn:






+−






+







4
+ 3x
3
- 16x
2
+ 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc bốn)

Giải
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình . Chia cả hai vế cho x
2
≠ 0 ta có
phương trình :
2x
2
+ 3x - 16 + 3
x
1
+
2
2
x
= 0
2






++

2
1
x
x
= y
2
- 2 .
Ta có phương trình 2y
2
+ 3y - 20 = 0 có nghiệm y = -4 , y =
2
5
. Thứ tự thay y = -4 và
y =
2
5
. vào (2) ta có x
1
= -2 +
3
; x
2
= -2 -
3
; x
3
=2 ; x
4
=
2

3
- 5x
2
+ 3x + 2 = 0

Giải
Phương trình đã cho là phương trình đối xứng bậc 5
2x
5
+ 3x
4
- 5x
3
- 5x
2
+ 3x + 2 = 0 ⇔ (x +1)(2x
4
+ x
3
- 6x
2
+ x + 2) = 0
⇔



=++−+
=+
02xx6xx2
01x


Bài tập
Bài 4: Giải các phương trình sau
a) x
4
+ 5x
3
- 12x
2
+ 5x + 1 = 0 b) x
5
+ 2x
3
- 3x
3
- 3x
2
+ 2x + 1 = 0
c) 6x
4
+ 5x
3
- 38x
2
+ 5x + 6 = 0 c) 6x
5
- 29x
4
+ 27x
3

8
- 9x
7
+ 20x
6
- 33x
5
+ 46x
4
- 66x
3
+ 80x
2
- 72x + 32 = 0

II. Phương trình dạng: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = Ax ( Trong đó ab = cd)
a) Cách giải : Đặt x +
y
x
ab
=

b) Ví dụ : Giải phương trình
4 (x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x

Hướng dẫn

4(x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x
⇔ 4(x
2

Đặt x + 17 +
x
60
= y
Ta có phương trình 4(y - 1)y - 3 = 0 ⇔ 4y
2
- 4y - 3 = 0 ⇔ y =
2
1
−
hoặc y =
2
3

Từ đó ta giải hai phương trình x + 17 +
x
60
=
2
1
−
và x + 17 +
x
60
=
2
3

4
+ 6y
2
- 7 = 0
Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn – Vũ Đình Dũng

8

Đặt y
2
= z ( z ≥ 0) phương trình trở thành
z
2
+ 6z - 7 = 0 ⇒ z
1
= 1 ; z
2
= -7 (Loại)

Với z = 1 ⇒ y = 1 hoặc y = -1 ⇒ x = 8 hoặc x = 6.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
= 8 ; x
2
= 6. b) Lưu ý: Khi giải phương trình bậc bốn dạng
(

+
+
++
+
2
để đưa phương trình đã cho về phương trình trùng phương

Bài tập
Bài 8: Giải các phương trình
a) (x + 6)
4
+ (x + 4)
4
= 82 b) (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 16

Bài 9: Giải các phương trình
a) (x + 1)
4
+ (x + 5)
4
= 40 b) ( x- 2)
6
- (x - 4)
6
= 64



CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN
HỆ THỐNG LÝ THUYẾT
HỆ THỐNG BÀI TẬP
GỢI MỞ PHÁT TRIỂN Trường hợp đặc biệt: Phương trình trùng phương
+ Định nghĩa: Phương ttrình có dạng ax
4
+ bx
2

ii
=
∑
=
(a
2n
x
2n
+ a
2n-1
x
2n-1
+ + a
n+1
x
n+1
+ a
n
x
n
+
trong đó a
2n
≠ 0 và a
i
= a
2n-i
. k
n-i
i = 0 ; 1; 2; ; n-1 là phương trình thuận nghịc bậc