1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP
MÔN TOÁN
(Ban cơ bản)
Năm học 2012- 2013
Bắc Ninh, tháng 3 năm 2013
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

2


- Tính y’ sau đó tính y’(x
0
) hay f’(x
0
).
- Viết phương trình
0 0 0
'( )( )
y y f x x x
  

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Tính y’ suy ra f’(x
0
).
- Giải phương trình f’(x
0
) = k tìm x
0
.
- Có x
0
tìm y
0
, viết phương trình
0 0 0
'( )( )
y y f x x x
  
.

0
).
- Nếu y’ là một tam thức bậc hai có biệt thức

thì y’ đạt cực trị
0
  
.
6) Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x)
- Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x).
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho.
II. BÀI TẬP MINH HỌA
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

3

Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
   

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
3 0
x x m
  
.

 Bảng biến thiên:

 Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên
( ;0)

và
(2; )

.
 Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y
CĐ
= 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= -1.
 Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1) b)

3 2 3 2
3 0 3 1 1
x x m x x m
        

 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
3 1
y x x
   
với

y x x
  có đồ thị (C ).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x
0
= 2.
Bài giải
a)
 TXĐ: D = R.

3
' 4 4
y x x
 

3
0
' 0 4 4 0
1
x
y x x
x


    

 


 Giới hạn:

2
y x x
 
và x
0
= 2.
0
16 2.4 8
y
  

3
' 4 4 , '(2) 4.8 4.2 24
y x x y
    

 Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
8 24( 2)
24 40
y y y x x x
y x
y x
  
   
  

Bài 3: Cho hàm số
2 3

(2x 1)
y x D

   


 Giới hạn:
lim 1; lim 1
x x
y y
 
 
,
1 1
2 2
lim ; lim
x x
y y
 
   
 
   
   
   

Vậy y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

1
2
x


   


 Phương trình tiếp tuyến:
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

6

0 0 0
'( )( )
3 8( 0)
8 3
y y y x x x
y x
y x
  
    
   

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) trong các trường hợp:
a)
3 2
3x 2
y x
  
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
b)
4 2

y x x
       

 Với x
0
= 2
0
4
y
 

Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
4 9( 2)
9x 14
y y y x x x
y x
y
  
   
  

 Với x
0
= -2
0
0
y
 


3
0 0 0
24 4x 4x 24 2
k x
     


0 0
x 2 8
y
  

 Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
8 24( 2)
24 40
y y y x x x
y x
y x
  
   
  

c)
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
2
y x

x




     



 



 Với
0 0
3
3
2
x y
  

Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
3
3 2( )
2
2 6
y y y x x x
y x

  
và
2 2
y x
  
.
Bài 5: Cho hàm số
4 2
3x 1
y x
   
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình
4 2
x 3x 0
m
  
có 4 nghiệm phân biệt.
c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 2
3x 1
y x
   
trên [0; 2].
Bài giải
a)
Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau:

b)

  


 
 
 
3
0 0;2
3
' 0 4 6 0 0;2
2
3
0;2
2
x
y x x x
x


 


        



 




y x m x m x m
      
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài giải
a)

3
1 3 2
m y x x
    

Thực hiện các bước tương tự bài 1, ta được đồ thị như sau:

b)
 TXĐ: D = R.

2
' 3 2( 1) (2 1)
y x m x m
    

 Hàm số
3 2
( 1) (2 1) 1 3
y x m x m x m
      
có cực trị
' 0


9

Bài 7: Cho hàm số
2 1
2
x
y
x



có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại
hai điểm phân biệt.
Bài giải
a)
Thực hiện tương tự các bước khảo sát bài 3, ta có đồ thị (C) như sau:

b)
 Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
2 1
2
x
x m
x

 



2
2
8 16 4 8
12 0
m m m
m m
    
   

 Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1
3
y x x
 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

10


1
y x mx m
   
, m là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi m = 3.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1 1
d :
3 3
y x
 
.
c) Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
BT 5: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1
y x mx m x
    

a) Định m để hàm số đồng biến trên TXĐ.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị với m = 1.
Bài 6: Cho hàm số
4 2
( 1)
y x mx m
   
có đồ thị (C
m
).
a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;4).

m
m
y x x C
  
.
a) Khảo sát hàm số khi m = 1.
b) Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
c) Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu.
d) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2
2 6 4 0
x x m
   
.
BT 9: Cho hàm số
3 2
2
x
y
x




a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ là những số nguyên.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

11

3 2
1
x
y
x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
2
y mx
 
cắt đồ thị của hàm số đã
cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 13: Cho hàm số
2 3
1
x
y
x



có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng
3
y x
  
và tiếp xúc
với đồ thị (C).

  

e)
1
2 6
x
y
x



trên [-1;0].
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

12

Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

a


m
n m
n
a a


m
m
m
a a
b b
 

 
 

1
n
n
a
a


1
n
n
a

a a f x g x
  

2) Công thức lôgarit
 Với các điều kiện thích hợp ta có:
log
a
b a b


  

log 1 0
a


log 1
a
a


log
a
a




log
a

log ( . ) log log
a a a
m n m n
 

log log log
a a a
m
m n
n
 

log
log
log
c
a
c
b
b
a

1
log
log
a
b
b
a


x
t a t
 
.
 Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t.
 Giải phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện.
 Nếu có nghiệm thỏa thì thay
x
t a

để tìm x và kết luận.
c) Phương pháp lôgarit hóa
lấy lôgarit 2 vế đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.
4) Phương trình lôgarit
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

13( ) 0, ( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x g x
f x g x
f x g x
 


x
a



2
3 6
) 2 16
x x
b
 


1
) 2 .5 200
x x
c


Bài giải
2 2
3 3 4
2
2
)5 625 5 5
3 4
3 4 0
1
4
x x x x

x
x
   
  
   
   




 


Vậy phương trình có nghiệm x = 5 và x = -2.
1
) 2 .5 200 2.2 .5 200
10 100 2
x x x x
x
c
x

  
   

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Bài 2: Giải các phương trình sau
) 9 10.3 9 0
x x
a

 
.
Phương trình trở thành:
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

142
1 ( )
10 9 0
9 ( )
t nhan
t t
t nhan


   




1 3 1 0
9 9 2
x
x
t x
t x x
    


5
2 5 2 log 2
x
t x    

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
5
log 2
x 
.
3 2
8
) 2 2 2 0 2 2 0 2 2.2 8 0
2
x x x x x
x
c

          

Đặt
2 , 0
x
t t
 

Phương trình trở thành:

2


Đặt
3
, 0
2
x
t t
 
 
 
 

Phương trình trở thành

2
3
( )
2
6 13 6 0
2
( )
3
t nhan
t t
t nhan



   



5 25 0,2
1
) log log log
3
b x x 
2
2 2
) log log 6 0
c x x
  

2
2
2
) 4log log 2
d x x
 

2
3 3
) 3log 10log 3
e x x
 

2
) ln( 6 7) ln( 3)
f x x x
   


x x x
x
x x nhan
   
 
    

Vậy phương trình có nghiệm x = 64.
5 25 0,2
1
) log log log
3
b x x  (2)
Điều kiện: x > 0.


2 1
1
5
5 5
(2) log log log 3
x x


  
 
5 5 5
5 5
5 5
2

.
2
2 2
) log log 6 0
c x x
  
(3)
Điều kiện: x > 0.
Đặt
2
log
t x

.
2
3
(3) 6 0
2
t
t t
t


    





3

Đặt
2
log
t x


2
1
(4') 4 2 2 0
1
2
t
t t
t
 


    




www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

16


1
2

Điều kiện x > 0
Đặt
3
log
t x


2 2
3
(5) 3 10 3 3 10 3 0
1
3
t
t t t t
t



       





3
3
3 log 3 3 27 ( )
t x x nhan
     




2 2
2 ( )
(6) 6 7 3 7 10 0
5 ( )
x loai
x x x x x
x nhan


         




Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
2
6 3 7
) 7 49
x x
a
 


2
7 2
3 9
)

x


     

 


Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [-3; 1].
2 2
7 2 7 2 2
2 2
3 9 3 3
) 7 2 2 7 0
5 25 5 5
x x x x
b x x x x
     
     
           
     
     
2
0
0 7 0
7
x

www.DeThiThuDaiHoc.com

17

Bất phương trình trở thành:
2
3 2 0
t t
  2
1
0 3 2 0
2
t
VT t t
t


     




Xét dấu VT, kết hợp điều kiện ta được

1 2 1 2 2 0 1
x
t x

a x
 

Điều kiện
3
4 3 0
4
x x
   2
3
log (4 3) 2 4 3 3 4 12 3
x x x x
        

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm
3
;3
4
S
 

 
 

2
0,5
) log ( 5 6) 1




1;2 3;4
S  
2
1 1
3 3
) log (2 4) log ( 6)
c x x x
   

Điều kiện:
2
2
2 4 0
3
2
6 0
3
x
x
xx
x x
x
 

 



) lg(7 1) lg(10 11 1)
d x x x
   

Điều kiện:
 
2
1
7
7 1 0
1 1
; 1;
1
7 10
10 11 1 0
10
1
x
x
x
x
x x
x

 

 




www.DeThiThuDaiHoc.com

18

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm
1 9
0; 1;
10 5
S
   
 
 
 
   

III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình

1
) 64
8
x
a
 

 
 

2
3 3

2 4
.
1
) 2 2
4
x x
e



1 1
) 2.3 6.3 3 27
x x x
f
 
  1
) 9 3 10 0
x x
g

  

1
) 5 .4 100
x x
h



2 3 3 7
5 3
)
3 5
x x
m
 
   

   
   

1 2 1 2
) 2 2 2 3 3 3
x x x x x x
n
   
    2 6 7
) 2 2 17 0
x x
o
 
  

) 2.16 17.4 8 0
x x

Bài 2: Giải các phương trình sau

3
) log 2
a x


2
)log ( 2) 3
b x
 2 1
8
) log log 16
c x x
 

3 9
3
) log (1 2 ) log (1 2 )
2
d x x
    



2
)log 1 1

2
2
) log 3log log 2
j x x x
  

2
2 2
) log ( 6 5) log (1 ) 0
k x x x
    

2
7 1
7
) log ( 2) log (8 ) 0
l x x
   
l

2
5 5
)log 4log 3 0
m x x
  

2
5
) log 2 log
2

0,5 2
) log log 2
s x x
 

2
) ln( 2 4) ln(2 )
t x x x
   

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

19

Bài 3: Giải các bất phương trình sau

2
) 3 9
x x
a



2
2x 3x
7 9
)
9 7
b


  2x 6 7
) 2 2 17
x
g
 
 

1
) 4 16 3
x x
h

 

) 5.4 2.25 7.10
x x x
i  2x 2x
) 4. 3
j e e

 

Bài 4: Giải các bất phương trình sau

2
x
e x
 

3 3
) log ( 3) log ( 5) 1
f x x
   
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

20
1
1 ( )
( ) .
1





  


ax b
ax b dx C
a

ln , x 0
  

dx
x C
x

1
.ln
  


dx
ax b C




 

x
x
a
a dx C
a

cos sin
 

xdx x C

1
cos( ) .sin( )
   

ax b dx ax b C
a

sin cos
  

xdx x C

1
sin( ) .cos( )

x

2
1 1
( )
sin ( )
   


dx cot ax b C
aax b

2) Công thức tích phân
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì

( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
  


3) Phương pháp đổi biến số
A. Dạng 1 : Tính I =
 
'
( ) ( )
 

( )
( )
( )
( ). ( )
( )






b
a
b
f t dt F t
a

* Nhớ : đổi biến thì các em phải đổi cận.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

21

* Chú ý : Thường các em đặt t là căn, mũ, mẫu.
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào
có luỹ thừa cao nhất.
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
- Nếu tích phân chứa
dx

.
- Nếu tích phân chứa
cos
xdx
thì đặt
sin

t x
.
- Nếu tích phân chứa
sin
xdx
thì đặt
cos

t x
.
- Nếu tích phân chứa
2
cos
dx
x
thì đặt
tan

t x
.
- Nếu tích phân chứa
2
sin

(a>0)
4) Phương pháp tích phân từng phần
* Công thức tính :
( )   
  
b b b
b
a
a a a
f x dx udv uv vdu
Đặt











)(
)( hamnguyenlayv






Trong đó
( )
P x
là đa thức bậc n.
*Loại 2:
( ).ln ( ). ln ( )
b
a
P x f x dx u f x
 


www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

22

5) Tính chất tích phân
Tính chất 1

( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx


(*)
Lưu ý:

( ) 0
f x

vô nghiệm trên (a;b) thì

( ) ( )
b b
a a
S f x dx f x dx
 
 


( ) 0
f x

có 1 nghiệm
( ; )
c a b

thì

( ) ( ) ( )
b c b
a a c
S f x dx f x dx f x dx
  


b
a
V f x dxLưu ý: Diện tích , thể tích đều là những giá trị dương.

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

23
II. BÀI TẬP MINH HỌA
BÀI 1: Tính các tích phân sau
a)
1
3
0
(2x 1) x
d



3




2
2
1
) 3 .
x
e x e dx



1
ln 1
)
e
x
f dx
x



Bài giải
a)
1
3
0
(2x 1) x
d


0
2
)
(1 )
x
b I dx
x




 Đặt
1
u x du dx
   


0 1, 3 4
x u x u
     


 
4
4 4
3 1 1 3 1 1 3
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
1



2 2 2
2 2
0 0 0
1 sin cos | cos | cos cos
4
J t tdt t tdt tdt
  

    
  

2
2
0
sinx
)
(1 cos )
d dx
x




 Đặt
1 cos sin x sin x
t x dt dx dx dt
       



2
2
1
) 3 .
x
e x e dx



 Đặt
2
2
2
dt
t x dt xdx xdx
    

 Đổi cận:
1 1, 2 4
x t x t
      


2
4
2 4 4
4
1
1 1 1

     


2
2
2
1 1
1
ln 1 1 3
2
2 2 2
e
x t
dx tdt
x

    
 

Bài 2: Tính các tích phân sau
a)
2
0
cos
I x xdx




2

 
 

 
 
 


2
2 2
0 0
0
sin sin cos 1
2 2
I x x xdx x

 
 
     


2
1
) ln
e
b J x xdx





ln ln (2 1)
3 3 3 9 9
e e e
e
x x x x
J x dx x e
      


2
1
) 3
x
c K xe dx





3 3
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 

 
 
 


1
x
a I dx
x





2
0
) (1 2sin )sin x
b J x dx

 


Bài giải
1
3
2
2
0
1
)
1
x
a I dx
x


 
    
 
 

 
 
2
0
2 2
2
0 0
2
0
) (1 2sin )sin x
sinx 2sin sinx 1 os2x
sin 2
cos
2
1 1
os sin os0 0 sin 0
2 2 2 2
1
2
b J x dx
x dx c dx
x
x x
c c


2 3
y x
  
và hai đường thẳng x =0, x=2.
c)
2
, 2
y x y x
  Bài giải
a)
3
y x

, trục hoành và hai đường thẳng x=-2, x=1.
 Trên [-2; 1] ta có:

3
0 0 [ 2;1]
x x    

 Diện tích của hình phẳng đã cho:
0 1
1 0 1
4 4
3 3 3
2 2 0
2 0