TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

KËJ
Người thực hiện

NGUYỄN PHÚC HẬU
Lớp ĐH3A2 Đề Tài Nghiên Cứu Khoa Học
ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
HÖLDER và MINKOWSKI
TRONG TOÁN PHỔ THÔNG


#
Trường Đại Học An Giang Trang 1
"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
"MỤC LỤC
-------------------
Trang
LỜI MỞ ĐẦU......................................................................................................3
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ SỞ ......................................................................4
§1. BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN ...................................................................5
1.1. Hàm lồi ..........................................................................................5
1.2. Bất đẳng thức Jensen....................................................................5
§2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ..................................................................7
2.1. Bất đẳng thức Cauchy...................................................................7
2.2. Bất đẳng thức Cauchy “suy rộng”..................................................7
CHƯƠNG II. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI............................9
§1. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER ................................................................10
1.1. Dạng
đại số ................................................................................10
1.2. Dạng giải tích .............................................................................12
1.2.1.Định lý ..............................................................................12
1.2.2. Bổ đề ...............................................................................12
1.2.3. Bất đẳng thức Hölder dạng giải tích ................................13
§2. BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI ..........................................................15
2.1. Dạng đại số ................................................................................15

"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
"LỜI MỞ ĐẦU

Khi còn học phổ thông, đối với tôi bất đẳng thức là một vấn đề khó khăn
lớn. Do đó, khi bước chân vào trường Đại Học tôi luôn ao ước có cơ hội nghiên
cứu vấn đề này.
Bất đẳng thức là chuyên đề khá phức tạp và có ứng dụng phong phú
trong toán học. Nó liên quan đến nhiều lĩnh vực khác như: Giải tích, lượng giác,
hình học …. Do đó, đây là lý thuyết rất quan trọng. Đã có rất nhi
ều nhà toán
học có những đóng góp quan trọng cho lý thuyết này như: Cauchy, Jensen,
Hardy, … trong đó đặc biệt là Hölder và Minkowski. Các bất đẳng thức mang
tên hai ông được ứng dụng rộng rãi trong giải toán cao cấp và toán sơ cấp,
được vận dụng vào giải các bài toán hay và khó trong các kỳ thi quan trọng
như: thi chọn học sinh giỏi, thi quốc gia hay thi Olympic quốc tế …
Hơn nữa, đối với học sinh phổ thông, bất đẳng thức là chuyên đề phức
tạp và không dễ. Phầ
n đông các em đều không giải được bài toán bất đẳng
thức và các bài toán có liên quan. Một phần do các em chưa biết cách vận
dụng bất đẳng thức cơ bản, một phần các em chưa nắm được các bất đẳng
thức này.
Vì vậy, việc nghiên cứu hai bất đẳng thức Hölder và Minkowski có ý
nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó không những có ý nghĩa lớn trong việc khảo
cứu các bất đẳng thức cơ b

CHƯƠNG I
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức Cauchy
được giới thiệu dưới dạng cơ sở phục vụ cho việc nghiên cứu bất đẳng thức
Hölder và Minkowski.

#
Trường Đại Học An Giang Trang 4
"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu

+ x
β
2
) ≤ f(xα
1
) + f(x
β
2
) (1)
Về mặt hình học, bất đẳng thức (1) có ý nghĩa như sau:
Nếu gọi A
1
(x
1
, f(x
1
)); B(x
2,
f(x
2
)) là hai điểm nằm trên đường cong y = f(x),
với a < x
1
< x < x
2
< b; thì mọi điểm của cung A
1
B
1


– f(x) lồi, tức là
∀
x
1
, x
2

∈

( )
ba;
,
∀
α , 0 mà =
1 thì f( x
β
≥
α +β
α
1
+
β
x
2
) ≥ α f(x
1
) +
β
f(x
2

2
, …, x
n
và α
∈
[
ba;
]
i
> 0,
( )
n1,i =
; α
1
+ α
2
+ …. + α
n
= 1, ta luôn có:

()
∑∑
==
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

= 1.
Ta có:
(1)
kk
2k
1i
1k1kii
k
1i
ii
xαxαxαxα ++=
∑∑
−
=
−−
=
Đặt , vì thế từ (1) suy ra:
1α0αα
2k
1i
i
<<⇒=
∑
−
=
()
⎥
⎦
⎤
⎢

−
+
−
−
α1
α
α1
α
k1k
, mà x
k-1
, x
k
đều thuộc
[ ]
ba;
, nên:

#
Trường Đại Học An Giang Trang 5
"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
" =
*
x

1
,
α
2
,….., α
k-2
, 1 - . (α α
1
+ α
2
+ …. + α
k-2
+ 1 - = 1) α

(2)
⇒
()( )
()
*
2k
1i
ii
*
2k
1i
ii
k
1i
ii
xfα1xfαα)x(1xαfxαf −+≤

k
1k
1k
*
xf
α1
α
xf
α1
α
x
α1
α
x
α1
α
fxf
−
+
−
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−

∑∑
k
k
1k
1k
i
2k
1i
i
k
1i
ii
xf
α1
α
xf
α1
α
α1xfαxαf
Hay
()
∑∑
==
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

n21
n21
....aaa
n
a....aa
≥
+++

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= … = a
n
.
Chứng minh:
Xét hàm số f(x) = - lnx với x > 0.
Ta có f’(x) =
x
1
−
và
0
x
1
)x(''f
2
>=
.
Vậy f(x) là hàm lồi khi x > 0. Theo bất đẳng thức Jensen, ta có:

n21
n21
....xxxln
n
x....xx
ln ≥
+++
⇔

Do tính đồng biến của hàm số y = lnx, suy ra
n
n21
n21
....xxx
n
x....xx
≥
+++
,
0x
i
>∀

Dấu bằng xảy ra x⇔
1
= x
2
= ….. = x
n
.

, … , a
n
là các số hạng không âm. Cho α
1
, α
2
, ... α
n
là các số
hữu tỉ dương sao cho α
1
+ α
2
+ … + α
n
= 1. Chứng minh rằng:
α
1
a
1
+ α
2
a
2
+…+α
n
a
n
≥
n21

1
===
.
Trong đó p
1
, p
2
, .., p
n
là các số nguyên dương và p
1
+ p
2
+ … + p
n
= N.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với p
1
số a
1
, …, p
n
số a
n
, ta được:
n21
n21
p....pp
p
n

N
p
1n
n
2
2
1
1
n21
...aaaa
N
p
....a
N
p
a
N
p
≥+++⇔

⇔α
1
a
1
+ α
2
a
2
+……+α
nCHƯƠNG II
BẤT ĐẲNG THỨC
HÖLDER VÀ MINKOWSKI
Trong chương này, chúng ta sẽ tìm thấy các dạng đại số và dạng giải
tích của bất đẳng thức Hölder; dạng đại số của bất đẳng thức Minkowski thứ I,
II và dạng giải tích của bất đẳng thức Minkowski.
Đáng chú ý là các hệ quả của hai bất đẳng thức trên, chúng được vận
dụng nhiều trong giải toán phổ thông. #
Trường Đại Học An Giang Trang 9
"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
"§1. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER
--------------------
1.1. Dạng đại số:
Cho hai dãy số không âm a
1
, a
2

⎝
⎛
n
1k
kk
q
1
n
1k
q
k
p
1
n
1k
p
k
baba
(*)
Có đẳng thức khi và chỉ khi tồn tại hai số A và B không đồng thời bằng
không sao cho n.1,2,....,k,BbAa
q
k
p
k
==
Chứng minh:
- Cách 1
: Dùng bất đẳng thức Cauchy “suy rộng”.
Theo bất đẳng thức Cauchy suy rộng, nếu a 0, b 0, thì: ≥ ≥

1
n
1k
p
k
k
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑∑
==
, ta được:

q

a
a
p
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≥+
∑∑
∑∑
==
==
(2)
Vì (2) đúng
k = 1, 2, …, n, nên cộng từng vế n bất đẳng thức trên ta
được:
∀

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≥+
∑∑
==
(3)
Từ
q
1
p
1
+ = 1, nên từ (3) suy ra đ.p.c.m
Có đẳng thức khi và chỉ khi n bất đẳng thức trong (2) đều trở thành đẳng
thức, theo (1), có điều này khi và chỉ khi:

n1,k,
b....bb
b
a....aa
a
q
n
q
2

2
p
2
q
1
p
1
===
Với quy ước: Nếu b
k
= 0 với một k nào đó thì a
k
= 0

#
Trường Đại Học An Giang Trang 10
"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
" Ngoài ra, với a
1
= … = a
n
= 0 hoặc b
1
= … = b

1k
q
k
q
k
k
q1
kk
b
b
α;ba (k = 1, 2, …, n)
Ta có ngay x
k
> 0,
n1,2,...,k0,α
k
=∀>
và
1α......αα
n21
=+++

Khi đó ta có:

(**)
()
k
n
1k
knn2211

−
==
=
≤
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔
n
1k
q1p
k
p
k
q
k
n
1k
q
k
p

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
n
1k
p
k
n
1k
q
k
p
n
1k
q
k
p
n
1k
kk
a
b
b
ba
(Do 0pqqp1
q
1

1p
n
1k
q
k
p
n
1k
kk
a.bba

p
1
n
1k
p
k
p
1p
n
1k
q
k
n
1k
kk
abba
⎟
⎟
⎠

=
n
1k
kk
ba
p
1
n
1k
p
k
q
1
n
1k
q
k
ab
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞

2
1
2
n
2
2
2
1
ba....babab....bba....aa +++≥++++++

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
n
n
2
2
1
1
b
a
....
b
a
b
a
===
.
(Bất đẳng thức Bouniakowski)

1.2. Dạng giải tích:
1.2.1. Định lý:

0
)> . α
1. Nếu
thì tồn tại một số dương h sao cho a ≤ x
bxa
0
≤<
0
– h và f(x) >
với mọi x α
∈
. Khi đó:
[
00
xh;-x
]
]() () () ()
dxxfdxxfdxxfdxxf
b
x
x
hx
hx
a
b
a
0

dxxf
b
a
∫
≥
()
dxxf
0
0
x
hx
∫
−
Mặt khác, vì f(x) > α với mọi x
∈

[ ]
00
xh;-x nên:

(2)
()
dxxf
0
0
x
hx
∫
−
≥ 0αhdxα


()
.0dxxf
b
a
>
∫
1.2.2. Bổ đề:
Giả sử (p, q) là một cặp số mũ liên hợp, tức là
1
q
1
p
1
=+ ; p > 1; q > 1. Khi
đó với hai số không âm bất kì ta luôn có:
β,α

q
β
p
α
αβ
qp
+≤#
Trường Đại Học An Giang Trang 12
"

=
trên
[
)
+∞;0
. Giả sử đường thẳng x = α
cắt đồ thị (C) của hàm số y = x
p-1
(cũng là đồ thị của hàm số
1p
1
yx
−
=
) tại điểm
A, đường thẳng y = cắt đồ thị (C) tại điểm B và cắt đường thẳng x = α tại
điểm C. Khi đó diện tích hình chữ nhật Oα C
β
không lớn hơn tổng các diện
tích của hai tam giác cong O α A giới hạn bởi trục hoành, đường thẳng x = và
đồ thị (C) và tam giác cong O
β
B giới hạn bởi trục tung, đường thẳng y =
β
và
đồ thị (C).
β
α

BβOAαOβCαO

1p
1
β
0
1p
1
BβO
1
1p
1
y
dyyS
+
−
==
+
−
−
∫

Vì
q
q
1
1
p
1
1
1
1p

+≤
.
Có đẳng thức khi và chỉ khi hai điểm A và B trùng nhau, tức là:

( )
pq1pq1p
ααββα ==⇔=
−−

1.2.3. Bất đẳng thức Hölder dạng giải tích:
Giả sử (p, q) là một cặp số mũ liên hợp, f và g là hai hàm số liên tục trên
đoạn
[
. Khi đó:
]
ba;
()() () ()
∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞

Chứng minh:

#
Trường Đại Học An Giang Trang 13
"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
"¾ Nếu một trong hai tích phân
()
dxxf
b
a
p
∫
hoặc
()
dxxg
b
a
q
∫
bằng không thì
(1) đúng. Thật vậy, giả sử
()
dxxf
b

.0dxxgxf
b
a
=
∫

¾ Giả sử
()
dxxf
b
a
p
∫
> 0 và
()
dxxg
b
a
q
∫
> 0.
Áp dụng bổ đề 1.2.2, với
( )
()
p
1
b
a
p
dxxf

⎛
=
∫
, ta được
()
()
( )
()
( )
()
( )
()
dxxg
xg
q
1
dxxf
xf
p
1
dxxg
xg
.
dxxf
xf
b
a
q
q
b

⎝
⎛
,
∀
x
∈
(2)
[
ba;
]
Do đó:
()()
() ()
()
()
()
()
1
q
1
p
1
dxxg
dxxg
q
1
dxxf
dxxf
p
1

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫

Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Theo bổ đề 1.2.2, (2) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi:
()
()
( )
()
q
1
b
a

x
∈
[ ]
ba;

Kết hợp với phần 1, ta được (1) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi tồn tại
hai số thực A và B không đồng thời bằng không sao cho:
A |f(x)|
p
= B|g(x)|
q
, ∀x ∈
[ ]
ba;

H ệ quả:

Khi p = q = 2, bất đẳng thức Hölder trở thành:

()() () ()
2
1
b
a
2
2
1
b
a
2

Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
"§2. BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI
--------------------
2.1. Dạng đại số:
2.1.1. Bất đẳng thức Minkowski thứ I:
Cho hai dãy số không âm a
1
, a
2
, …, a
n
và b
1
, b
2
, …, b
n
. Giả sử p > 1 là
số hữu tỉ. Chứng minh rằng:
()
p
1
n
1k
p
k
p

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∑∑∑
===

Chứng minh:
Gọi q là số hữu tỉ mà
1
q
1
p
1
=+ . Vì p > 1 nên q cũng là số hữu tỉ > 1.
Áp dụng bất đẳng thức Hölder cho hai dãy số
{ }
k
a
và
()
{ }
1p
kk
ba
−
+

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤+
∑∑∑
=
−
==
−
(1)
Lại áp dụng bất đẳng thức Hölder cho hai dãy
{ }
k
b
và
()
{ }
1p
kk
ba
−
+
ta
được:
() ()

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤+
∑∑∑
=
−
==
−
(2)
Cộng từng vế (1) và (2), ta có:
()()
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

n
1k
p
k
q
1
n
1k
p
kk
n
1k
p
kk
bababa
(do q(p - 1) = p)(3)
Nếu a
k
= b
k
= 0, k = 1, 2,…, n thì bất đẳng thức (3) hiển nhiên đúng.
∀
Do đó ta có thể giả thiết
. Nên từ (3) ta có:
()
0ba
n
1k
p
kk

⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∑∑∑
==
−
=

Hay
()
p
1

⎜
⎜
⎝
⎛
≤
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∑∑∑
===
.

#
Trường Đại Học An Giang Trang 15
"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
" Hệ quả:

Nếu p = q = n = 2, thì bất đẳng thức Minkowski trở thành:

()( )

(Bất đẳng thức tam giác)
2.1.2. Bất đẳng thức Minkowski thứ II:
Cho 2 dãy số không âm a
1
, a
2
, …, a
n
và b
1
, b
2
, …, b
n
. Chứng minh rằng:
()( )( )
n
n21
n
n21
n
nn2211
...bbb...aaaba...baba +≥+++
(1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
n
n
2
2
1

)
k
+ b
k
= 0.
Do
0ba0b,0a
kkkk
==⇒≥≥
. Vậy bất đẳng thức (1) đúng (vì cả hai vế
bằng 0).
d Nếu (a
1
+ b
1
)(a
2
+ b
2
).....(a
n
+ b
n
) > 0. Khi đó bất đẳng thức (1) viết
lại dưới dạng sau:
1
ba
b
.......
ba

(2)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
+
+
+
≤
+++
nn
n
22
2
11
1
n
nn
n
22
2
11
1

+
≤
+++
nn
n
22
2
11
1
n
nn
n
22
2
11
1
ba
b
......
ba
b
ba
b
n
1
ba
b
.......
ba
b

n
22
2
11
1
nn
n
22
2
11
1
ba
b
.....
ba
b
ba
b
ba
a
.....
ba
a
ba
a

Với quy ước nếu b
k
= 0 thì a
k

x
).
()
R∈∀>
+
=⇒
+
=⇒
x,0
e1
e
)x(''f
e1
e
)x('f
2
x
x
x
x

Vậy f(x) là hàm lồi trên R. Theo bất đẳng thức Jensen, ta có:
() () ( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++


Chọn
n1,2,....,i,
a
b
lnx
i
i
i
==
ta được:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

b
ln
n
n
2
2
1
1
n
n
2
2
1
1
e1ln
n
a
b
1ln.....
a
b
1ln
a
b
1ln

()( ) ( )
⎟
⎟
⎠

n
n21
n
n21
n
nn2211
b.....bba.....aaba.....baba +≥+++⇒

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
n21
x...xx ===

n
n
2
2
1
1
n
n
2
2
1
1
a
b
...
a
b
a

p
p
1
b
a
p
dxxgdxxfdxxgxf
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

1p
xgxf
−
+
,
∀
. Do đó:
[
b;ax ∈
]
() () () () () () () ()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++≤+
−−
∫∫∫
dxxgxf xgdxxgxf xfdxxgxf
1p
b
a
1p
b
a
b

⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤+
∫∫∫
−−
q
1
b
a
q1p
p
1
b
a
p1p
b
a
dxxgxfdxxfdxxgxf xf


=
∫∫
(3)
Tương tự:

() () () () () ()
q
1
b
a
p
p
1
b
a
p1p
b
a
dxxgxfdxxgdxxgxf xg
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟

b
a
p
dxxgxf.dxxgdxxfdxxgxf
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

, từ (5) suy ra:

() () () ()
p
1
b
a
p
p
1
b
a
p
q
1
1
b
a
p
dxxgdxxfdxxgxf
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟

a
p
p
1
b
a
p
dxxgdxxfdxxgxf
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
CHƯƠNG III
ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
HÖLDER VÀ MINKOWSKI
TRONG TOÁN PHỔ THÔNG
Các ứng dụng toán phổ thông của bất đẳng thức Hölder và Minkowski
được thể hiện trong chương này một cách khá đặc sắc ở nhiều lĩnh vực toán
học: giải tích, giải tích tổ hợp, hình học, hình học giải tích, đại số, lượng
giác và số học. #
Trường Đại Học An Giang Trang 19
"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
"§1. ỨNG DỤNG CỦA

BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER
--------------------
1.1. Ứng dụng trong giải tích:
1.1.1. Bất đẳng thức tích phân:

nên
]
]
ba;
≥
[
ba;
( ) ( )
1xgxf ≥
với mọi x
∈

[ ]
ba;
. Áp dụng hệ quả của
bất đẳng thức Hölder cho hai hàm số
f
và
g
, ta được:
() () ()
()
()
()
()() ()
.abdxdxxgxfdxxgdxxfdxxg.dxxf
2
2
b
a

≥=
∫∫∫∫∫∫
Bài 2: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên
[
và f(0) - f(1) = 1.
Chứng minh rằng:
]
]
0;1()
[]
1dxxf'
1
0
2
≥
∫
Chứng minh:
Theo định lý Newton – Leibniz: () () ()
10f1fdxxf'
1
0
=−=
∫
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder cho hai hàm số f’(x) và g(x) =

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
1
0
2
1
0
2
1
0
2
2
1
0
2
1
0

e1edtee1e
Chứng minh:
Ta có:
∫∫
+=+
−
x
0
2t-t
t
2
1
x
0
t2t
dteeedtee
(1)
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder, ta có:

#
Trường Đại Học An Giang Trang 20
"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
"
()

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−−
∫
2
1
e1ee
2
1
2

t
dte
1e
x
−
Từ (2) và (3), suy ra:

<
1e
x
−
dtee
x
0
t2t
∫
−
+
<
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
2
1
e1e

bxa
0
≤≤
=
. Áp dụng hệ quả bất
đẳng thức Hölder với hai hàm f’(x) và g(x) = 1, ta được: () ()() ( )()()
∫∫ ∫∫
−=≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
00 00
x
a
x
a
x
a
2
0
2
2

a
2
2
b
a
2
∫∫
−≤⇒−≤

Bài 5: Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) xác định trên và nhận giá
trị cũng trên đoạn
[
. Chứng minh:
[
0;1
]
]
0;1()() () ()
dxxgdxxfdxxgxf
1
0
1
0
2
1
0
∫∫∫

⎜
⎜
⎝
⎛
Vì
() ( )
1x01,xg1;0xf0 ≤≤∀≤≤≤≤
nên:
và
() ()
xfxf
2
≤
( ) ( )
1x0,xgxg
2
≤≤∀≤ .

#
Trường Đại Học An Giang Trang 21
"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
"Suy ra
do đó:
() () () ()

dxxgdxxfdxxgxf
1
0
1
0
2
1
0
∫∫∫
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Bài 6: Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên
[ ]
0;1
và
()
1xf ≤
,
[
0;1x
]
∈∀
. Chứng minh:

2
1
0
2
dx(x)f-1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
()
()
∫∫
−≤
1
0
1
0
2
dxdxxf1
()
∫
−=
1
0
2

⎝
⎛
1
0
1
0
2
2
1
0
dxdxxfdxxf
2
1
0
f(x)dx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
≥
()
∫
−
1
0

để: S = x + y nhỏ nhất (tính theo a, b).
Giải
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder, ta có:
(
a + b)
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ y
y
b
x
x
a
2
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

"⇔
⎩
⎨
⎧
+=
+=
)ba(by
)ba(ax

Vậy: Min(S) = ( a+ b)
2
, khi:
⎩
⎨
⎧
+=
+=
)ba(by
)ba(ax
.
Bài 2: Chứng minh rằng nếu phương trình: (1)
có nghiệm thì a
0 1 cx bx ax x
234
=++++
2
+ b

xxxcbacxbxaxx1 ++++≤++=+
( )
246
2
4
222
xxx
x1
cba
++
+
≥++⇒
(2)
Mặt khác:
()
3
4
xxx
x1
246
2
4
≥
++
+
(3)
Thật vậy:
(3)
( ) ( )
24684

−===−=
=−===
1x
3
2
cba
1x
3
2
cba

Bài 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x, y, z, t) = x
4
+ y
4
+ z
4
xét trên miền
( ){ }
4zxyzxy: zy,x,D =++=
.
Giải:
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder cho hai dãy số: x, y, z và y, z,
x ta được:
()
( )
2
2

⎝
⎛
, và do
D
3
2
,
3
2
,
3
2
∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, nên:

#
Trường Đại Học An Giang Trang 23
"

#
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
"
2
= b
3
= 1 ta được:
()
( )
2
222
zyxzyx3 ++≥++

Vậy: , ta có:
()
Dz,y,x ∈∀
( )
81zyx
2
≤++

Hay:
9zyx ≤++
( )
Dz,y,x ∈∀
(1)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3.
Lại áp dụng hệ quả bất đẳng thức Hölder cho hai dãy số a
1
= x, a
2
= y,
a

Vậy
()
()
36zy,x,fmax
Dy,zx,
=
∈
khi x = y = z = 3.
Bài 5:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
()
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
t,z,y,xf
3333
++
+
++
+
++
+
++
=


yxtz ++
,
,
()
zyxt ++
, ta được:

()( )( ) ( )( )
[]
≥+++++++++++ zyxtyxtzxtzytzyxtz,y,x,f( )
2
2222
tzyx +++≥
Hay
()( )
( )
[]
()
2
22222222
2
tzyxtzyxtzyxtz,y,x,f +++≥+++−+++

()
( )
()
()


#
Trường Đại Học An Giang Trang 24
"