Vũ Ngọc Vinh
1
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI TÍCH ĐIỂN HÌNH
PHẦN I. BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP
1.BÀI TOÁN 1:
Lập phương trình đường thẳng d qua A vuông góc với đường thẳng d
1
và cắt đường thẳng d
2
Cách 1:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng tham số.
-Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng
và cắt (d
2
) tại B, khi đó B( )
AB
(…)
-Gọi
1
là vtcp của (d
1
), ta có
1
: : , .x
qua A
d d y t R
vtcpAB
z
Cách 2:
-Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng, khi đó (d) chính là giao tuyến của
hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
), trong đó:
* Phương trình mặt phẳng (P
1
):
1
1 1
:
qua A
P
P d
. Ta có :
2
2 2
:
qua A
P
d P
Vũ Ngọc Vinh
2
2 2
2 2
:
qua A
vtptn
Cách 2: Chuyển phương trình (d
2
) về dạng tổng quát, sau đó sử dụng
chùm mặt phẳng.
* Kết luận: Phương trình giao tuyến (d) của (P
1
) và (P
2
) có dạng:
1
2
:
pt P
d
pt P
:
qua A
P
d P
1
1
:
qua A
P n AM
n a
1
), ta có (P
1
)
thuộc chùm tạo bởi (d
1
), có dạng :
(P
1
) : m(pt(
1
) của (d
1
)) + n(pt
2
của (d
1
)) = 0
1
( ) : P
Bước 2:
Gọi B là giao điểm của (P
1
) và (d
2
). Khi đó tọa độ của B là nghiệm của
hệ:
Chú ý: Nếu không tồn tại B. Kết luận bài toán vô nghiệm
Nếu có vô số nghiệm. Kết luận bài toán có vô số nghiệm, đó
chính là chùm đường thẳng chứa (d) đi qua A.
Bước 3:
Gọi (d) là đường thẳng qua A, B, ta có:
: : , .x
qua A
d d y t R
vtcpAB
z
).
3. BÀI TOÁN 3:
Lập phương trình đường thẳng d
1
qua A vuông góc với d và nằm trong
mp’(P)
Bước 1:
+) Kiểm tra (d) có cắt (P) tại A không.
+) Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn:
:
d
qua A
qua A
Q Q
Q d
vtpta
4
Gọi
a
là vtcp của (d), ta có
a
Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
: , .
x
d y t R
z
Vì
H d
* Cách khác: Dựng (P
1
) và (P
2
) thỏa mãn:
1
1
:
qua A
P
P d
và
2
2
n
Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc
với (P), ta được:
: : ,x
qua A
d d y t R
vtcpn
z
là vtcp của (d), ta có
a
Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
: , .
x
d y t R
z
Vì
H d
, nên H (theo t)
AH
H
8. BÀI TOÁN 8: Xác định tọa độ điểm A
1
đối xứng với A qua đường
thẳng d
Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên đường
thẳng (d).
Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A
1
từ điều kiện H là trung điểm của AA
1
. PHẦN II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho (d
1
) là đường thẳng:
1 1 3
3 2 2
d y t t R
z t
ĐS:
1 1 3
3 2 5
x y z
Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (1; 2; -2) và song song với
đường thẳng xác định bởi 2 mặt phẳng:
2 0( )
2 5 1 0( )
x y z
x y z
chứa A và (d).
b)Lập phương trình đường thẳng
đi qua A và vuông góc với vectơ
a
và cắt
đường thẳng (d).
ĐS:
: 3x+3y+2z-9=0;
1 2 3
:
5 21 24
x y z
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2, -1, 1); và đường thẳng
xác định
bởi 2 mặt phẳng:
4 0( )
2 2 0( )
y z P
d z
a)Viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua A và chứa (d) .
b) Viết phương trình đường thẳng
đi qua A, vuông góc với (d) và cắt (d).
Vũ Ngọc Vinh
7
ĐS: (P): 14x-5y-8z-24=0;
14 5 8 24 0
:
2 4 15 0
x y z
x y z
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng
trình:
1 2
: 2 , . : 2 2 1 0
3
x t
d y t t R P x y z
z t
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi
điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d). Hãy xác
định tọa độ điểm K.
ĐS: M
1
(-3; 4; -6) và M
2
(9; -2; 12); K(4; 3; 3).
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Hãy
viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và
ĐS:
2 1
:
2 0 1
x y z
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x+6y-z-2=0, và đường thẳng
(d) xác định bởi 2 mặt phẳng:
Vũ Ngọc Vinh
8
1
2
7 14 0( )
2 0( )
x y z P
x y z P
a) Tìm tọa độ giao điểm A của (P) và (d).
.
b) Tìm tọa độ của điểm N đối xứng với điểm M(2; 0; -1) qua đường thẳng (d).
ĐS:
1 2
13 3 16 1 9 8
; ; ; ; ; ; 0; 2;1
5 5 5 5 5 5
A A N
Bài 13: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng xác định bởi 2 mặt phẳng:
2 0( )
3 2 3 0( )
x z P
x y z Q
và vuông góc với mặt phẳng: x – 2y + z + 5 = 0.
ĐS:
: 11x – 2y -15z – 3 = 0
1 2
2 ' 5
: 3 2, ; : 4 ' 1, '
4 6 ' 20
x t x t
d y t t R d y t t R
z t z t
ĐS: M(3; 7; 18)
Bài 16: Chứng tỏ rằng hai đường thẳng sau đây không cắt nhau và vuông góc
nhau:
1
1
:
1 2 3
x y z
d
d d
x y y z
ĐS:
1 5
1 3 0
x y z
Bài 18: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1), vuông
góc với thẳng:
1
1 2
:
3 1 1
x y z
d
và cắt đường thẳng
x y z
d
ĐS:
1 1 3
2 3 6
x y z
Bài 20: Cho 2 đường thẳng
1 1
1 2
2 2
2 3 2 0( ) 2 3 9 0( )
: ; :
3 2 0( ) 2 1 0( )
x y x y
d d
x z y z
x q
Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d
1
) và cắt (d
2
).
ĐS:
1 1
1 1 2
x y z
Bài 22: Trong không gian cho 2 đường thẳng
Vũ Ngọc Vinh
10
1 2
7 3 9 3 1 1
: ; :
ĐS: x + 2y + z – 1 = 0;
2
2Bài 25: Cho điểm A(1; 2; 1) và đường thẳng (d):
1
: 3
3 4
x y
d z
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng (d)
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d).
ĐS: 15x – 11y –z + 8 = 0;
347
26Bài 26: Trong không gian cho 2 đường thẳng
1 2
2 1 2
: 2 à : 3 2
3 2 1 3
x t x s
d y t v d y s
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d v d
a) Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
ĐS:
2 21
Vũ Ngọc Vinh
11
Bài 28: Trong không gian cho 2 đường thẳng
1 2
2 2
2 0( )
: à : 5 ,
ĐS:
17
419Bài 29: Trong không gian cho 2 đường thẳng
1 2
2 1 1 2
: à :
1 1 2 2 1 1
x y z x y z
d v d
a) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
b) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm B(3; -3; 2) qua đường thẳng (d
1
).
ĐS:
4
3
;
1 11 8
, (P)) =
1 0 2
1
5 5
; d (M
2
, (P)) =
3 4 0
1
5 5
* Theo chương trình Nâng cao
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng
2 2 3
:
2 3 2
x y z
. Tính khoảng cách từ A đến . Viết phương trình mặt cầu tâm
A, cắt tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
ĐS: d( A, ) =
a.AM
a
Copyright: Tài liệu đại học ©