PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ VỚI CÁC BIẾN CÓ
ĐIỀU KIỆN
Chúng ta đã quen biết bài toán tìm cực trị của hai biến có một điều kiện
ràng buộc, chẳng hạn như bài toán sau:
VD1:
Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số dương thoả mãn điều kiện x + y =
s, trong đó s là số dương cho trước
Giải:
Cách 1: áp dung trực tiếp bất đẳng thức Cô-si
2 2
2
2 2 4
x y s s
xy

   
  
   
   

Vậy GTLN (xy) =
2
4
s
khi và chỉ khi
2
s
x y
 

Cách 2:

x y

. Từ x + y = s ta có:
2
s
x y
 
nên
2
0 0
2 2 2 2 4
s s s s s
x y xy x y xy
    
         
    
    

Vậy GTLN (xy) =
2
4
s
khi và chỉ khi
2
s
x y
 

Việc giải bài toán trên sẽ khó khăn hơn khi các biến bị ràng buộc thêm một
điều kiện nữa


0
Từ đó












2
xy s y y s a t a t t t a s a s a a s a
             

(vì
0, 2 0
t t a s
   
)
Đẳng thức xảy ra khi t = 0, y = a và GTLN (xy) = a (s – a)
Theo cách 3 ta thấy
2
s
x a y
  

xyz
 
   
 
   
   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
s
x y z
  

Lúc đó, GTLN(xyz) =
3
3
s
 
 
 

Xét trường hợp
2
2
s a
a

 
 
 

 
0
2
x y
a z a

 
  
 
 

2 2
x y x y
z a z a
 
   
   
   
   
(**)
Từ (*),(**) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
x y x y
z a
x y x y x y x y s a
xyz z a z a a
  

VD4:
Tìm GTLN của tích xyz với x, y, z là các số dương thoả mãn các điều kiện
(1) x + y +z = s
(2) z

a
(3) y

b với b là số dương cho trước,
x b y
 
b a s
 

trong đó s, a là những số dương cho trước và a < s

Giải:
Nếu
2
s a
b

 thì giải như VD3
Xét trường hợp
2
2
s a
b s a b

   

ta có




( ) 0 ( ) ( )
x y b a z a x y b z a x y b z a a s a b
               

Từ đó và (***) ta suy ra


( )
xyz b x y b z ba s a b
     

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = a, y = b, x = s – a – b
Lúc đó: GTLN(xyz) = ab(s – a – b)
Như vậy, từ một bài toán cực trị đại số với các biến có một điều kiện ta đã
đề xuất và giải các bài toán cực trị đại số với các biến bị ràng buộc bởi
nhiều điều kiện hơn

Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của xy + yz + xz với x, y, z là các số dương thoả mãn các
điều kiện
(1) x + y +z = s
(2) z

a
(3) y

 

thoả mãn điều kiện x + y + z = 3