Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán số 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
( )
1 1 1
9.a b c
a b c

+ + + +
ữ*Phân tích:
Vế trái chứa a, b, c > 0 và các nghịch đảo của chúng. Vì vậy ta nghĩ đến
việc dùng bất đẳng thức Côsi.
Lời giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ số a, b, c và
1 1 1
, ,
a b c

ta có:
3
3
3
1 1 1 1
3
a b c abc
a b c abc
+ +

+ +
(a, b, c > 0)
b.
2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
Bài toán số 1.2 Chứng minh rằng:
a.
2
2
2
2
1
x
x
+

+

x R
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x
2
+1 và 1.
b.
8
6
1
x
x
+


1 1 1 6a b b c c a abc+ + + + +
áp dụng BĐT Côsi cho 6 số
2 2 2 2 2 2 2 2 2
, , , , ,a a b b b c c c a
.
Bài toán số 1.4
a. n số dơng a
1
, a
2
, , a
n
. Chứng minh rằng:
1 2
1 2

1 1 1
n
n
n
n
a a a
a a a

+ + +L
b.Nếu a
1
, a
2
, , a

y z x x z y x y z
a b c
+ + +
= = =
Ta có:
( )
1
2 2 2 2
1 1 3
3 2 2 2 3 .
2 2 2
a b c y z x x z y x y z
b c a c a b
x y x z y z
y x z x z x
+ + +

+ + = + +
ữ
+ + += + + + + + + + =
ữ

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= y= z.
Cách khác:
Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
( ) ( )

222
cba
ba
c
ac
b
cb
a
cbabaaccb
++

+
+
+
+
+
++

+
+
+
+
+
Bài toán số 2.2. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng
yxyx +
+
411
(1)
Phân tích:
Do x, y > 0 nên BĐT (1) có thể suy ra từ BĐT Côsi hoặc xét hiệu.

0
411
1
2

+


+
+++

+
+
yxxy
yx
yxxy
xyyxxyxy
yxyx
(2)
Do x > 0, y > 0 nên BĐT (2) luôn đúng.
Vậy (1) luôn đúng. (đpcm)
Khai thác bài toán:
Ta thấy BĐT trên có liên quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để
chứng minh BĐT sau:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.




++

+
+
+
+
+
+
+
+
cba
cba
ca
ca
bc
cb
ba
ba
222222222
3
Bài 2. Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4

. Chứng minh rằng:
accbbacba
222222
1
+++++
Bài 4. Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh:







+++
cbaab
c
ac
b
bc
a 111
2
Bài 5. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
x
zy
zy
x

+
+
+

yx ++
Bài 9. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
4
2
ab
ba
ab

+
áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT trong tam giác

Bài toán số 3 . Cho a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác.
Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
Chứng minh rằng:
.3

+
+
+
+
+
cba
c
bca
b
acb
a
Giải:
Cách 1.

=++








+++++=








+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
y

z
z
y
x
z
z
x
x
y
y
x
====









=+
=+
=+
Cách 2.
Nhận xét: Do a, b, c, là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có:
a + b - c > 0; a + c b > 0; b + c - a > 0
áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dơng:
( )( )
( )( )

+
+
+
+
+
abc
abc
cbabcaacb
abc
cba
c
bca
b
acb
a
Bài tập 3.1 . Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC,
.cba

Chứng minh rằng:
( )
.9
2
bccba
++
(*)
Giải
Vì
( ) ( ) ( )
.2
222


( )
bccb
ccccb
bbbcb




=<
=<
2
2
220
220
(đpcm)
Bài tập 3.2 . Chứng minh rằng
3
3 223 223 22
4.2
<
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b

2233
223333
+


+
++++
cbcb
cbcb
cbccbb
bccbcb
bccbcbcb
Luôn đúng suy ra (1) đúng
Tơng tự:
( )
2
33
4
1
caca
++

( )
2
33
4
1
baba
++
Do đó:

a
ba
c
ac
b
cb
a
Mà:
2
222
)(2
2
)(2
2
)(2
2
=
++
+
++
+
++
<
<
+
+
+
+
+
=

Do:





>+
>+
>+
bca
acb
cba
Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
Các bài tập khác:
Bài tập 3.3 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và có chu vi là 2.
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2.
Bài tập 3.4 Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
abccbacbcabacba 3
222
+++++
Bài tập 3.5 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.

+






++++
abc
accbba
cba
cba
Bài tập 3.7. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng:

32+++++++++++ adcadbdcbcba
ứNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị
* Với a

0, b

0 ta có
2a b ab
+
, dấu = xảy ra

a = b
* Với n số không âm: a
1
, a

1
.a
2
a
n
= k (const) thì min(a
1
+ a
2
+ + a
n
) = n
n
k

a
1
= a
2
= = a
n
+ Nếu a
1
+ a
2
+ + a
n
= k (const) thì max(a
1
.a

> 0,
1
y
> 0,
x
> 0,
y
> 0 . Ta có:
1 1 1 1 1 1 1
.
2 4
4
2 2 4 4
Cs
x y x y
xy
xy
A x y x y

+
ữ= + + =


Vậy min A = 4

x = y = 4
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng BĐT Côsi theo 2 chiều ngợc

+
Bài giải
Điều kiện:
5 7
3 3
x

Ta có: A
2
= ( 3x 5 ) + ( 7 3x ) + 2
( ) ( )
3 5 7 3x x

A
2


( 3x 5 + 7 3x ) + 2 = 4
Dấu = xảy ra

3x 5 = 7 3x

x = 2
Vậy max A
2
= 4

max A = 2

x = 2

x
x
x
A
x x x x



+
+
ữ


= = = =
Dấu = xảy ra
9
3 18
3
x
x

= =
Vậy max A =
1
18
30
x
=

Trong cách giải trên, x 9 đợc biểu diễn thành

3
3 16x
x
+
=
4
3 3 3
16 16 16
3 4 . . .x x x x x x x
x x x
+ = + + +
A

4.2 = 8 ( dấu = xảy ra
3
16
2x x
x
= =
)
Vậy min A = 8 khi x = 2
Ví dụ 2: (Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với
một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng
tử khác có trong biểu thức đã cho)
Cho 0 < x < 2, tìm GTNN của A =
9 2
2
x
x x
+

x
thành tổng
2
1
x
x

+
. Hạng tử
2 x
x

nghịch đảo với
2
x
x

nên khi vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích của chúng là
một hằng số.
* Cách 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
Ví dụ: Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 2
Tìm GTNN của P =
2 2 2
x y z
y z z x x y
+ +
+ + +
Bài giải
Vì x, y, z > 0 ta có:
áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dơng

+
+
+
+
+
+
Cộng (1) + (2) + (3) ta đợc:
( )
2 2 2
2
1
2
x y z x y x
x y z
y z z x x y
x y z
P x xy z

+ +
+ + + + +
ữ
+ + +

+ +
+ + =
Dấu = xảy ra
2
3
x y z
= = =

thì ta
cũng khử đợc (y + z), (x + z), (x + y) nhng điều quan trọng là không tìm
đợc các giá trị của x, y, z để dấu của các đẳng thức đồng thời xảy ra, do
đó không tìm đợc GTNN của P.
áp dụng các cách trên cùng với việc sử dụng BĐT Côsi ta có các ví
dụ khác nh sau:
VD 1: Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c = 1
Tìm GTLN của P =
1 1 1
1 1 1
a b c

+ + +
ữ ữ ữ

Phân tích: a, b, c > 0
3
3
1 1
3
3
abc
abc

Do đó có thể khai triển P rồi ớc lợng theo BĐT Côsi
Bài giải
Cách 1:
1 1 1 1 1 1 1
1P
a b c ab bc ac abc


+ + =
ữ

+ +
(2)
(1) + (2) ta có:
2
1 3 27 27 64P
+ + + =
. Vậy min P = 64
Cách 2:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
4 4 4 3
4
1 1 1 1
. . . 1 1 1
1
4
4 64
a b c
P a b c
a b c abc
P a a b c b a b c c a b c
abc
P a b c
abc
+ + +

2 2
x
x x
x x x
y
y
y
y y y

+
= =


+
= = =

max B =
1 1 2
1 2 2 2
2 2 4
2 4 4
x x
y y
= =

+
+ =

= =


2
2
1 4 8 9
CS
x y xy B
xy
= +

Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
Vậy min B = 9
1
2
x y
= =
VD 4: Cho x, y, z > 0 thoả mãn:
1 1 1
2
1 1 1x y z
+ +
+ + +
Tìm GTNN của P = xyz
Bài giải
Ta có:
( ) ( )
1 1 1
1 1 2
1 1 1 1 1 1 1
y z yz
x y z y z y z

Vậy max P =
1 1
8 2
x y z
= = =
VD 5: Cho M = 3x
2
2x + 3y
2
2y + 6 |x| + 1
Tính giá trị của M biết x, y là 2 số thoả mãn x.y = 1 và biểu thức
|x + y| đạt GTNN.
Bài giải:
Ta có:
( )
2
4 4 2
CS
x y xy x y
+ = +

Min |x + y| = 2 khi x = y, khi đó
1
2
xy
x y
=




a
5
Bài giải
Ta có: A = a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ a
3
a
4
+ a
4
a
5


(a
1
+ a
3
+ a
5
)(a
2
+ a


1 2
1 3 5 2 4
3 4 5
1
1
2
2
0
a a
a a a a a
a a a

= =

+ + = + =


= = =

VD 7: Cho a, b > 0. Tìm GTNN của A =
( ) ( )
x a x b
x
+ +
( x > 0)
Bài giải
( ) ( )
2
x a x b

=
2 1 2 1
3 3 2 . 3 2 2
1 1
x x x x
x x x x

+ + + = +

Dấu = xảy ra
2 1
2 1
1
x x
x
x x

= =

VD 9: Cho a, b > 0 cho trớc.
Các số x, y > 0 thay đổi sao cho
1
a b
x y
+ =
Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
Tìm x, y để S = x + y đạt GTNN. Tìm min S theo a, b.
Bài giải
Ta có:

= +


VD 10: Tìm GTNN của P =
4 3 2
2
4 16 56 80 356
2 5
x x x x
x x
+ + + +
+ +
Bài giải
Ta có: P =
4 3 2
2
4 16 56 80 356
2 5
x x x x
x x
+ + + +
+ +
=
( )
2
2
256
4 2 5 64
2 5
CS

2
2
1
1 2 3
1
; 0
2
8
3 2
1
1
1
; 0
1
1
2 1
; 0
2000
A x x
yz x xz y xy z
B
xyz
x
C x
x
D
x
x
E
x

1 1 1
2
1 1 1a b c
+ + =
+ + +
. Tìm GTLN của
biểu thức Q = abc.
BT 4: Cho x, y > 0 thoả mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức
P =
1 1
1 1
x y+ +
ữ
ữ
BT 5: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2

x x
D x x
x
x
E x x
x
x
F x
x x
x
G x
x
+ +
= >
= >

+ +
=
+ +

= + + >
ữ= + + +

+

= +


x y
x y



+ =

BT 9: Cho a, b > 0 thoả mãn a. b = 216
Tìm GTNN của S = 6a + 4b
BT 10: Cho a, b > 0 thoả mãn
1
1a
b
+
.
Tìm GTNN của A =
a b
b a
+
BT 11: Cho a, b > 0 thoả mãn
3
6
a
ab





.

+
biết a > 0, x > 0
BT 15: Với giá trị nào của số dơng a thì biểu thức D đạt GTNN ?
A =
1000 900 90 5
1995
a a a a
a
+ + + +
BT 16: Tìm GTNN của C =
100 10
10 2004x x
+
BT 17: Tìm GTLN của E =
( )
2 2
2 2
; 0, 0
x xy y
x y
x xy y
+ +
> >
+
BT 18: Tìm GTLN của tích
( )
1 2
; 2
n
x x x n

x
x y x y
+

biết rằng x, y > 0
BT 21: Tìm GTLN của H =
2
1x x
với
1 1x

BT 22: Tìm GTLN của biểu thức:
P =
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
x y z
x y z
y z x z x y
+ + +
+ + + + + +

Với mọi x, y, z biến đổi nhng luôn thoả mãn
0 , , 1x y z

BT 23: Tìm GTNN của
( )
( )
1
,f x y x

NguyÔn ThÞ H¹t SVC§SP H¶i D¬ng