PHẦN IV : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
1/ Dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị
Kiến thức:
- Nếu f(x)

A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A
- Nếu f(x)

B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B
Ví dụ 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của :T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
Giải: Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|

|x-1+4-x| = 3 (1)
Và
2 3 2 3 2 3 1
x x x x x x
           
(2)
Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|

1+3 = 4
Ta có từ (1)

Dấu bằng xảy ra khi
1 4
x
 

(2)

Dấu bằng xảy ra khi

     
3
2 3 . .
x y y z z x
    

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=
1
3

Vậy S


8 1 8
.
27 27 729
 . Vậy S có giá trị lớn nhất là
8
729
khi
x=y=z=
1
3

Ví dụ 3: Cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
4 4 4
x y z
 

Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)

x y z
   
4 4 4
1
3
x y z
   

Vậy
4 4 4
x y z
 
có giá trị nhỏ nhất là
1
3
khi x=y=z=
3
3

Ví dụ 4 : Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông
nào có diện tích lớn nhất
Giải: Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a
Đường cao thuộc cạnh huyền là h
Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y
Ta có S =
 
2
1
. . . . .
2


 
2
2
5 10 14 5. 1 9 9
x x x
     

Vậy
2 2
4. 3 6 19 5 10 14 2 3 5
x x x x
       

Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0

x = -1
Vậy
2 2 2
4 3 6 19 5 10 14 4 2
x x x x x x
       
khi x = -1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
Ví dụ 2: Giải phương trình
2 2
2 4 4 3
x x y y
    


1
2
x
y




 



Ví dụ 3:Giải hệ phương trình sau:
4 4 4
1
x y z
x y z xyz
  


  


Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có
4 4 4 4 4 4
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x
2 2 2
2 2 2

có nghiệm x = y = z =
1
3

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau
2
2
4 8
2
xy y
xy x

  

 


(1)
(2)

Từ phương trình (1)
2
8 0
y
  
hay
8
y 
Từ phương trình (2)
2

2 2
2 2
x
y




 



3/ Dùng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn
2 2 2
3 2 3
x y z xy y z
     

Giải: Vì x,y,z là các số nguyên nên
2 2 2
3 2 3
x y z xy y z
      
2 2
2 2 2 2 2

x z
   
     
   
   
,
x y R
  
2 2
2
3 1 1 0
2 2
y y
x z
   
      
   
   0
2
1
1 0 2
2
1
1 0

z









Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
1 1 1
2
x y z
  

Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử
x y z
 

Ta có
1 1 1 3
2 2 3
z
x y z z
     

Mà z nguyên dương vậy z = 1. Thay z = 1 vào phương trình ta được
1 1
1

(*) Với x > 0 , y > 0
Ta có
x x y
 

2
x x y
  
2
0
x y x
   

Đặt
x k

(k nguyên dương vì x nguyên dương )
Ta có
2
.( 1)
k k y
 

Nhưng
   
2
2
1 1
k k k k
   

HD : Chuyển vế quy đồng mẫu đưa về tổng bình phương các đẳng
thức.
Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức :
*)(1
)1(
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
Nn
nn




HD:
1
11
)1(
1


 kkkk

Bài 3: Cho a, b. c > 0 và a + b + c


HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho





















cba
1
1,
1
1,
1
1
Bài 4 : Cho 0,0

,
1
22

a
b
b
a
và xét trường hợp
dấu “=” xảy ra .
Bài 9 : Tìm GTLN và GTNN của y =
22
42
)21(
1283
x
xx



HD: Đặt x=







2
,

2
1
y
x

Bài 11: Cmr :
 
1,1),121(
2
11
22
 xx
x
x
HD : Đặt x =







4
,
4
,2sin



Bài 12: Cho 1,0,

22

Bài 15: nn



2, . Chứng minh rằng:
3
1
12 







n
n

Bài 16: Có tồn tại
Rx

sao cho:
3
3
3
1

tgx