Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán số 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
( )
1 1 1
9.a b c
a b c

+ + + +
ữ*Phân tích:
Vế trái chứa a, b, c > 0 và các nghịch đảo của chúng. Vì vậy ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi.
Lời giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ số a, b, c và
1 1 1
, ,
a b c

ta có:
3
3
3
1 1 1 1
3
a b c abc
a b c abc
+ +
+ +
Nhân từng vế của hai bất đẳng thức trên ta đợc:

2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
Bài toán số 1.2 Chứng minh rằng:
a.
2
2
2
2
1
x
x
+

+

x R
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x
2
+1 và 1.
b.
8
6
1
x
x
+



x

.
Bài toán số 1.4
a. n số dơng a
1
, a
2
, ..., a
n
. Chứng minh rằng:
1 2
1 2
...
1 1 1
n
n
n
n
a a a
a a a

+ + +L
b.Nếu a
1
, a
2
,...., a
n
dơng và a
1
a

= = =
Ta có:
( )
1
2 2 2 2
1 1 3
3 2 2 2 3 .
2 2 2
a b c y z x x z y x y z
b c a c a b
x y x z y z
y x z x z x
+ + +

+ + = + +
ữ
+ + += + + + + + + + =
ữ

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= y= z.
Cách khác:
( ) ( )
1
6
2
1 1 1 1 1 3
6 9 6

cb
a
cbabaaccb
++

+
+
+
+
+
++

+
+
+
+
+
Bài toán số 2.2. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng
yxyx
+
+
411
(1)
Phân tích:
Do x, y > 0 nên BĐT (1) có thể suy ra từ BĐT Côsi hoặc xét hiệu.
Giải
2
Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho 2 số dơng x, y:

( )


+


+
+++

+
+
yxxy
yx
yxxy
xyyxxyxy
yxyx
(2)
Do x > 0, y > 0 nên BĐT (2) luôn đúng.
Vậy (1) luôn đúng. (đpcm)
Khai thác bài toán:
Ta thấy BĐT trên có liên quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để chứng minh BĐT sau:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:






++

+


+
+
+
cba
cba
ca
ca
bc
cb
ba
ba
222222222
3
Bài 2. Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
22
2
22
4
22
4
22







+++
cbaab
c
ac
b
bc
a 111
2
Bài 5. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
x
zy
zy
x

+
+
+
4
2
Bài 6. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
a
b
ba
b

ab

+
áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT trong tam giác

Bài toán số 3 . Cho a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác.
3
Chứng minh rằng:
.3

+
+
+
+
+
cba
c
bca
b
acb
a
Giải:
Cách 1.
đặt x = b + c a; y = a + c - b; z = a + b c.
Khi đó x, y, z > 0 và
.
2
,
2
,



+++++=








+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
y
z
z
y
x
z
z
x

x
y
y
x
====









=+
=+
=+
Cách 2.
Nhận xét: Do a, b, c, là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có:
a + b - c > 0; a + c b > 0; b + c - a > 0
áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dơng:
( )( )
( )( )
( )
bcbaacb
cacbbca
a
bcacba
bcacba
++

c
bca
b
acb
a
Bài tập 3.1 . Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC,
.cba

Chứng minh rằng:
( )
.9
2
bccba
++
(*)
Giải
Vì
( ) ( ) ( )
.2
222
cbcbbcbaba
+=++++
để chứng minh (*) ta cần chứng minh:
( )
.92
2
bccb
+
(1)
Thật vậy:

=<
=<
2
2
220
220
(đpcm)
Bài tập 3.2 . Chứng minh rằng
3
3
22
3
22
3
22
4.2
<
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
(*)
Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

++++
cbcb
cbcb
cbccbb
bccbcb
bccbcbcb
Luôn đúng suy ra (1) đúng
Tơng tự:
( )
2
33
4
1
caca
++

( )
2
33
4
1
baba
++
Do đó:
)3(4
3
3
22
3
22

a
Mà:
2
222
)(2
2
)(2
2
)(2
2
=
++
+
++
+
++
<
<
+
+
+
+
+
=







>+
>+
>+
bca
acb
cba
Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
Các bài tập khác:
Bài tập 3.3 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và có chu vi là 2. Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
+
2abc < 2.
Bài tập 3.4 Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
abccbacbcabacba 3
222
+++++
Bài tập 3.5 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng:
( )
6
111
3333
333

++

++++
abc
accbba
cba
cba
Bài tập 3.7. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng:

32
+++++++++++
adcadbdcbcba
ứNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị
* Với a

0, b

0 ta có
2a b ab
+
, dấu = xảy ra

a = b
* Với n số không âm: a
1
, a
2
, , a
n
ta có:
1 2 1 2

= k (const) thì min(a
1
+ a
2
+ + a
n
) = n
n
k

a
1
= a
2
= = a
n
+ Nếu a
1
+ a
2
+ + a
n
= k (const) thì max(a
1
.a
2
a
n
) =
n

> 0 . Ta có:
1 1 1 1 1 1 1
.
2 4
4
2 2 4 4
Cs
x y x y
xy
xy
A x y x y

+
ữ= + + =


Vậy min A = 4

x = y = 4
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng BĐT Côsi theo 2 chiều ngợc nhau:
+ Dùng
2
a b
ab
+

để dùng điều kiện tổng