PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A 4 10 2 5 4 10 2 5 5
      
b)
 
 
 
 
2 2
2 2
2 2
x y x x y y
x y
B
xy x x y y x y
 


AHM

c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng
GB HD
BC AH HC



Bài 5: a) Cho




3 3 2 2
x y 3 x y 4 x y 4 0
      
và xy > 0
Tìm GTLN của
1 1
M
x y
 

b) Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

5 5 5 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a 3

B 1
x x y y x y

Xét các trường hợp x < y < 0; y < x < 0; x > y > 0 và y > x > 0 ta đều được

B 1
Bài 2: Cách 1:
    
        
2
2
y 2xy 7x 12 0 x y x 3 x 4

(x + 3)(x + 4) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên không thể là 1 số chính phương
Dó đó
x 3 0 x 3
x 4 0 x 4
   
 

 
   
 
Từ đó ta tìm được (x; y)  {(-3; 3); (-4; 4)}

    
 

 
   
 Bài 3: a) Cách 1: ĐKXĐ: x  -1. Đặt

 

 

 
5 x
x a
x 1
và

 

5 x
x b
x 1
.
Ta có
      
   
     








. Với
2
2
2
5 x
x 2
a 2 x 3x 2 0
x 1
x 3x 2 0
b 3
x 3x 2 0
5 x
x 3
x 1
 
 

 


   

 

2
5 x
x 3
a 3 x 2x 3 0
x 1
x 2x 3 0 x 1 2 0
b 2
x 2x 3 0
5 x
x 2
x 1
 
 

 


   

 

 
         
  

  






b)
   
        
10 14 5 7
x 2013 x 2014 1 x 2013 x 2014 1

Ta có x = 2013, x = 2014 là 2 nghiệm của phương trình. Ta chứng minh 2 nghiệm này là duy nhất
Xét x < 2013
              
7 5 7
x 2014 1 x 2014 1 x 2014 1 x 2013 x 2014 1

Xét 2013 < x < 2014
5
7
0 x 2013 1 x 2013 x 2013
0 x 2013 1
1 x 2014 0
0 x 2014 1
x 2014 x 2014

      
  

 
  
  
   
  


 EDC  BAC (g – g)
EC BC
DC AC
 
Xét BEC và ADC có


EC BC
DC AC
C chung






 BEC  ADC (c – g - c)



BEC ADC

. Mặt khác AH = HD (gt) nên

           
(Vì BE = 2BM). Xét BHM và BEC có

BM BH
BC BE
MBH chung






 BHM  BEC (c – g - c)



0 0
BHM BEC 135 AHM 45
    

c) Xét AHC và BAC có



0
AHC BAC 90 (gt)
C chung

 



Bài 5: a)




3 3 2 2
x y 3 x y 4 x y 4 0
      











2 2 2 2 2 2
x y x xy y 2 x xy y x 2xy y 4 x y 4 0
              
     
 
2
2 2 2 2

xy

 

Vậy
1 1 x y
M 2
x y xy

    
, GTLN của M là -2. Đạt được khi x = y = -1

b) Cách 1: Ta có:
 
 
 
3
3 2 2 3 3
2 2
a 2a b
3a 2a b a ab b a b ab a b
a ab b 3

         
  
2
2 2








3 3 3 2 2 2 2 2 2
a b c a b b c c a a a b b b c c c a
          

             
2
2 2 2
a a b b b a a c c c a a b a b a c b c b c 0
               

Từ đó suy ra
5 5 5 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a 3
 
  
     
. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhia mở rộng ta có

5 5 5 6 6 6
2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2




3 3
c a ca c a
  
. Suy ra








3 3 3
2 a b c ab a b bc b c ca c a
        







3 3 3 3 3 3
3 a b c a b c ab a b bc b c ca c a

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn: Giải toán trên máy tính cầm tay.
Thời gian 150 phút
Ngày thi: 24/11/2011
Bài 1. Tìm nghiệm của phương trình:
1 1 1
.(4 )
3 2 1
2 3 1
5 3 1
4 5 1
7 4
2
6 7
8 9
x  
  
  
 

Kết quả: x = ………
Bài 2. Cho hình thang vuông ABCD biết AB = 12,35; BC = 10,55;

0
D=57

n
.
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n+2

theo U
n
và U
n
trên máy tính CASIO.

Kết quả: a) U
1
= …; U
2
= ……; U
3
= ………; U
4
= ……………;U
5
= …………….
b) U
n + 2
=
c) Quy trình bấm phím:


+ 2
19
+ 2
n
là số chính phương.
Kết quả: n = ………
Bài 6. Biết số dạng A =
11235679 4
x y
chia hết cho 24. Tìm tất cả các số A.
Kết quả: A=…………………………………………………………………………
Bài 7 . Dân số một xă hiện nay là 20.000 người. Người ta dự đoán sau 2 năm nữa dân số
của xă là 20.808 người.
a) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xă tăng bao nhiêu phần trăm?
b) Hỏi sau 10 năm dân số xă là bao nhiêu?

Kết quả: a) Tỉ lệ gia tăng dân số mỗi năm: ……………
b) Dân số sau 10 năm: …………………
Bài 8. Cho biết cos x = 0,7 3 61 (0
0
<x<90
3Kết quả: Diện tích phần giới hạn: ………… UBND HUYỆN NGHI XUÂN
PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013 -2014
Môn: Toán. Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: a. Tính giá trị của biểu thức:

Chứng minh rằng P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S chia hết cho 30.
Câu 3: Cho ba số x, y, z khác 0 và thoả mãn:

2 2 2
1
x y z
2
1 1 1 1
4
x y z xyz
1 1 1
0
x y z

  



   



  


.
Tính giá trị của biểu thức:




  
  
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
P x y z
x y z
   
 

b. Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1
2013 2013 2013
x y z
x yz y zx z xy x y z
  
       

Hết
Họ và tên thí sinh

SBD



 


0,5
Xét x = 0. Suy ra y = - 4 ( Thỏa mãn)
0,75
Xét
0; 0
x y
 
. Biến đổi PT về dạng:




2 2
2 0
x y x
   

Lập luận tính được x = y = 4 ( Thỏa mãn).
1,0
KL:




; 0; 4

Mà
x Z

Suy ra
4
x

{
4 4 4 4
0 ;1 ;2 ;3
}

1,0

4 4
0
x

thì
2
85
y

( loại)
4 4
1
x

thì
 

y
y
 


  


20
16
y
y





Khi đó
3
3
x
x



 


Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên


0,5 2
Ta có : với mọi số nguyên m thì
5
m m

chia hết cho 30
Thật vậy:
5 4 2 2
( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 2)( 2) 5 ( 1)( 1)
m m m m m m m m m m m m m m m
              
(1)
Với mọi số nguyên m thì
;( 1);( 1);( 2);( 2)
m m m m m
   
là 5 số nguyên liên tiếp
nên trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3;1 thừa số chia
hết cho 5 mà 2; 3; 5 nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên tích của chúng chia
hết cho 2.3.5. Hay
( 1)( 1)( 2)( 2)

5 5 5
P S a a b b c c
      
chia hết cho 30 với a; b; c là các số nguyên
1,75
Câu 3: (2,5 điểm)Từ giả thiết suy ra:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 2(x y z) 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2
x y z xyz x y z xyz x y z xy yz zx x y z
   
 
                
   
   

Mà
1 1 1
0
x y z
  
suy ra
1 1 1
2
x y z
  


1,0

2013 2013 2013 2013
2009 2009 2009 2009
2011 2011 2011 2011
0 0
0 0
0 0
x y x y x y x y
z y y z y z y z
x z z x z x z x
 
       
 
 
 
          
 
 
 
 
       
 
 
nên P = 0
0,5
Câu 4 :(5,5 điểm) a) 3 điểm. b) 2,5 điểm

MO MK 1
AH AB 2
 
( 0,5
)

A
B
C
H
M
K
I
O 3
Xét AIH và MIO có
MO MI 1
AH AI 2
 
và


IH OA




0,5
N
M
D
E
I
O
x
y
db) Giả sử
1 1 1
OM ON a
 
(1) ( a là số dương cho trước). Lấy điểm D trên Oy sao
cho OD = a thì OD < ON. Vẽ DI song song với Ox ( I

đoạn MN ). Lấy E trên Ox
sao cho OE = ID. Khi đó OEID là hình bình hành.
1,0
Ta có
1
OE OD NI EI NI MI

CÂU 5 (3,5 điểm) Câu a) 2 điểm. Câu b) 1,5 điểm

a) Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với

a, b, c

R và x, y, z > 0 ta
có
 
2
2 2 2
a b c
a b c
x y z x y z
 
  
 
(*) Dấu “=” xảy ra


a b c
x y z
 

Thật vậy, với a, b

R và x, y > 0 ta có
 
2
2 2

a b a b c
a b c c
x y z x y z x y z
  
    
  
Dấu “=” xảy ra


a b c
x y z
 

Áp dụng với a = b= c = 1 ta có
 
2
1 1 1
1 1 1 9
1
1 2 3 6 6
x y z x y z x y z
 
    
        

=>
6 9
x y z
   
=>

1 1 1
1
x 1 y 2 z 3
  


 


 


    


  

  


x 2
y 1
z 0








 
 
2
3 3 3
3 2013
x y z
x y z xyz x y z
 

     
(1)
Chú ý: xy + yz + zx = 671 nên


2
2013
x x yz 
=


2
1342 0
x x xy zx
   
,


2
2013 0
y y zx

3 3 3
3 2013
x y z xyz x y z
      
     
2
3 2013
x y z x y z xy yz zx
 
       
 

=
   
2
3.671 2013
x y z x y z
 
     
 
=
 
3
x y z
 
(3)
0,5
Từ (1) và (3) ta suy ra
 
 


UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Tháng 3 / 2012
MôN: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề)

Đề chính thức

Bài 1. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không là số chính
phương.Bài 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a,
3
2 x
+
1x
= 1
b,







3
.
Tính R + r theo d
1
, d
2
, d
3
?
Bài 4. Lấy một số tự nhiên có 2 chữ số chia cho số có 2 chữ số viết theo thứ tự ngược
lại thì được thương là 4 và dư 15. Nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được một số bằng
tổng bình phương của 2 chữ số tạo thành số đó. Tìm số tự nhiên ấy?

Hết

Họ tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
áp án Đ1

UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

2
b
3
a









a
3
+
a
2
- 2
a
= 0


a ( a
2
+ a
-2) = 0

  










2
2
yxz
0zyxxy
0zyxzx

 
 







 
 
 
2

















   
D
2
2
yxz
0zyx
0zyx
C
2
2
yxz



2;0;2 

0;2;2
;


0;2;2 
;


2;2;0
;


2;2;0 Bài 3: 6 điểm
a, Ta có BMO = BNO = 90
0

=> OMBN là tứ giác nội tiếp
Trên BO lấy E sao cho BME = OMN
=>


áp dụng câu a đối với các tứ giác OMAP , ONCD ta có
d
1
.
2
b
+ d
3
.

2
c

= R.
2
a

d
3
.
2
a
+ d
2
.
2
b
= R.
2
c

.( d
1
c + d
3
b + d
2
a

) Do đó ( R + r )( a+b+c) = ( a+b+c)( d
1
+d
2
+d
3
)
hay R + r = d
1
+ d
2
+ d
3

Bài 4: 3,5 điểm


2 2
4. 15(1)
9 (2)
ab ba
ab a b

 


  



C1 : Từ (1) ta thấy nếu

=> a = b = 9 khụng thỏamón (1) và (2)
Vậy b = 1 thay b = 1 vào (2) ta được:
– 9 = a
2
+ 1
 10a + 1 – 9 = a
2
+ 1
 a
2
– 10a + 9 = 0
a
1
= 1; a
2