KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở SÁCH GIÁO KHOA
SKKN năm 3/2010
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Nhằm mục tiêu củng cố, đào sâu kiến thức để phát triển tư duy cho học
sinh (HS), người giáo viên (GV) đứng lớp cần có nhiệm vụ làm cho HS hiểu
rõ được sự cần thiết phải khai thác từ một bài toán cơ bản ở sách giáo khoa
(SGK) đã được giải quyết.
Để giải quyết được một bài toán, nói chung, HS chỉ cần xác định ba vấn
đề sau:
- Thể loại bài toán
- Nội dung cần giải quyết của bài toán
- Phương pháp và phương tiện để giải quyết bài toán
Nhưng để giải quyết tốt bài toán đó (tức là khai thác triệt để nó) thì GV cần giúp
HS tìm hiểu thêm:
- Nguồn gốc xuất phát của bài toán
- Tính khái quát của bài toán (tức là mối liên quan giữa các yếu tố có
tính chất quy luật trong bài toán)
- Tính ứng dụng của bài toán
Xuất phát từ yêu cầu đó, trong các giờ luyện tập, ôn tập tôi luôn cố gắng yêu
cầu HS (nhất là đối tượng HS khá-giỏi) cần khai thác thêm bài bài toán dưới
nhiều hình thức như: Bổ sung thêm hay thay đổi giả thiết (GT) và kết luận
(KL) của bài toán, xác lập bài toán đảo, bài toán tương tự hay bài toán tổng
quát; v.v
Tôi nghĩ, nếu làm tốt điều đó tức là đã góp phần thực hiện tốt mục tiêu
dạy-học, thực hiện tốt mục tiêu đổi mới phương pháp dạy-học hiện nay là: Dạy
- học tích cực nhằm phát huy tính độc lập sáng tạo của HS
Nội dung đề tài này là một phần (Một bài toán đại số) trong tuyển tập các
bài toán đã được khai thác từ SGK và SBT gồm ba phân môn : Hình học- Số
Học và Đại số. Xin được giới thiệu cùng đồng nghiệp các bài toán được khai
thác từ Bµi to¸n 32 trang 50 - SGK to¸n 8 tËp 1- (tiết 28,29 PPCT 11/2007)


Nu ch gii hn trong mt tit luyn tp thỡ cng khụng thi gian khai
thỏc trit mt bi toỏn SGK. Tuy nhiờn, nu bit tn dng thi gian trong
cỏc chng trỡnh dy ch t chn, ph o hc sinh HS yu, bi dng HS
gii, bi dng HS thc hnh gii toỏn nhanh trờn mỏy tớnh Casio hoc ụn tp
thi vo lp 10, v.v thỡ vic khai thỏc trit mt bi toỏn trong SGK l rt
thun li v cú nhiu ý ngha rt ln. Giỏo viờn cn vn dng hp lý son
dy cỏc chng trỡnh ny nhm giỳp HS phỏt huy trớ lc v phỏt trin t duy
toỏn hc mt cỏch tt nht.

GV: Trng Tn By Trng THCS Nguyn Bỏ Ngc- Thng Bỡnh
4
KHAI THC MT S BI TON SCH GIO KHOA
D. NI DUNG NGHIấN CU
I. Bài toán 1: Bài toán 32 trang 50 - SGK toán 8 tập 1:
Đố: Đố em tính nhanh đợc tổng sau:
)6)(5(
1
)5)(4(
1
)4)(3(
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
+
++


6
1
5
1
)6)(5(
1
+

+
=
++ xxxx
Suy ra tổng S =
6
11
+

xx
=
)6(
6
+xx
II. Hớng khai thác:
1 Không có thời gian và cũng không yêu cầu để giải quyết bài tập này trên lớp.
Giáo viên có thể hớng dẫn các em HSKG về nhà giải bài này nhờ tham khảo:
Bài toán 1 -1: Bài tập 28 trang 21 SBT toán 8 tập 1
a) Chứng minh:
)1(
1
1

3011
1
209
1
127
1
65
1
23
11
222222
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxxxxxx
3 Nếu muốn giúp HS vận dụng bài toán 1 vào giải phơng trình thì thêm vế
phải vào chẳng hạng nh:
Bài toán 1 -3: Giải các phơng trình
a)
)5)(4(
1
)4)(3(
1

1
23
11
2222
=
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxx
(2) K : x 0;-1;-2;-3;-4 (*)
Hớng giải:
a) Rút gọn vế trái nh bài toán 4 ta đợc VT =
5
11
+

xx
Do đó (1) =>
50
)5(
5
0
5
21
==
+


1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
+
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxxxx
Hớng giải: Rút gọn A =
xx 5
5
2
+
Vì x
2
+ 5x = (x +
2
5
)
2

4

++
++
+
++
+
+ xxxxxxxx
GV: Trng Tn By Trng THCS Nguyn Bỏ Ngc- Thng Bỡnh
6
KHAI THC MT S BI TON SCH GIO KHOA
7 áp dụng quy luật trên vào thực hành trên máy tính Casio để giải:
Bài toán 1 -6: Tính giá trị biểu thức S tại x =
2010
1
S =
)2010)(2009(
1

)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
++
++
+
++
+
+ xxxxxxxx

9 Tổng quát hóa bài toán 1-3 ta có:
Bài toán 1 - 8: Tính tổng
S =
( )
1
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
+++++
nn
với n N
*
Kết quả: S = 1 -
11
1
+
=
+ n
n
n
10 Dùng phép tơng tự ta xét đặc điểm mẫu các phân thức: Mỗi phân thức có
tử thức bằng 1 và mẫu thức là tích của hai nhân tử hơn kém nhau 2 đơn vị






=
3
1
1
1
2
1
3.1
1
GV: Trng Tn By Trng THCS Nguyn Bỏ Ngc- Thng Bỡnh
7
KHAI THC MT S BI TON SCH GIO KHOA






=
5
1
3
1
2
1





B =
32
1
32
1
1
2
1
+
+
=






+

n
n
n
Bài toán 1 - 10: Tính các tổng sau:
M =
( )( )
5323

+

n
n
n
11 Nếu tiếp tục biến đổi bằng cách thay tử của các bài toán 1-1 đến 1-5
thành những số khác 1 và tổng quát lên ta đợc những bài toán thú vị hơn .
Bài toán 1 -11: Tính tổng sau:
S =
13221
.+
+++
kk
bb
a
bb
a
bb
a
với b
k+1
- b
k
= b và a; b ; k N*
HD: Phân tích tơng tự :



a
=









+
+
11
11
.
k
k
bb
bb
b
a
12 Nu thay i mu thc thnh tớch 3;4;5 nhõn t cỏch u nhau hay ly
tha cỏc mu thc lờn thỡ cú i quỏ khụng ? Nh quý thy cụ nhc giỳp nhộ !
Bài toán 1 - 12: ( thi HSG lp 8 gii toỏn nhanh trờn mỏy tớnh Casio ca S
GD&T Qung Nam nm hc 2008-2009)
Tớnh M =
1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2007.2008.2009

1
2.1
1
=






++






+







=> M = 0,249999876 =
8068144
2017035
Bài toán 1 - 13: Tớnh N =
)1()1(


+

)1(
1
2
1
2
1
nn
Bài toán 1 - 14: Tính
E =
( ) ( ) ( )
222
)1(
12

3.2
5
2.1
3
+
+
+++
nn
n
vi n = 1;2;3
Hớng giải:
Chỳ ý rng
( )

nn
n
13 Nu ỏp dng phng phỏp ca Bi toỏn 4-8 vo gii phng trỡnh ta cú
Bài toán 1 -15: Giải phơng trình ẩn x sau đây:
( )
2011
2009
2
1
1

10
1
6
1
3
1
=
+
++++
xx
(1) K : x 0 v x -1 (*)
Hớng giải :
Phơng trình (1) <=>
( )
2011
2009
1
2


1
2
=
+x
=>
2011
2
1
2
=
+x
=> x = 2010 (Thỏa mãn ĐK (*) )
14 Bi toỏn 1 cú liờn quan gỡ n bt ng thc hay khụng ?
- Nu tớnh tng nhiu quỏ d nhm chỏn thỡ thay i s kt lun ca bi toỏn 1
8 quay v bt ng thc cng c
Bi toỏn 1 8/1: So sỏnh tổng S vi 1
GV: Trng Tn By Trng THCS Nguyn Bỏ Ngc- Thng Bỡnh
9
KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở SÁCH GIÁO KHOA
S =
( )
1
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1

nnn
<
3
2
víi n ∈ N
*
Hướng giải:
Vì
)12)(12(
1
)12()12(
1
+−
<
+− nnnnn

=>S=
)12()12(
1

7.5.3
1
5.3.2
1
3.1.1
1
+−
++++
nnn
<

+
−=
+−
++++ P
nnn

=> S <
3
2
(đpcm)
- Còn nếu chú ý rằng ∀n > 1 thì (2n-1)n(2n+1) > n(n+1)(n+2)
=>
( ) ( ) ( )( )
21
1
1212
1
++
<
+− nnnnnn
và kết hợp với bài toán 1 – 13 ta được:
Bài toán 1 – 16b: Chứng minh rằng
)12()12(
1

7.5.3
1
5.3.2
1
3.1.1

+−
++++
nnn
<
)2)(1(
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++
++++
nnn
= P
Mà P =
( )( )
4
1
21
1
2
1
2
1
<



1+

x
b
x
a
. Tỡm a v b khi M =
( )
1
1
+xx
Bi toỏn 1 18:
Cho cỏc biu thc:
P =
3
1
65
1
23
11
222
+
+
++
+
++
+
+ xxxxxxx
Q =
6

<++++
n
Bi toỏn 1 20: Tớnh tng
a) S =
( )
( )
2
1

5.3
4
4.2
3
3.1
2
2
222
+
+
++++
nn
n
vi n = 1; 2; 3;
b) P =
( )( )
( )( )
1212
11

9.7

+
+
2
11
2
1
1
2
1
1
2
12
2
1
2
nnnnnn
nn
nn
n
b)
( )( )
( )( )






+


Việc tìm ra quy luật hay phương pháp giải một dạng toán nào đó cũng giúp
HS và GV phát hiện cách giải các dạng toán cùng “họ” một cách nhanh chóng
gọn gàng và chính xác. Hấp dẫn hơn là tập cho HSG khai thác bài toán. Thầy –
Trò cùng khai thác bằng cách thay đổi GT và KL của bài toán, tìm bài toán
tương tự, bài toán tổng quát, v,v tất cả những điều đó không những gây cho
HS niềm đam mê học toán mà còn khiến bản thân tôi càng say mê nghiên cứu
bộ môn toán nhiều hơn
Đề tài này đã được cung cấp cho HS trong quá trình ôn tập phụ đạo-bồi
dưỡng những năm qua, làm chuyên đề báo cáo trước tổ chuyên môn ở những
năm trước, được bổ sung trong các năm gần đây và được sự thống nhất cao của
đồng nghiệp trong đơn vị.
F. KẾT LUẬN
Để khai thác một nội dung kiến thức nào đó được triệt để đòi hỏi người GV
phải có sự chuẩn bị chu đáo và kỹ càng, đồng thời phải có nguồn tư liệu đồi dào
phong phú . Việc khai thác một bài toán phải xác định nhiều hướng khác nhau,
nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng phải đảm bảo tính logich, tính khoa học và
tính chính xác, tránh lung tung xa rời thực tế. Cung cấp kiến thức cho đúng đối
tượng HS mới phát huy được trí lực và phát triển được tính tự giác tích cực học
tập của các em
Tuy nhiên chắc vẫn chưa hoàn thiện như mong muốn và cũng không tránh
khỏi sai sót. Kính mong quý thầy cô lãnh đạo cùng đồng nghiệp góp ý chân
thành để bổ sung cho đề tài này được phong phú hơn, hoàn thiện hơn.
G. ĐỀ NGHỊ
Bản thân tôi rất mong được học tập các đề tài SKKN loại A cấp huyện
hay cấp tỉnh của các tác giả được HĐKH cấp ngành chấm chọn hằng năm .
Mục đích là để áp dụng các đề tài đó trong quá trình dạy-học ở trường. Hơn
nữa đề tài được áp dụng rộng rãi trong đồng nghiệp thì giá trị của đề tài càng
GV: Trương Tấn Bảy Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc- Thăng Bình
12
KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở SÁCH GIÁO KHOA