Khu II – Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định – 06/08/2014
Tuyển tập 20 hệ phương trình Ôn thi ĐẠI HỌC 2015 – by Nguyễn Thế Duy
Bài 1. Giải hệ phương trình :
2 2 2
2 3 3
1 1 3 9 3
3 1 5 4 3 7 0
xy x y y
x x y xy x x y x
Điều kiện :
2
nhưng để có được
điều này tức là cần phải đưa
1
y
vào trong căn thức. Do vậy cần phải chứng minh y luôn dương như sau :
2
90y y y y y y
suy ra từ phương trình một có
0x
dựa vào điều kiện :
2
50x y xy y
. Nên đến đây
thoải mái xét hàm số
ft
là hàm số đồng biến trên TXĐ suy ra
3xy
. Thế xuống phương trình hai thì :
3 2 2
2
22
3 1 3 2 4 9 7 3 1 3 2 3 1 4 3 2
3 2 3 1
4 3 2 3 1 0 3 2 4 0
3
2
2
y
x
xx
x
y
.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm đó là :
3
; 1;3 , 2;
2
xy
33
2 2 2 2 3 2 2
23
3 2 2 2 2 2
2 2 0
20
x x y x x y x x x y x y
x x x y x y x x y y x x
Thế
22
y x x
xuống phương trình hai chúng ta có :
2 2 2
3
3
96 20 2 4 8 1 96 20 2 32 4x x x x x x x x
Áp dụng bất đẳng thức Cosi suy ra :
2
2 2 2 2
3
2 1.1. 32 4 32 4 2 2 96 20 2 32 4 2 16 2 0x x x x x x x x x
là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Khu II – Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định – 06/08/2014
Bài 3. Giải hệ phương trình :
2
3
3
1 1 4 3
5 1 2 4
x y x y x y
x y x
Còn cái phương trình còn lại dường như đã quá quen thuộc khi dựa vào điều kiện chứng minh được nó luôn dương. Với
2 1 2 1 2t y x
thay xuống phương trình hai chúng ta có :
3
3
5 1 1 2 4 0x x x
. Dễ dàng ta nhẩm được nghiệm
1x
và một điều nữa
3
3
5 1 1 2 4f x x x x
luôn đồng biến trên TXĐ là vì
2
2
3
3
15 2
' 1 0
2 5 1
3 1 2
x
fx
Điều kiện :
0
0
x
y
Lời giải
Phương trình một nhìn khá rắc rối, ta cứ hãy quy đồng và nhân chéo xem được gì không.
2
2
22
22
4 2 2 2 4 2 2
2
22
2
2
2 1 4 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1
1 5 3 5
2 2 1
43
x x x x x x x x
x x x y
Nhìn chung là dạng hàm số
3
f t t t
ở trên là các bạn đã được phản xạ nhiều và có thể làm được ngay khi gặp nó. Do đó
1 5 3 5
;;
42
xy
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
Bài 5. Giải hệ phương trình :
2 2 2
Lời giải Khu II – Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định – 06/08/2014
Dường như bài này có kiểu ý tưởng như bài 19 ta đã nói đó là có sự cô lập giữa các ẩn phụ. Trước hết đó là
3x
a
y
và sau nếu phương
trình hai ta chia cho
2
y
thì xuất hiện ẩn phụ
1
b
y
nên hệ đã cho trở thành :
Với
1a x y
thế nên phương trình một dễ dàng tìm được
4xy
Với
1 2 2a b x y
khi đó phương trình một trở thành :
2
6
2 3 4
0
y
yy
x
y
x x y
y x y
2
2
2
2
7
1 0 1
7 1 1 2 1 7 0
21
3
1 2 2 3 0
24 4 4
1 0 2
22
y
1 2. 2 : 2 3 0
2 1 2 2
pt pt x y
x y x y
, đặt
22t x y
thì phương trình trở thành :
3
33
33
3
3
3
7 3 6
10
76
1 6 6
1 0 6 2 2 6
3
1
66
10
6
16
yx
t t x y
tt
x
.
Bài 7. Giải hệ phương trình :
2
2
2 1 1
1
4 1 8 4 4 3 1
x
x y x y
x
x y x x x x
Điều kiện :
1
1
32
3
2 1 1 2 1
1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
x x x
x y x y y y
x
x x x
x x x x x
y y y y x x y
x x x x
Đoạn xét hàm số ta sẽ không nói ở đây nữa bởi nó đã quá quen thuộc. Với
11x x y
thế xuống
2pt
x x y y
x y x y x y
Điều kiện :
31
1
x
y
Lời giải
Ý tưởng của bài toán này khá rõ ràng đó là phân tích nhân tử ở phương trình hai. Thường thì có dạng :
, . , 0f x y g x y
điều này có
được là do ta sẽ đi nhóm nhân tử hoặc xét đenta với ẩn x hoặc ẩn y. Và công việc xét đenta sẽ được cho là tối ưu hơn cả bởi lẽ nếu ta
không nhìn thấy nhân tử chung thì sẽ rất khó nhóm.
Với
24yx
thế vào phương trình một chúng ta có :
3 1 4 2 1 2 3 3 2 4 3 1 2 8 2 3
41
2 4 0 4 2 0 4
3 1 2 3 3 1 2 3
x x x x x x x
x
x x x
x x x x
Phương trình còn lại vô nghiệm bởi nó luôn dương. Do đó
; 4;12xy
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
3 2 3 6 2 3 1 3 1y x y x x y y x x
Đến đấy thì có thể nhiều bạn nghĩ đến hàm số. Nhưng đó chỉ là cách thuận tiện nhất chứ không phải duy nhất và nhược điểm đó là hạn chế
đi tư duy của học sinh. Tại sao không nghĩ đến chuyện đặt ẩn phụ , đó là :
3 3 2 2
1
3 3 3 0
ax
a a b b a b a ab b
by
Và tất nhiên cái phương trình còn lại vô nghiệm bởi bình phương thiếu thì luôn dương. Với
1yx
thế xuống
2pt
thì :
Điều kiện :
,x y R
Lời giải
Đây chính là câu hệ phương trình khối A.2012 , câu mà năm mình lên lớp 12 thi xong là lên mạng lấy đề luôn giải thử và chưa biết sử
dụng hàm số giải hệ phương trình nên mình giải bằng cách thuần túy lớp 10 đó là đặt
ax
by
khi đó ta có
3 2 3 2
22
3 9 22 3 9
1
2
a a a b b b
a b a b
u a b
v ab
ta sẽ lại được hệ mới như sau :
2
32
2 2 4 1
3 3 6 9 22
u u v
u uv u v u
đến đây ta sẽ đi sử dụng phương pháp thế
2
4 2 2 1v u u
, dễ dàng tìm được :
2
2
2 2 2 41 0 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
Điều kiện :
34
52
x
y
Lời giải
Đây là câu hệ khối A.2010. Trên mạng đã xuất hiện nhiều lời giải , vấn đề ở đây không ở
1pt
mà nằm ở
2pt
, ở thời điểm đấy thì
Khu II – Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định – 06/08/2014
Đến đây thì quá tuyệt vời rồi , một là sử dụng hàm số đơn điệu hai đó là cách đặt ẩn phụ mà mình nêu ở các bài trước đó. Vấn đề ở đây là
khi đã biết
2 5 2xy
thì ta sẽ làm tiếp như thế nào. Nếu thế x xuống thì lại xuất hiện căn chồng căn , do đó ta sẽ đi thế y với
2
54
2
x
y
thay xuống phương trình hai chúng ta có :
2
22
5
4 2 2 3 4 7
2
x x x
Do đó
fx
là hàm số nghịch biến trên
4
0;
3
mà
11
0
22
fx
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất đó là :
1
; ;2
1 1 1
6 2 1 4 6 1
x x y y
x x xy xy x
bởi lẽ ý tưởng ở phương trình đầu đã quen
thuộc nên không muốn giới thiệu nữa. Quan sát hệ này thì rõ ràng sẽ phân tích nhân tử ở phương trình một rồi nhưng ý đồ ở bài toán cũng
đã khá lộ rõ bởi ta sẽ nhóm được các hệ số như 2 với 2 ; 6 với 6 và 1 với 1. Và thử đi theo hướng này xem ta được gì :
2 2 2
6 2 2 6 6 2 0
6 2 1 0
6 2 1 0
x x y x xy xy y x x y xy x y x y
xy
x y x xy
x xy
Hai phương trình cuối dễ dàng giải được bằng phương pháp bình phương hai vế cho ta hai cặp nghiệm đó là :
3 11 3 11
; 1; 1 , ;
22
xy
. Còn với
6 2 1 0x xy
thế xuống phương trình hai chúng ta có hệ phương trình :
1
6 2 1 0 2 6 1
6
4 6 1 0 4 6 1
0
x xy xy x
x
xy x xy x
y
.
Bài 13. Giải hệ phương trình :
2
3
5 4 2.3
2 11 21 3 4 4 0
x y x y x y
x y y
Điều kiện :
,x y R
Lời giải
Nhận xét ở phương trình một là phương trình mũ có ẩn
t x y
khi đó phương trình trở thành :
xy
ta có
22
33
2 11 21 3 4 4 0 2 11 21 3 4 4x x x x x x
Phương trình trên có nghiệm duy nhất
4x
nên ta sẽ xử lý như sau :
3
3
2
22
3 8.8. 4 4 4 4 8 8 4 12 3 4 4 3
2 11 21 3 2 12 18 0 3 0 3
x x x x x
x x x x x x x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
; 3; 3xy
.
Bài 14. Giải hệ phương trình :
2
2
2 2 2
1 1 1
2 2 4 1 1 2 2 2 1 1x y y x x y y y
x x x
. Nhiều bạn đến đây
sẽ hỏi liệu cách hàm số ra có thể giải bằng ẩn phụ được không. Tất nhiên là có nhưng đánh giá với căn thức không hề đơn giản chút nào cả.
Chúng ta nên lựa chọn từng phương pháp sao cho thuận tiện nhất. Thì ở đây ta sẽ xét hàm số
2
1f t t t t
có đạo hàm
2
2
2
' 1 1 0
1
t
f t t
t
suy ra
.
Bài 15. Giải hệ phương trình :
22
2 3 4 6 5
2 3 4 1 6
x y y x x y
xy
Điều kiện :
2
1
3
4
x
y
Copyright: Tài liệu đại học ©