Page | 1
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
BÀI TẬP LỚN CƠ HỌC KẾT CẤU 2
1. NỘI DUNG
Tính hệ phẳng siêu tĩnh bằng phương pháp lực.
Tính hệ phẳng siêu động theo phương pháp chuyển vị.
Vẽ biểu đồ bao nội lực.
2. SỐ LIỆU TÍNH TOÁN
Mã đề: 121
Sơ đồ tính và các trường hợp tải:
L
1
L
2
L
2
L
1
EI=Const
TH1
TH2
g
TH3
q
1
q
3
TH4
TH5
TH6
q

1
(m) L
2
(m)
2 20 x 35 4 3
Số liệu tải trọng:
Stt q
1
(kN/m) q
2
(kN/m) q
3
(kN/m) q
4
(kN/m)
1 8 10 12 14
Số liệu dùng chung:
3 3
3
3
2.4 10 /
12
25 /
E kN cm
bh
I
kN m
γ
= ×
=

P
P
X X X
X X X
X X X
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
+ + + ∆ =


+ + + ∆ =


+ + + ∆ =

Trong đó:
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 3
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
1 2 3
; ;X X X
: lực tương ứng tại vị trí loại bỏ liên kết thứ 1; 2; 3.
kP
∆
: hệ số tự do, là chuyển vị theo phương lực X
k
do riêng tải trọng ngoài gây
ra trên hệ cơ bản.
km

=1
M
2
M
3
X
3
=1
1
1/2
1
1
1/2
M
s
(M
s
)=(M
1
)+(M
2
)+(M
3
)
1
1
1
1/2
1/2
a)

( ) ( )
22 2 2
1 1 2 1
1 3 1 2 2
2 3
M M
EI EI
δ
 
= = × × × × × = ×
 
 
( ) ( )
33 3 3 11
1
2M M
EI
δ δ
= = = ×
( ) ( )
12 21 1 2
1 1 1 1 1
1 3 1
2 3 2
M M
EI EI
δ δ
 
= = = × × × × = ×
 

 
Mặt khác:
11 12 13
1 1 5 1
2 0
2 2EI EI
δ δ δ
 
+ + = + + = ×
 ÷
 
⇒
Kết quả phù hợp
( ) ( )
2
1 1 1
1 3 1 2 3
2
S
M M
EI EI
 
= × × × × = ×
 
 
Mặt khác:
21 22 23
1 1 1 1
2 3
2 2EI EI

Page | 5
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ cơ
bản: hình 3.1.3
4m
3m 3m
4m
a)
b)
g=1.75kN/m g=1.75kN/m g=1.75kN/m g=1.75kN/m
M
0
P
qL
2
1
/8=3.50
qL
2
2
/8=1.97
qL
2
1
/8=3.50
3.50
3.50
1.97
[kNm]
Hình 3.1.3

 
 ÷
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
1.97 3 1 2 3.94
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3 1
1
4.30
P P P
M M
EI
∆ = = ∆ = ×
Kiểm tra:
( )

1 1
4.3 3.94 4.3 12.54
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 6
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 4.3 0
2
1 1
2 3.94 0
2 2
1
0 2 4.3 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.4a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
( )
( )
( )
[ ]
1 2 1 1 1
2.55 4 2.55 4 1
2 3 2 2 3
1 1 1 1 2
1.9 4 1.9 4 1
1 1 1
2 3 2 2 3
10.90 10.95 0.05
2 1 2 1 1
3.5 4 1 3.5 4
3 2 3 2 2
1 2

+ Nhịp 1:
4m
1.75kN/m
Q
tr
Q
ph
2.55kNm 1.90kNm
O
1
O
2
1
4
0 4 1.9 1.75 4 2.55
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 7
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
3.34
ph
Q kN⇒ = −
0 1.75 4 3.66
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nhịp 2:

: hình 3.1.4b
Bằng cách giải hình học tính được giá trị lực cắt tại các vị trí
1
4
L
,
2
4
L
,
3
4
L
và
giá trị mô men uốn tại vị trí giữa nhịp
2
4
L
.
Giá trị mô men uốn tại các vị trí
1
4
L
và
3
4
L
được tính như sau:
+ Tại vị trí
1

∑
+ Tại vị trí
1
4
nhịp 2:
0.75m
1.75kN/m
1.90kNm
M(kNm)
2.92kN
O
0.75
0 2.92 0.75 1.9 1.75 0.75 0.20
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × = −
∑
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 2:
2.25m
1.75kN/m
1.90kNm
2.92kN
M(kNm)
O
2.25
0 2.92 2.25 1.9 1.75 2.25 0.24
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =

6.26
3.66
Q
P
[kN]
3.50
1.97
-2.55
0.24
1.28
-1.90
0.56
-0.20
0.51
-1.02
0.24
3.50
1.97
-2.55
0.24
1.28
-1.90
0.56
-0.20
0.51
0.24
M
P
[kNm]
Hình 3.1.4

1 2 1 1
16 4 1
2 3 2 3
1 1
10.67
2 1 1 1
16 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 10
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
( )

0
1 2 1 1
16 4 1
2 3 2 3
1 1
37.67
2 1 1 1 2
16 4 1 13.5 3 1
3 2 2 2 3
S P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
= = ×
 
 
+ × × × − × + × × ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1


+ + + =



⇔
1
2
3
4.27
4.26
5.68
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )

× × × × − × × × × + × × × ×
 
 
 
− × × × × − + × × − + × ×
 
=
 
 
+ × × × + × × × × − × × × ×
 
 
 
+ × × × × − × × × ×
 
=
[ ]
1 1
41.45 43.65 2.20
EI EI
− = − ×
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 11
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
Sai số:
2.20
100% 5.04%
43.65
× =
Tính toán và vẽ biểu đồ lực cắt

4.27 4.26
0
3
Q tg
α
−
= + = ≈
+ Nhịp 3:
3m
12kN/m
Q
tr
Q
ph
4.26kNm 5.68kNm
O
1
O
2
1
3
0 3 5.68 12 3 4.26
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
18.47
ph
Q kN⇒ = −
0 12 3 17.53

L
và
giá trị mô men uốn tại vị trí giữa nhịp
2
4
L
.
Giá trị mô men uốn tại các vị trí
1
4
L
và
3
4
L
được tính như sau:
+ Tại vị trí
1
4
nhịp 1:
1m
8kN/m
13.87kNm
M(kNm)
18.40kN
O
1
0 18.4 1 13.87 8 1 0.53
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =

0 17.53 0.75 4.26 12 0.75 5.51
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 3:
2.25m
12kN/m
M(kNm)
O
4.26kNm
17.53kN
2.25
0 17.53 2.25 4.26 12 2.25 4.81
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Nhịp 2, 4: dể dàng tính được bằng cách giải hình học.
a)
b)
18.40
13.60
17.53
18.47
2.40
10.40
5.60
8.53

-3.55
2.84
13.50
2.13
2.13
2.13
Hình 3.1.6
3.1.3. Trường hợp 3
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ cơ
bản: hình 3.1.7
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 14
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
q
2
=10kN/m
q
4
=14kN/m
28
28
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
11.25

 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1
28 4 1
2 3 2 3
1 1
18.67
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×

 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1
11.25 11.25 18.67 41.17
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 15
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 11.25 0
2
1 1
2 11.25 0
2 2
1
0 2 18.67 0
2
X X X


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.8a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
( )
( )
( )
( )
1 1 1 2 1 1 1 1
2.55 4 1 2.55 4 5.09 4
2 3 2 3 2 2 3 2
1 2 2 1
5.09 4 1 11.25 3 1 5.09 2.15 3 1
2 3 3 2

 
[ ]
1
81.90 81.90 0
EI
= − =
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.8b
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 16
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
a)
b)
1.90
2.22
3.70
17.88
31.70
11.80
26.52
1.90
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]

8.50
1.10
Hình 3.1.8
3.1.4. Trường hợp 4
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ cơ
bản: hình 3.1.9
q
1
=8kN/m
16
16
q
2
=10kN/m
q
4
=14kN/m
28
28
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
11.25
[kNm]
Hình 3.1.9

 
 
+ × × × − × + × × × ×
 
 ÷
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
11.25 3 1 11.25
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1
28 4 1
2 3 2 3
1 1
18.67

3 2 3 2 3
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
S P
M M
EI EI
 
   
× × × − × + × × × − ×
 ÷  ÷
 
   
 
 
 
= + × × × + × × × − × + = ×
 
 ÷
 
 
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3



+ + + =



⇔
1
2
3
10.80
0.63
9.18
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa

2 3
S P
M M
EI
× × × × − × × × × + × × × ×
− × × × × + × × × × − × × × ×
= + × × × − + × × − + × ×
+ × × × × − × × × × + × × × ×
− × × × × +
1 2 1 1 1
23.1 4 23.1 4 1
2 3 2 2 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
× × × × − × × × ×
 
 
[ ]
1
110.29 110.30 0

2.85
3.46
34.44
31.46
8.76
27.40
15.95
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
17.46
10.55
18.39
0.05
15.95
11.61
24.55
31.46
2.85
2.85
10.89
3.39
4.11
7.95
16.05
Hình 3.1.10
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa

1 1
1 2 1 1
11.25 3 1 11.25
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 2 1 1
11.25 3 1 13.5 3 1 24.75
3 2 3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × + × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1

P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 11.25 0
2
1 1
2 24.75 0
2 2
1
0 2 13.5 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =




0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.12a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
( )
( )
( )
( )
1 1 1 2 1 1 1 1
1.49 4 1 1.49 4 2.97 4
2 3 2 3 2 2 3 2
1 2 2 1
2.97 4 1 11.25 3 1 2.97 10.61 3 1
1
2 3 3 2
2 1 1 1 1
13.5 3 1 10.61 4.1 3 1 4.1 4
3 2 2 3 2
1 2 1 1 1 2 1
4.1 4 1 2.05 4 1 2.05 4
2 3 2 3 2 3 2
S P
M M
EI
 

0.67
100% 1.24%
54.22
× =
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.12b
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 21
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
1.54
1.54
1.54
15.83
20.17
1.12
3.56
-0.27
1.14
4.40
4.46
6.15
a)
b)
2.17
13.57
1.54
28.93

1.12
1.12
1.54
Hình 3.1.12
3.1.6. Trường hợp 6
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ cơ
bản: hình 3.1.13
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 22
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
[kNm]
q
4
=14kN/m
28
28
q
1
=8kN/m
16
16
q

13.5 3 1 13.50
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
2 1 1 2 1 1
13.5 3 1 28 4 1
3 2 2 3 2 3
1 1
32.17
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × × + × × × − ×
 ÷
 
 

   
 
 
 
= + × × × + × × × − × + = ×
 
 ÷
 
 
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1
10.67 13.5 32.17 56.34
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 23
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3

3
4.94
1.59
15.69
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.14a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
× + × × × × − × × × ×
 
 
[ ]
1
115.00 115.02 0
EI
= − ≈
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.14b
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 24
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
a)
b)

28
13.50
-13.53
-4.94
-1.59
-15.69
-20.16
6.77
4.86
10.08
-4.11
-3.27
-2.43
0.62
4.92
-2.04
5.01
4.19
1.95
hình 3.1.14
3.2. PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ
Bậc siêu động:
1 2
3 0 3n n n= + = + =
Hệ có 3 bậc siêu động. Chọn hệ cơ bản như hình 3.2.1
4m
3m 3m
4m
EI=Const
Z

; ;Z Z Z
: chuyển vị cưỡng bức tại liên kết thứ 1, 2, 3 đặt thêm vào hệ.
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 25
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
kP
R
: hệ số tự do, là phản lực tại liên kết thứ k do tải trọng ngoài gây ra trên hệ
cơ bản.
km
r
: các hệ số phụ, là phản lực tại liên kết thứ k do
1
m
Z =
gây ra trên hệ cơ
bản (k # m).
kk
r
: các hệ số chính, là phản lực tại liên kết thứ k do
1
k
Z =
gây ra trên hệ cơ
bản.
Tính các hệ số chính và các hệ số phụ của phương trình chính tắc
+ Biểu đồ mô men uốn
k
M
do

16
8
r
11
r
21
r
31
16
8
8
16
r
12
r
22
r
32
12
16
8
6
r
13
r
23
r
33
a)
b)