sở giáo dục và đào tạo hà nội
Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm:
kinh nghiệm giảI
ph-ơng trình vô tỷ

Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn
Tổ : Toán Hà Nội, 5 / 2012
sở giáo dục và đào tạo hà nội
Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều


có thể sử dụng để chuyển sang phần bất ph-ơng trình cũng đ-ợc; xong khi
chuyển sang bất ph-ơng trình có những phần sẽ đ-ợc mở rộng để có bài toán hay
hơn. Do đó ng-ời nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào
nhiều mục đích giáo dục khác nhau cũng đ-ợc.

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 ph-ơng pháp giải toán
th-ờng gặp.

, 
H 1

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Kinh nghiÖm gi¶i ph-¬ng tr×nh v« tû

Bài toán mở đầu

2
2
1 1 (*)
3
x x x x    

 
Giải
 0 
x
 1
* Cách 1:
 
 
 

0
1
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x

     


         
    
    








* Cách 2:

2
xx

x
và
1 x

 
2
2
1 1 2x x x x    



1t x x  
,
12t, 
H 2 2
2
1
2
t


2t 
, 
1t 
, có
2
0
1 1 2 0
1
x
x x x x
x


      




0, 1xx


0, 1xx
.

* Cách 3:
:
x
và
1 x

33
1
23
t
x
t




L
   
22
11xx  
, nên
2
2
33
1
23
t
t
t








x







0, 1xx


0, 1xx
.

* Cách 4:
êm cách khác

ax
,
1bx
,
0, 0ab


22
2
1
3
1
ab a b

   
2
3 3 1a b a b    



   
2
3 2 0a b a b     

1
2
ab
ab








1ab
, có
.0ab

0
1
1
0






2ab
, có
3
.
2
ab
, 
,ab
(Vì
2
3
4 2 4. 6
2
  
)
0, 1xx


0, 1xx
.
 .

* Cách 5:

   

sin +cos 2
aa
aa







sin cos 1aa  

2
2sin . os 2sin 0
2 2 2
a a a
c  

sin os sin 0
2 2 2
a a a
c

  



sin 0
2
tan 1










0
1
x
x







0, 1xx

 
0, 1xx
.

              
 
 
vào  .

Bài toán 2: Tìm m 
2
22x mx m  
(I), .
Bài toán 3: Tìm m 
22x m x  
(II), 

Bài toán 4: 
1)
2 5 2 2 7 3x x x x     
(1)
2)
3 3 1 2 2 2x x x x     
(2)
3)
3
2
1
11
x
x x x x
x

     
(3)
4)
33
11
4 1 1


17 0x 
.
 
(1)
2
1 3 0
17 1 3
x
xx





  



2
1
3
17 1 6 9
x
x x x



















1x  

 
1x 
.

, 
H 5

Chú ý: 
( ) ( )f x g x

2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
gx

2
10
31
x
xx
  




   



2
1
3 2 1
x
x x x




   


2
1
20
x

2x 
.

3)
 
(3)
2
23
10
5 2 1 1
x
x x x x x





     



3
1
2 1 1 3
x
x x x









    


32
1
1
3
9 8 0
x
x x x

  




  


 
2
1
1
3
9 8 0
x











0x


0x 
.

Chú ý:
Trong bài này t
23
3
5 2 1 0
2 1 0
x x x x
xx

    


  


1 3 2 2. 1. 3 2 8 7x x x x x x x x           

     
2
2 1 1 . 1 2 5 6x x x x x x        

       
2
2 1 1 2 1 6x x x x x      

 
 
   
2 2 2
2
16
4 1 2 1 6
x
x x x x x
  




     



 
 


  



16
1
2
22
3
x
x
x
x
  
















 (4)
* 
1x 
, 
1 2 7x x x    

   
22
1 2 7x x x     

1 2 1 2 2 7x x x x x        

2
2 2 6x x x    

 
 
2
2
60
4 2 6
x
x x x





   













2x

2x 
, 
* 
7x 
, 
        
1 1 1 2 1 7x x x x x x           

1 2 7x x x       

   
22
1 2 7x x x       

1 2 1 2 2 7x x x x x          

2 1 2 6 0x x x      

3 3 3
12 12 2 3x x x    

 
 
3 3 3 3
12 12 2 3 3 12 12. 2 3. 12 12 2 3x x x x x x x          

 
 
3 3 3 3
12 12. 2 3. 12 12 2 3 3 1x x x x x       

 
33
3
12 1 . 2 3. 3( 1) (5*)x x x x    

    
3
12 1 2 3 27 1x x x x    

 
   
22
1 4 2 3 9 2 +1 0x x x x x

     



vào p

1, 3xx
.

Chú ý : , (5*) là  
trình (5).  
(5) .

, 
H 8


3
33
  

hai 

   
3
33
3aa b a b b a b    
.

6) 
2x 

(6)
2




(6.1)
2xx  

2
0
2
x
xx







2
0
20
x
xx




  



  




   



2
1
2 2 1
x
x x x




   


2
1
10
x
xx







.
Chú ý: 
( ) ( )f x g x
hai
 
1x 
,
2x 
) và tìm
.

. Bài toán 2
*) 
0m 
 
*) 
0m 
thì:
()
22
0
22
I
m
x mx m





1m

0m 
)
 
1m 
.
, 
H 9

Bài toán 3
 
()
2
20
22
II
x
x m x





2
( ) 2 4f x x x  
,


2;x    

thiên

x




2

 ()fx

4 

3


2x 

2
5
4
x
x








ình có hai 
5
4
x 
,
2x 
.

Chú ý: 
2 5 2 2 7 3x x x x     


( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x  
, 
( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x  

   : tì          

2 1 0x  

1x

Thay
1x 
vào  

1x 
.

Chú ý:

3 4 2 2 3 1x x x x     

 
không.
 trên là
( ) ( ) ( ) ( )f x g x k x h x  
, 
( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x k x  


( ) ( ) ( ) ( )f x h x k x g x  
, sau
.

3) 
0x 


1
2
x
xx
x

   

3 2 3
1 2xx x x    

 
2
10x  

1x


1x 
.

Chú ý:

3
2
1
. 1. 1
x
x x x x
x


22
33
11
4 1 1
4 1 1
xx
xx
xx
   

     
   
   

   

33
33
11
4 1 2 1 1 2 1
4 1 1
xx
x x x x
xx

         


   

3 2 4 3 +2 0x x x x    

  
 
2
3 2 2 2 1 0x x x x     

2
3
2
12
12
x
x
x
x















4 1. . 1
4 1 1
xx
xx
xx

  


 
3
1x 

sau ó quy 
 
1 4 1xx  
, c
hng
trình:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x  
. Trong ó:
( ). ( ) ( ). ( )f x h x k x g x

ng trình:
( ) ( ) ( ) ( )f x h x k x g x  

Sau ó bình ph

5)
   

3 3 3 3
3
3
(3 5) 2 1 2 6 2 1 2 6 2 1 2 6x x x x x x x x          
(5*)
  
3
3
(3 5) 2 1 2 6x x x x    

(Vì:
33
2 6 2 1 2 6 2 1 0x x x x       
)
(3 5) (2 1)(2 6)x x x x    

22
3 5 4 10 6x x x x    

2
5 6 0xx   

1
6
x
x





1)
3 2 2
2x x x x   
2)
42
3 2 1x x x   

3)
42
1 1 2x x x   
4)
3
1 1 2x x x   

5)
4 2 2
2 5 3 1x x x   
6)
42
11x x x   

7)
2 1 2 2x x x   
8)
32
1 1 2x x x   

9)
23
2 4 3 4x x x x   



18)
22
4 12 6 2x x x x x      
19)
22
2 2 1 1x x x    , 
H 13

20)
22
2 2 1 1x x x x     
21)
1 3 2 3 3 2x x x    

22)
3 3 2 4 2x x x    
23)
2 3 3x x x   

24)
22
2 1 2 1 2 9x x x x     
25)
33
1 1 1xx    

8 15 2 15 4 18 18x x x x x x       

32)
22
2 8 6 1 2 2x x x x     
(H BK HN 2001).

Bài 2: Tìm
m
ng trình:
2
2 3 1x mx x   
.

Bài 3: Tìm
m
ng trình:
22
24x mx x  
có ng.

, 
H 14

Phng pháp 2: Phng pháp 

I. Bài toán 1: 
   
0af x b f x c  
,




0abc 
)
Phng pháp chung là 
   
t f x g x

1) Cho phng trình:
2
1x x x x m    
(3)
a) 
1m 

b) Tìm
m
.
2) Cho phng trình:
2
2 1 2 2 2x x x x x m       
(4)
a) 
11m 

b) Tìm
m
.
3) ng trình:


ng trình:
1)
 
22
1 2 3 1x x x x    
(10)
2)
2
4 1 1 3 2 1 1x x x x      
(11)
3)
2
2 2 4 4 2 9 16x x x    
(12).



I. Bài toán 1:
1) 
1
5
x
x







2
6 8 0tt   

2
4
t
t







2 2 2
22
2
2 13
4 5 2 4 5 4 4 9 0
7
4 5 16 4 21 0
4 5 4
3
x
x x x x x x
x
x x x x
xx
x




 
2
68f t t t   

 
0;t  


 
1ft
,
0t


1m 
.

2) 
2

      


2
10 16t x x  
,
0t 

22
10 16t x x   

Ph
2
16 2 8 0tt   

2
4
2 8 0
2
t
tt
t


    




2t 




Thay
10x 
vào 
2
8 2 0xx  


10x 
.

Chú ý: ây tôi chng trình
2
8 2 0xx  
.

II. Bài toán 2:
1) 
01x


1t x x  
, 
11t  

 
2
2



    




3t 

1t 
, nên
1 1 1 1x x x x      

1 1 2 1x x x     

 
2 1 2 1 0xx    

1x
(vì
10x
,
 
0;1x
)

1m 
ph
1x 
.

22ft   
,
 
1;1t  

Do ó:
2 2 1
2 2 1
mm
mm




   



1m 
,
1m 
thì ph.

2) 
2x 


12t x x   
,
3t 

2
1
2 4 1 2
2
t
t m t t m

      
(4*)
a)
11m 
,
(4*)
22
4 1 22 4 21 0t t t t       

7
3
t
t







7t 

3t 

11m 
ph
3x 
.
b) Ph    

Ph      
3t 


 
2
41f t t t  
,
3t 


 


  
(5*)
Ph
3
3
35
. 30 125 5
3
t
t t t
t

    

Thay
5t 
vào (5*) có:
t

 
ft
2
3

4 4 3


, 
H 18

2x 
,
3x 
.

Chú ý: 
3
3
35yx
và ng trình 
       


III. Bài toán 3:

1) 
1x 


 
 
22
2 4 2 1 2 1x x x x x     


1ax
,
2
1b x x  
,





2
a
b


2
22
1
2 1 2 1
2
1 4 4 5 3 0
a
b a x x x
b
x x x x x
       
        

5 37
2
x



 ph
5 37

        

       
       

, 
H 19

1
1
2
2
x
yx
y
x
yx
y










x
x



  










1
2
yx
, có:
1
2
2
xx  

 
2
2
0
0

2x 
,
2 2 3x 
.

3) 
1
2
x 


 
 
22
3 4 1 3 2 2 1x x x x x     


1
2
x 
ng trình

2
2a x x
,
21bx
,
0a 
,
0b 









15
2
a
b




   
2
15
2 1 5 2 2 1 5 2 1
2
a
a b x x x
b

        

 
 
 

2
x


.

4) 
5x 

(9)
22
2 2 2
5 14 9 20 5 1
5 14 9 20 25 25 10 1 20
x x x x x
x x x x x x x x
       
           

   
 
 
 
 
2
22
2 5 2 5 1 4 5
2 4 5 3 4 5 4 5 4
x x x x x
x x x x x x




   
        

   


   







ab
, có:
22
4 5 4 4 5 4x x x x x x        

2
5 9 0xx   

5 61
2
5 61
2
x

7
4
x
x








8x 
, 
ng trình có hai 
8x 
,
5 61
2
x


.

Chú ý: Ta g trên vì
 
 
22
2 5 2 2 4 5 3 4x x x x x      


2
1 2 2 0t x t x    

 
2
22
2 1 8 8 6 9 3x x x x x x          

(10)
2
1
t
tx








2,t 
có
2
23xx
= 2
22
2 3 4 2 1 0 1 2x x x x x          



4 4 1 1 16 1 8 8 4 12 1 9(1 ) 2 3 1
21
21
x x t t x t
t x t x x
x x x x x x x
tx
tx
       
        
                 




  



2 1 ,tx
có:
1 2 1 1 4 4x x x x      

3
53
5
xx     


21tx  


ng

3) 
22x  

(12)
2
2 2 2 2 2
4(2 4) 16(2 ) 16 2 4. 2 9 16
16 2(4 ) 8 32 9 4(8 2 ) 16 8 2 8 0
x x x x x
x x x x x x x
        
           


2
2 8 2 , 0t x t  , 
H 22

(12)
22
8 8 0
8
tx
t t x x

  
  





42
3
x


8,tx  
có:
2
2 8 2 8xx   

2
2 8 2 8 0xx    
ng trình không có 
 
2;2x

 ph
42
3
x 
.



5)
22
22
2
1 5 1
20
12
1
x x x
x x x
x


    






6)
23
2 5 1 7 1x x x   

7)
2 2 2
( 6 11). 1 2( 4 7) 2x x x x x x x       

8)
3 2 2