TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2
TỔ TOÁN
NGUYỄN VĂN XÁ
GIÁO ÁN PHỤ ðẠO
MÔN TOÁN
LỚP 11
PHẦN I. ðẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
CHƯƠNG MỘT
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác ñịnh của hàm số lượng giác
Chú ý : 1)
A
B
có nghĩa khi B
0
≠
(A có nghĩa) ;
A
có nghĩa khi A
0
≥
2)
1 sinx 1 ; -1 cosx 1
− ≤ ≤ ≤ ≤
3)
sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2
2 2
x x k k k
π π
π π π
3) y = sin
4
x
+
4) y =
cos
2
3 2
x x
− +
5) y =
2
os2x
c
6) y =
2 sinx
−
7) y =
1 osx
1-sinx
c+
8) y = tan(x +
4
π
)
9) y = cot(2x -
)
3
π
− = →
− = − →
− ≠ ± →
0 0 0
( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ
Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch½n,kh«ng lÎ
f x f x f
f x f x f
f x f x f
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
2
2
4) y =
1
2
tan
Hàm số y = cosx ñồng biến trên mỗi khoảng
(
)
2 ; 2
k k
−π + π π
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng
(
)
2 ; 2
k k
π π + π
Hàm số y = tanx ñồng biến trên mỗi khoảng
;
2 2
k k
π π
− + π + π
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng
(
)
;
k k
13 29
;
3 6
π π
5) y = tanx trên ñoạn
121 239
;
3 6
π π
−
6) y = sin2x trên ñoạn
3
;
4 4
π π
−
7) y = tan3x trên khoảng
;
12 6
;
3 3
π π
−
23 25
;
4 4
π π
362 481
;
3 4
π π
− −
y = sinx
y = cosx
y = tanx
−
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý :
1 sinx 1 ; -1 cosx 1
− ≤ ≤ ≤ ≤
; 0
≤
sin
2
x
≤
1 ; A
2
+ B
≥
B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = 2sin(x-
2
π
) + 3 2) y = 3 –
1
2
cos2x 3) y = -1 -
2
os (2x + )
4 3 os 3 1
c x
− +
Chú ý : Hàm số y = f(x) ñồng biến trên ñoạn
[
]
;
a b
thì
[ ]
[ ]
a;
a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f b f x f a
= =
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên ñoạn
[
]
;
a b
thì
[ ]
[ ]
a;
a;
4) y = cos
π
x trên ñoạn
1 3
;
4 2
B.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC.
1. Phương trình lượng giác cơ bản
u v k2 u v k2
1)sinu sin v (k ). 2)cosu cosv (k ).
u v k2 u v k2
u v k
u v k
3)tan u tan v (k,n ). 4)cot u cot v (k
,n ).
u n
u n
2
= + π = + π
= ⇔ ∈ = ⇔ ∈
= π − + π = − + π
2 2
5)cosu 1 u k2 (k ). 6)cosu 1
π
= ⇔ = π ∈ = ⇔ = + π ∈
π π
= − ⇔ = − + π ∈ = ⇔ = + π ∈
= ⇔ = π ∈ = − ⇔
u k2 (k ).
= π + π ∈Học sinh cần nhớ bẳng các giá trị lượng giác của các góc ñặc biệt.
2. Phương trình bậc nhất với một hay nhiều hàm số lượng giác
a) Phương trình lượng giác bậc nhất với một hàm số lượng giác
– Dạng: a.X + b = 0, với X là sinf(x), hoặc cosf(x), hoặc tanf(x), hoặc cotf(x).
– Phương pháp: ðưa về phương trình lượng giác cơ bản.
b) Phương trình lượng giác bậc nhất với hai hàm số lượng giác
– Phương trình bậc nhất với sin và cosin:
+ Dạng: a.sinu + b.cosu = c.
+ ðiều kiện ñể phương trình có nghiệm: a
2
+ b
2
2
c .
≥
ả
n
2 2
c
sin(u ) .
a b
+ α =
+
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
4
4
Cách 2 Chia hai vế phương trình cho a và ñặt
b
tan .
a
α =
Cách 3
Xét
u k2 .
= π + π
V
ới
u k2
≠ π + π
ả
n. V
ớ
i ph
ươ
ng trình d
ạ
ng
a.sinu + b.cosu = 0 ta có th
ể
ñư
a v
ề
ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n c
ủ
a tanu ho
ặ
c cotu.
–
Ph
ươ
ng trình b
ñư
a v
ề
ph
ươ
ng trình tích, ho
ặ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
ñố
i v
ớ
i sin ho
ặ
c cosin.
3. Phương trình bậc hai với một hay nhiều hàm số lượng giác
a) Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
–
D
ạ
ng: a.X
2
+ b.X + c = 0, v
ớ
i X là sin ho
ặ
ng trình thu
ầ
n nh
ấ
t b
ậ
c hai
ñố
i v
ớ
i sin và cosin
+ D
ạ
ng
2 2
a.sin u b.sin u.cosu c.cos u d.
+ + =
+ Ph
ươ
ng trình này còn
ñượ
c g
ọ
i là ph
ươ
ng trình
ñẳ
ñể
ñư
a v
ề
ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t
ñố
i v
ớ
i sin và cosin.
Cách 3
Xét cosu = 0. Xét
cosu 0
≠
, chia hai v
ề
ph
ươ
ng trình cho cos
2
u và
ñặ
t t = tanu.
Chú ý
i sin và cosin có d
ạ
ng a(sinu + cosu) + b.sinu.cosu +c = 0. Ta
ñặ
t
2
t 1
t sinu cosu t 2, sinu.cosu .
2
−
= + ⇒ ≤ =
– Phương trình dạng a(sinu – cosu) + b.sinu.cosu + c = 0, ta thường ñặt
t sinu cosu
= −
2
1 t
t 2, sin u.cosu .
2
−
⇒ ≤ =
4. Các phương trình lượng giác khác
• Ta có thể biến ñổi phương trình lượng giác về dạng phương trình tích. Muốn vậy cần nắm
vững các công thức lượng giác, các hằng ñẳng thức, các phương pháp ñặt nhân tử chung …
Chúng ta lưu ý một số kĩ thuật sau:
☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x … ta có thể
ñặt nhân tử chung là sinx.
☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, cos3x, cotx, tan2x, cot3x … ta có thể
ñặt nhân tử chung là cosx.
a
2 2 2 2
x x
sin ,tan ,sin x,tan x
2 2
ta cú th
ủ
t
nhõn t
chung l 1 cosx.
N
u trong ph
ng trỡnh l
ng giỏc cú ch
a
2 2 2 2
x x
cos x,cot x,sin ( ),cos ( )
2 4 4 2
+
, 4.
4
1
)
4
(cossin
44
=++
xx
5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx =
, 6.
tan 3cot 4(sin 3cos )
x x x x
= +
7.
3(1 cos2 )
cos
2sin
x
x
x
=
8.
2
1
3 2tan
cos
x
x
= +
8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9.
2
6sin 3 cos12 4
x x
+ =
10.
4 2
4sin 12cos 7
x x
+ =
Baứi 3. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
1) 2sin
2
x 5sinx.cosx cos
2
x = - 2 2) 3sin
2
x + 8sinxcosx + ( 8
3
- 9)cos
2
x = 0
3) 4sin
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2
x + 3 =
x
cos
3
, 6/ 4sin
4
+12cos
2
x = 7
Bài 6. Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx
2/
x
x
2
cos
3
4
cos =
ĐS : x = k3π , x= ±
4
π
+k3π , x = ±
4
5
π
+k3π
3/ 1+ sin
π
+k2π
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos
2
x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1
7/ 2cos
2
2x +cos 2x = 4sin
2
2xcos
2
x 8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan
2
x
10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan
3
x = 2( sin
5
x + cos
5
x ) ĐS : x=
4
π
+
2
π
k
5/ sin
3
(x -
4
π
) =
2
sinx ĐS : x =
4
π
+kπ
Ph ủo Toỏn 11
Nguyn Vn Xỏ T Toỏn Trũng THPT Yờn Phong s 2 Bc Ninh
7
7
x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos
3
x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin
3
x + cos
3
x =
2
3
sin2x 4/ 6( cos x sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin
3
x cos
3
x = 1 + sinxcosx 6/
3
10
cossin
sin
1
cos
1
=+++ xx
x
x
7/ tanx + tan
2
Baứi 9. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx 4cosx 2/ sin 2x cos 2x = 3sinx +cosx
2
3/ sin
2
x + sin
2
3x 3cos
2
2x = 0 4/ cos3x cos
3
x sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
4
1
5/ sin
4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 2sinx 6/ cos3x 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin
6
+
11/ sin
2
)
4
2
(
x
tan
2
x cos
2
2
x
= 0 12/ cotx tanx + 4sinx =
x
sin
1
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x )
15/
32cos)
x
+ =
19/ tanx +cosx cos
2
x = sinx (1+tanx.tan
2
x
) 20/ cotx 1 =
2
cos2 1
sin sin2
1 tan 2
x
x x
x
+
+
Baứi 10. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
2 2
1)sin (x ) cos (3x ).
4 2
= +
x
2)tan(2x )tan( ) 1.
2 2
10)cos x sin x cos2x.
+ =
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
8
8
5 1
11)sin( cos x) .
3 2
π
π =
x 3x x 3x 1
12)cosxcos cos sin xsin sin .
2 2 2 2 2
− =
13)tan2x 3tan x.
=
14)2cot 2x 3cot3x tan2x.
− =
2
15)tan2x cotx 8cos x.
+ =
− = +
5 8
23)2sin x 3cos x 5.
+ =
1
24) 3sin x cosx .
cosx
+ =
4 4
10 10
2 2 2
sin x cos x
25)sin x cos x .
cos 2x 2sin xcos x
+
+ =
+
26)sinx 3cosx 2sin4x.
− =
27)cos2x 3sin3x 3sin 2x cos3x.
+ = −
28)sin x sin2x sin3x sin4x 0.
+ + + =
+
= +
−
2
2
x
2cos
2
36)tan x .
1 sin x
=
−
37)sin6x sin8x sin16x sin18x 16sin3x 0.
+ + + + =
38)3(cot x cosx) 5(tan x sin x) 2.
− − − =
3
39)2cos13x 3(cos3x cos5x) 8cosxcos 4x.
+ + =
2
40) sin x sin x sin x cosx 1.
+ + + =
41)sin x sin 2x 3(cosx cos2x).
+ = +
2
1
47) sin x.
8cos x
=
48)3 tan x(tan x 2sin x) 6cosx 0.
− + + =
2cos4x
49)cot x tanx .
sin 2x
= +
3 3
2 3 2
50)cos3xcos x sin3xsin x .
8
+
− =
51)2sin(2x ) 4sin x 1 0.
6
π
− + + =
3 3 2
52)cos x sin x 2sin x 1.
+ + =
4 2 ln16.ln(sin2x ) 2sin2x( sin xcos x 1).
2 3
π π
− + +
−
− = + + −
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
9
9
59)
2
3
(2sin x 3)(4sin x 6sin x 3) 1 3 6sin x 4.
− − + = + −
60)3sin5x 2cos5x 3.
− =61)
sinx cosx
1
e e cos(x ).(2 2 sin 2x) cos2x.
4 2
π
2 2 2 2
x x x x x x
68)tan sin tan cos cot cot sin x 4.
2 2 2 2 2 2
+ + + + =
69)tan( cosx) cot( sinx).
π = π
0 0 0 0
1
70)cos(22 x)cos(82 x) cos(112 x)cos(172 x) (si
nx cosx).
2
− − + − − = +
2 0 2 0 0 0
1
71)sin (x 45 ) sin (x 30 ) sin15 cos(2x 15 ) sin6x.
2
+ − − − + =
8 8
41
72)sin 2x cos 2x .
128
+ =
2
sin2x 2cos x 1
73) cosx.
cosx cos3x sin3x sin x
+ + = −
2 2
81)sin x sin x cosx sinxcosx cos x.
+ + + = −
1
82)sin xsin 2xsin3x sin4x.
4
=
2 2
83)2tan x 3tan x 2cot x 3cot x 2 0.
+ + + + =
84)cosx tan3x sin5x.
=
1 1
85) sin3x sin5x.
3 5
=
2
2
1 1
86)sin x sin x .
sin x
sin x
− = −
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
10
10
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công ñoạn A và B. Công ñoạn A có thể thực
hiện bởi n cách; công ñoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi ñó, công việc ñược thực hiện
bởi n.m cách.
Bản chất :
n(A B) n(A).n(B).
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. ðịnh nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử ñó theo một thứ tự ñịnh
trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. ðịnh lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P
n
là: P
n
= n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. ðịnh nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số
k
∈
k phần tử ñược gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. ðịnh lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
là:
( )
(
)
(
)
k
n
n n 1 n k 1
n!
C
k! n k ! k!
− − +
= =
−
.
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
(
)
* k n k k k k 1
n n n n 1 n 1
Cho a, k : C C (1) 0 k n ; C C C (2) (1 k n).
− −
− −
∈ = ≤ ≤ = + ≤ ≤
ầ
n t
ử
. M
ỗ
i t
ậ
p con B c
ủ
a A và B có k
ph
ầ
n t
ử
thì t
ậ
p A\B là t
ậ
p con có n – k ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A. Có bao nhiêu t
ậ
p con B thì có b
ấ
y nhiêu
t
ị
th
ứ
c
( )
n
n
k n k k
n
k 0
a b C a b ,
−
=
+ =
∑
ở
ñ
ó s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
k
b
là
k n k k
C b a .
− −
. Hai s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
k
b
ở
hai cách khai tri
ể
n
ñ
ó ph
ả
i
ñồ
ng nh
ấ
t v
ớ
i nhau, t
ứ
c là
k n k
ñ
ó có ph
ầ
n t
ử
a. S
ố
t
ậ
p con có k ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A là
k
n
C .
N
ế
u B là t
ậ
p con g
ồ
m k ph
ầ
n t
ử
p B có ch
ứ
a a, t
ứ
c là B\{a} là t
ậ
p con có k – 1 ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p A\{a}, có
k 1
n 1
C
−
−
t
ậ
p B nh
ư
th
ế
. Theo phân tích này thì có
k k 1
n 1 n 1
n n 1
(1 x) (1 x)(1 x)
−
+ = + + =
0 1 k 1 k 1 k k n 1 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
(1 x)(C C x C x C x C x ) (**).
− − − −
− − − − −
= + + + + + + +
Ở
khai tri
ể
n (*) s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
k
x
là
k k
n
C x
, còn
ở khai triển ( **) số hạng chứa
n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b C a b C b
− − −
=
+ = = + + + + +
∑
Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách ñếu số hạng ñầu và cuối thì bằng nhau.
– Số hạng tổng quát:
k n k k
k 1 n
T C a b .
−
+
=
–
0 1 2 n n
n n n n
C C C C 2
+ + + + =
–
( ) ( )
+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
Học sinh cần chú ý thêm tới tam giác Pascal.
IV. Xác suất.
n(A)
P(a) ; 0 P(A) 1; P( ) 0; P( ) 1; P(A) 1 P(A);
P(A B) P(A) P(B) P(A.B);
n( )
= ≤ ≤ ∅ = Ω = = − ∪ = + −
Ω
A, B ñộc lập
P(A B) P(A).P(B).
⇔ ∩ =
B. Các Dạng bài toán cơ bản
Dạng 1: Bài toán về quy tắc ñếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm ñược tiến hành theo phương án A hoặc
B ñể chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công ñoạn A và B ñể chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị ñể mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác
nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Cho tập
{
}
A 0;1;2;3;4
=
. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong
số các phần tử của A?
Bài 3: Từ tập
{
−
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 ñiểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai
ñiểm trong các ñiểm ñó?
Bài 6: Từ tập
{
}
A 0,1,2,3,4,5
=
có thể lập ñược bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp ñặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
( )
( )
k
n
n!
C 0 k n
k! n k !
= ≤ ≤
−
Bài 7: Cho 7 ñiểm phân biệt không tồn tại ba ñiểm thẳng hàng. Từ 7 ñiểm trên có thể lập ñược
bao nhiêu tam giác?
Dạng 5: Tìm
*
n ∈
trong phương trình chứa
k k
n
n n n 1
n 1
2P
a) A 1 b)6n 6 C C . 2
P
+
−
= − + ≥
.
Dạng 6: Tìm phần tử ñặc biệt trong khai triển của (a + b)
n
.
Phương pháp giải:
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c khai tri
ể
n c
ủ
a nh
ị
th
ứ
c Newton:
( )
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
khai tri
ể
n theo l
ũ
y th
ừ
a c
ủ
a a gi
ả
m d
ầ
n, b t
ă
ng d
ầ
n)
Bài 9:
Tìm s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
ng trong các khai tri
ể
n sau
1)
H
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
4
x
trong khai tri
ể
n
12
x 3
3 x
x
trong khai tri
ể
n
12
5
3
1
x
x
+
và
8
2
1 x (1 x)
+ −
.
3)
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
3
x
trong khai tri
ể
n
2 10
(x x 2)
− +
.
5)
H
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
3 4 5 22
S(x) (1 2x) (1 2x) (1 2x) (1 2x)
= + + + + + + + +
.
8) Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển
10 10
(1 x) (x 1)
+ +
.
Bài 11: Trong khai triển
10
3
3
2 x
x
−
, (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.
Bài 12: Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
( )
8
2
1 x 1 x
−
2)
S
ố
h
ạ
ng th
ứ
18 trong khai tri
ể
n
2 25
(2 x )
−
3)
S
ố
h
ạ
ng không ch
ứ
a x trong khai tri
ể
n
12
1
.
4)
S
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a a, b và có s
ố
m
ũ
b
ằ
ng nhau trong khai tri
ể
n
21
3
3
a b
b
a
n và cho x giá tr
ị
thích h
ợ
p,
t
ừ
ñ
ó suy ra k
ế
t qu
ả
.
Bài 15: 1)
Tính t
ổ
ng:
( ) ( )
k n
0 1 2 n 0 1 2 k n
1 n n n n 2 n n n n n
S C C C C ; S C C C 1 C 1 C ;
= + + + + = − + − + − + + −
( )
n
0 2 4 2n 1 3 2n 1 0 1 2 2 3 3 n
3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n n n n n n
S C C C C ; S C C C T C 2C 2 C 2 C 2 C .
k r
n k n r 1
k 0
C C .
+ + +
=
=
∑
b)
m 1 m
n 1 n
m
C C (m n).
n
−
−
= ≤
c)
r
k r k r
n m m n
k 0
C C C (r n, r m).
−
+
=
= < <
∑
d)
n
ứ
ng minh v
ớ
i
n
∈
thì: a)
n 5 2
2 n 11n 28;
+
> + +
b)
n 3
3 (n 4)(n 6).
+
> + +
Dạng 8. Tính xác suất.
Bài 16 : Hai hộp chứa các quả cầu, hộp I chứa 3 quả ñỏ và 2 quả xanh, hộp II chứa 4 quả ñỏ
và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả, tính xác suất ñể :
a) Cả 2 quả là ñỏ ; b) Hai quả cùng màu ; c) Hai quả khác màu.
Bài 17 : Cho hai biến cố A, B có
P(A B)
a.
P(A) P(B)
∪
=
+
Chứng minh :
+ + + − = + + + + =
2) Cho số nguyên dương n. Cho n số thực
1 2 n
a ,a , ,a
thoả mãn Chứng minh
rằng
1 2 n 1 2 n
(1 a )(1 a ) (1 a ) 1 (a a a ).
+ + + ≥ + + + +
3) Tính tổng T
1
= 1.3 + 2.4 + + n(n+2) ; T
2
= 1.2.3 + 2.3.4 + + (n-1).n(n + 1) ; với
n *.
∈II. Dãy số
1) Cho A là một tập con khác rỗng của tập số nguyên
,
hàm số
n
u :A
n u(n) u
→
=
u u
+
≤
,
n n 1
u u
+
>
,
n n 1
u u
+
≥
) với mọi
n A.
∈
3) Dãy số (u
n
) ñược gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho
n k n
u u , n A.
+
= ∀ ∈
Số k nhỏ nhất thoả mãn tính chất này ñược gọi là chu kì của dãy tuần hoàn
(u
n
). Nếu k = 1 thì ta ñược một dãy hằng (tất cả các số hạng bằng nhau).
4) Dãy số (u
n
≤ ∀ ∈
Dãy số hữu hạn hoặc tuần hoàn thì luôn bị chặn.
VD1. Cho các số dương
1 2 13
a ,a , ,a
thoả mãn
1 2 13
a a a 13.
+ + + ≥
Chứng minh dãy (u
n
) cho
bởi
n n n
n 1 2 13
u a a a , n *,
= + + + ∀ ∈
là dãy tăng không nghiêm ngặt.
HD. Với mọi số dương a và số nguyên dương n ta có
n
(a 1)(a 1) 0
− − ≥
nên
n 1 n
a a a 1.
+
− ≥ −
Từ
ñó suy ra
n 1
1
u , n 2,3,4
3 u
−
−
= ∀ =
+
là dãy giảm và bị chặn.
HD. * Trước hết ta chứng minh
n
3 5
u , n *.
2
− +
> ∀ ∈
Thật vậy, với n = 1 thì
1
3 5
u 1 .
2
− +
= >
Giả sử
k
3 5
u .
2
* Bây giờ ta xét hiệu
2
n n
n n 1 n n
n n
u 3u 11 3 5
u u u 0, n *, do u , n *.
3 u 3 u 2
+
+ + − +
− = + = > ∀ ∈ > ∀ ∈
+ +Vậy (u
n
) là dãy số giảm.
* Vì (u
n
) giảm nên
1 2 n n 1
1 u u u u
+
= > > > > >
suy ra (u
n
) bị chặn trên bởi 1. Vậy (u
n
) là dãy
thoả mãn điều kiện
n
0 u 1
< <
và
n 1
n
1
u 1
4u
+
< −
với mọi
n *.
∈
Chứng
minh
n
(u )
là dãy số giảm.
2) Xác định số hạng tổng qt, tính đơn điệu và bị chặn của dãy
n
(u )
cho bởi :
1
1
n 1
n 1 n
n
= = − = − ∀ =
4) Cho dãy số
n
(u )
có
1 2 n 2 n 1 n
u 2;u 5;u 5u 6u , n 1,2,
+ +
= = = − ∀ =
Chứng minh rằng
n n
n
u 2 3
= +
v
ớ
i m
ọ
i n và tìm s
ố
d
ư
khi chia
2010 2011
u u
×
cho 2011.
5) Cho dãy s
ố
n
(u )
có
1 n 1 n
1
u 1;u u 1, n 1,2,
2
+
= = + ∀ =
7) Xác định số hạng tổng qt của dãy số
n
(u )
có
a)
1 2 n 2 n 1 n
u 0;u 1;u u u , n 1,2,
+ +
= = = + ∀ =
b)
1 2 n 2 n 1 n
u 1;u 3;u u u , n 1,2,
+ +
= = = + ∀ =
B. CẤP SỐ CỘNG
1. Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không
đỗi gọi là công sai.
và công sai d
được cho bởi công thức: u
n
= u
1
+ (n - 1)d
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối
cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức
là
2
11 +−
+
=
kk
k
uu
u
(k
≥
2).
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Đònh lí: Để tính S
n
ta có hai công thức sau:
• S
n
tính theo u
1
và d
tìm u
15
.
, 32,4,32/ −+÷b
tìm u
20
. ĐS:
15 20
a / u 44 b / u 40 18 3
= = −
Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
Bài 3: Cho cấp số cộng:
=+
=−+
26
10
64
352
uu
uuu
. Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
Bài 4: Tìm CSC có 5 số hạng có tổng là 25,ø tổng các bình phương của chúng là 165.
Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng
là 1140.
Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp
.
Bài 8: Một cấp số cộng (a
n
) có a
3
+ a
13
= 80. Tìm tổng S
15
của 15 số hạng đầu tiên
của cấp số cộng đó.
Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối
và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
Bài 10: cho cấp số cộng (a
n
) có a
1
= 4, d = -3. Tính a
10
.
Bài 11: Tính u
1
, d trong các cấp số cộng sau đây:
Phụ đạo Tốn 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trưòng THPT n Phong số 2 – Bắc Ninh
17
17
39
38
; 2/ u
1
= 3 và d = 4. 3/ u
1
= 0 và d =
2
3
;
Bài 12 : Cho CSC (u
n
) có u
3
= -15, u
14
= 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Bài 13 : Cho cấp số cộng (u
n
) có u
1
= 17, d = 3. Tính u
20
và S
20.
ĐS: u
20
= 74, S
20
11
= 187
Bài 16: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3
= -15, u
4
= 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên.
ĐS: S
20
= 1350
Bài 17: Cho cấp số cộng có
n
S
là tổng của n số hạng đầu tiên. Biết m, n là hai số ngun
dương phân biệt thoả mãn
n m
S S .
=
Chứng minh
m n
S 0.
+
=
Bài 18: Một cấp số cộng có
2
n
S n .
ng c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng th
ứ
3 và s
ố
h
ạ
ng th
ứ
9 c
ủ
a m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng b
ằ
ng 8. Tính t
ổ
ng 11
s
1
, u
1
, , u
1
,
Nếu u
1
= 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,
Để chỉ dãy số (u
n
) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu u
1
, u
2
, , u
n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:
u
n
= u
1
1−n
q
(q
−
−
=
q
q
uS
n
n
(q
≠
1)
Bài tập
Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:
1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u
1
= 243 và u
6
= 1
2/ Cho q =
4
1
, n = 6, S
6
= 2730. Tìm u
1
, u
6
.
Bài 2: Tìm u
1
13
654
321
uuu
uuu
.
Bài 4: Tìm u và q của cấp số nhân (u
n
) biết:
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
u u u u 15
.
u u u u 85
+ + + =
+ + + =
Bài 5: Tìm cấp số nhân (u
n
) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng
cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai.
Bài 6: Cho cấp số nhân a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a)
2 2 2 2
n
u 1
x .
u 3
−
=
+
Chứng minh
n
(x )
là cấp số nhân. Tìm cơng thức tính
n n
x ,u
theo n.
Bài 10: Cho dãy số
n
(u )
có
n
1 n 1
(n 1)u
1
u ,u , n *.
3 3n
+
+
= = ∀ ∈
ðặt
là cấp số nhân và tính
n
u
theo n.
Bài 12: Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có 100 số hạng và số hạng đầu
tiên là 1, cơng bội là 0,5.
Bài 13: Tính tổng tất cảc các số hạng của một cấp số nhân biết số hạng đầu bằng 18, số
hạng thứ hai là 54, số hạng cuối là 39366.
Bài 14: Viết số 1,014301430143 ở dạng phân số.
Bài 15: Số hạng thứ hai, số hạng đầu, số hạng thứ ba của một cấp số cộng với cơng sai
khác 0 theo thứ tự đó lại lập thành một cấp số nhân. Tìm cơng bội của cấp số nhân đó.
Bài 16: Tìm hai số thực x và y sao cho ba số
2
1; x 1; xy x 2y 1
− + + −
lập thành cấp số
nhân, ba số
(x 1) 2y; x y; 2 y x 2
− − − −
lập thành cấp số cộng.
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
19
19CHƯƠNG BỐN
GIỚI HẠN
→
•
0
1
lim =
±∞→
x
x
;
0lim =
±∞→
k
x
x
c
với k nguyên dương,c là hằng số
3. Ví dụ: Tính giới hạn của các hàm số sau;
)943(lim
2
1
++=
→
xxA
x
5
3
12
x
D
x2
2
1
lim
1
−
+
=
+
→
x
x
E
x
)1942(lim
23
−++=
+∞→
xxxF
x32
32
4.Bài tập:
Tính giới hạn của các hàm số sau;
)745(lim
23
1
+++=
→
xxxA
x
1
13
lim
1
−
+
=
+
→
x
x
B
x)12(lim
3
1. Ôn lại giới hạn bên phải,bên trái của hàm số tại một ñiểm
2. Ôn lại cách tìm giới hạn của hàm số :
≥
<
=
02
01
)(
)(
)(
xxkhixf
xxkhixf
xf
B1: Tính các giới hạn:
1
)(lim Lxf
o
xx
=
−
→
và
2
)(lim
0
Lxf
20
3. Ví dụ: Tính giới hạn của hàm số:
−≥−
−<+
=
11
123
)()
2
xkhix
xkhix
xfa
tại x=-1
≥−
<+
=
21
21
)()
2
xkhix
xkhix
xkhix
xfb
*TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
0
0
+) Phương pháp chung:
Khử dạng vô ñịnh
0
0
bằng cách làm xuất hiện nhân tử chung:
+,Khử nhân tử chung ñể ñưa về dạng xác ñịnh
+,ðưa về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc ñã biết rõ kết quả hoặc cách giải.
+)Các dạng bài tập:
• Dạng
(
)
)(
lim
0
xg
xf
xx→
( khi x
→
x
0
thì f(x)
x
=
)3(
1
lim
1
+
→
x
x
=
4
1
b)
4
8
lim
2
3
1
−
−
→
x
x
x
HD: Phân tích x
3
1
+−
++−
→
xx
xxx
x
= 3
*Bài tập:
a.
2
232
lim
23
2
−
−−−
→
x
xxx
x
b.
15
7
2
10133
lim
2
2
5
- Rút gọn thương , bài toán chuyển về dạng ñã biết cách giải
Lưu ý : Liên hợp của biểu thức
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
21
213
3
3
3
lµ 4) a lµ
lµ a a
a lµ a
a lµ
3
2 2
3
2 2
1) a b a b b a a.b b
2) a b a b 5) b b
6) b b
3) b a a.b b
−
→
x
x
x
(nhân liên hợp với biểu thức
1
3
3
2
++ xx
)
c)
8
7
2
lim
2
3
8
−−
+
−→
x
x
x
x
(nhân liên hợp với biểu thức
42
3
x x2
2
)lim
4 1 3
→
− +
+ −
x
x x
c
x
3
2
1
1
) lim
3 2
→−
+
+ −
x
x
d
x
3
Ví dụ : Tính
5
)32(
lim
3
3
+
+
−∞→
x
x
x
* Khử dạng vô ñịnh
∞
∞
trong trường hợp biểu thức f(x) có chứa căn
Ví dụ : Tìm
−∞→x
lim
1
2
3
2
6
+
−
x
xx
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
22
22
- ðặt x
n
làm nhân tử chung (n là bậc cao nhất)
- áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích
*) Bài tập áp dụng
Ví dụ 1 : cho p(x) = x
7
– x
3
– x
2
– 1 . Tìm
)(lim xp
x +∞→
và
)(lim xp
x −∞→
Ví dụ 2 : Tính
)1(lim
24
−+−
+∞→
xxx
- sử dụng biểu thức liên hợp ñể viết f(x) dưới dạng thương
- Rút gọn thương , bài toán chuyển về dạng
∞
∞
ñã biết cách giải
Lưu ý : Liên hợp của biểu thức
3
3
3
3
lµ 4) a lµ
lµ a a
a lµ a
a lµ
3
2 2
3
2 2
1) a b a b b a a.b b
2) a b a b 5) b b
6) b b
3) b a a.b b
lµ
*) Bài tập áp dụng :
VD1 : Cho hàm số f(x) =
x
x
x
sin
lim
0→
= 1 b)
)(
)(sin
lim
0)(
xF
xF
xF →
= 1 c)
bx
ax
x
sin
sin
lim
0→
=
bx
ax
x 0
lim
→
.
bx
sin
3sin
lim
0→
d)
x
x
x
2sin
lim
0→
; e)
x
x
x
sin
7sin
lim
0→
;
f)
x
x
x
5tan
lim
0→
g)
2
0
0
0
( ) ( )
x x
Lim f x f x
→
=
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
23
23
+) f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) nếu f(x) liên tục tại mọi ñiểm thuộc (a ; b)
+)f(x) liên tục trên ñoạn [a ; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và
( ); ( );
x b
x a
Lim f a Lim f b
+
→
→
= =
*Gián ñoạn: f(x)gián ñoạn tại x
0
nếu không thoả mãn một trong những ñiều kiện sau
+) ñồ thị của hàm số liên tục trên khoảng (a ; b) là một ñường nét liền trên khoảng này.
+) f(x) liên tục trên ñoạn [a ; b] nếu
( ) ( )
f a f b
≠
thì mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn
tại ít nhất một ñiểm
( ; )
c a b
∈
sao cho: f(c) = M.
1.Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
Phương pháp:
+)
0
0
( ) ( )
x x
Lim f x f x
→
=
⇒
f(x) liên tục tại x
0
( hay f liên tục tại x
0
)
+)
=
+ +
−
b)
8 3
1
( )
1
6
x
x
f x
+ −
−
=
VD2: Cho hàm số
3 2
3 2
Phương pháp:
+) Dùng hệ quả của ñịnh lí 2
+) f(x) liên tục trên [a; b]
+) f(a) . f(b) < 0
0 0
( ; ): ( ) 0
x a b f x
∃ ∈ =
khi x
≠
-1
khi x=-1
và x
0
=-1
khi x
≠
1
khi x=1
và x
0
=1
khi x
≠
-3
khi x=3
Phụ ñạo Toán 11
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
− ≥
2
2
3
2
x 4
4 3x víi x 2
víi x 2
a)f x t¹i x= 2. b)f x t¹i x = 2.
x 2
x víi x > 2
4 víi x = 2
x víi x < 0
c)f x t¹i x = 0.
1 x víi x 0
Bài 2: Tìm số thực a sao cho hàm số
( )
2
x víi x < 1
f x
2ax 3 víi x 1
=
− ≥
liên tục trên R.
f(x)=
5 , nếu x=3
trên tập xác ñịnh của nó.
Bài 5: Chứng minh PT 4x
4
+ 2x
2
– x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng ( - 1 ; 1).
CHƯƠNG NĂM
ðẠO HÀM A. ðỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ðẠO HÀM
*CÁC QUI TẮC TÍNH ðẠO HÀM
*Kiến thức cần nắm:
+,ðạo hàm của hàm hằng: (c)’ = 0
+, Hàm số y = x
n
(
, 1
n N n
∈ >
) có ñạo hàm tại mọi x
R
∈
: (
Copyright: Tài liệu đại học ©