Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Trờng THCS Cẩm Giàng
tổ khoa học tự nhiên
chuyên đề
Khai thác và phát triển
các bài toán
từ một bài toán đơn giản
Môn: Toán 6
Ngời thực hiện: Phạm Văn Đại
1
Năm học: 2006 2007
A: lý do chọn đề tài
I. Cơ sở lý luận:
Môn toán là một môn khoa học ,những tri thức ,kỹ năng toán học
cùng với phơng pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học
tập những môn khoa học khác , môn toán là công cụ của nhiều ngành
khoa học .
Môn toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những phơng
pháp, phơng thức t duy và hoạt động nh toán học hoá tình huống thực
tế, thực hiện và xây dựng thuật toán ,phát hiện và giải quyết vấn đề .
Những kỹ năng này rất cần cho ngời lao động trong thời đại mới .
Môn toán góp phần phát triển nhân cách con ngời , ngoài việc cung
cấp những kiến thức , kỹ năng toán học, môn toán góp phần phát triển
năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp , trừu tợng hoá , khái quát
hoá.
Ta thấy đợc môn toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống và
trong kỹ thuật . Vì vậy ngời thầy phải có phơng pháp dạy học để phát
huy đợc tính tích cực học tập của học sinh ,nhất là học sinh giỏi .
Theo nh yêu cầu của bộ môn toán nói chung , môn toán 6 nói
riêng ,mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu khai
thác sâu bài tập và thực hành . Trong mỗi bài tập , ngời thầy phải giúp

1

3.2
1
2.1
1
+++
Nếu ta thay đổi 1.2=2;2.3=6; ;99.100=9900
Bài toán trở thành tính tổng A=
.
9900
1

6
1
2
1
+++
Thì học sinh lúng túng mặc dù đã biết cách giải bài toán trớc đó .
Trong thực tế nếu biết khai thác và phát triển bài toán này thì ta thấy
bái toán rất hay .
b Đối với bản thân :
Xuất phát từ việc giảng dạy hai bài toán tính tổng:
A=
.
100.99
1

3.2
1

1
2.1
1
+++
Trong phần này có 9 bài toán đựơc khai thác từ bài toán I
b:bài toán ii :
Tính tổng :
A=1.2+2.3+ +99.100.
Trong phần này cũng có 9 bài toán đợc khai thác từ bài toán II.
Hai bài toán I và II đều thuộc dạng dẫy các phép toán viết theo quy
luật . Ta cũng có thể coi bài toán II là bài toán khai thác từ bài toán I vì
ta chỉ cần nghịch đảo mỗi số hạng của tổng A trong bài toán I là ta đợc
bài toán II. Hai bài toán này khi giải ta đều phải tách mỗi số hạng trong
tổng thành hai số hạng có dấu khác nhau.
Hai bài toán này ta thấy nhiều sự tơng đồng về cấu trúc ,cũng nh về
cách khai thác.
bài toán I
Tính tổng
A=
100.99
1

3 2
1
2.1
1
+++
4
Hớng dẫn:
Ta có:

1

3
1
2
1
2
1
+++
A=1-
100
1
A=
100
99
Tổng quát :
B=
1)1(
1

3.2
1
2.1
1
+
=
+
+++
n
n

Ta thấy:
1.2=2
2.3=6
3.4=12
.
. 99.100=9900
Vậy ta có bài toán :
Bài toán 1:
Hãy tính tổng :
5
D=
9900
1

12
1
6
1
2
1
++++
Híng dÉn :
D=
+++
4.3
1
3.2
1
2.1
1

a
aa
Nªn
100
99
1
=
+a
a
VËy a=99
*NhËn xÐt:
Ta thÊy :

50
2.1
1
2
2.3
3
2
3.4
6
2

99.100
49
2
=
=
=

100.99
1

3.2
1
2.1
1
.(2
=
=
+++=
F
F
F
* Nhận xét :
Ta thấy
100
99
không là số nguyên từ đó có đợc bài toán
Bài toán 4 :Chứng minh rằng :
A=
100.99
1

3.2
1
2.1
1
+++
không là số nguyên .

G=
1
!100
1

!4
1
!3
1
!2
1
<++++
Híng dÉn :
Ta cã :
G<
100.99
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++
VËy G<1
Tæng qu¸t :

1,,
!

+
100
99
100.99
1
=
VËy I<1
Tæng qu¸t :

1
1

3
1
2
1
222
<+++
n
* NhËn xÐt :
Khai th¸c bµi to¸n nµy ta cã :

10000
9999
100
1
1

9
8

10000
9999

9
8
4
3
>+++
Hớng dẫn :
Ta có :

98199)
100
1

3
1
2
1
(99
100
1
1
3
1
1
2
1
1
1000

1
2
1
+++=I
không phải là số nguyên .

Tổng quát :

222
1

3
1
2
1
n
+++
không phải là số nguyên .
* Nhận xét :
Ta thấy với 100 số tự nhiên lớn hơn 1 khác nhau
10021
, ,, aaa

2222
100
2
2
2
1
100

Ta có :

1
100
1

3
1
2
11

11
0
2222
100
2
2
2
1
<++++++<
aaa
vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn điều kiện của đầu bài .
*Nhận xét :
9
Nếu ta nghịch đảo mỗi số hạng của bài toán I ta đợc bài toán mới.
bài toán II
Tính tổng :
A=1.2+2.3+3.4+ +99.100.
Hớng dẫn :
3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+ +99.100.3.

Ta coi bài toán II là bài toán thuận thì ta cũng suy ra bài toán đảo .
Bài toán 2:
10
T×m sè nguyªn a biÕt :
1.2+2.3+ +a(a+1)=333300.
Híng dÉn :
Ta cã : 1.2+2.3+ +a(a+1) = a(a+1)(a+2):3
nªn a(a+1)(a+2):3=333300.

.101.100.99999900)2)(1(
3.333300)2)(1(
==++
=++⇒
aaa
aaa
VËy a=99
*Nh©n xÐt :
Ta thÊy:

4950
2
100.99

6
2
4.3
3
2
3.2
1

++++=
E
E
E
E
*NhËn xÐt :
Ta thÊy :
11

2
100.99
100 321

2
4.3
321
2
3.2
21
2
2.1
1
=++++
=++
=+
=
Vậy ta phát triển từ bài toán trên thành bài toán
Bài toán 4: Tính tổng :

100.99 4.33.22.1


100.99 3.22.1
1.100 97.399.2100.1
+++
++++
=
G
có giá trị bằng 1
Cách giải tơng tự .
* Nhân xét :
. Hơn nữa :
2.99=2(100-1)=2.100-1.2
3.98=3(100-2)=3.100-2.3
12

100.1=100(100-99)
Vậy ta hình thành nên bài toán
Bài toán 6:
Tính tổng :
I=1.100+2.99+3.98+ +100.1
Hớng dẫn:
I=1.100+2.99+3.98+ +100.1
=1.100+2.100-1.2+3.100-2.3+ +100.100-99.100
=100(1+2+3+ +100)-(1.2+2.3+3.4+ +99.100)

171700
333300505000
333300
2
100.101

=328350
*Nhận xét :
Ta đã thấy :
13

32835099 21
222
=+++=H
Vậy
2222
198 642 ++++=K
bằng bao nhiêu ?
Bài toán 8: Tính tổng :

2 2 2
2 4 198K
= + + +

Hớng dẫn :

)99 21(2
2222
+++=
K
K=4.328350
K=1313400
* Nhận xét :
Ta chia H cho 4 đợc

222

M
Bài toán 9:
Hãy tính :

222
)5,45( 1)5.0( +++=M
Đáp số=328350:4=8285,5
G điều kiện áp dụng
Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo những điều
kiện sau:
+Đối với học sinh :
Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào các bài toán
khác .
Phải có lòng say mê học tập không ngại khó không ngại khổ ,đợc đầu
t thời gian , thờng xuyên đọc các tài liệu tham khảo .
+Đối với giáo viên :
Cần có nhiều thời gian và các tài liệu tha khảođểnghiên cứu và áp
dụng vào các bài toán dạng toán cụ thể.
14
Phải có trìng độ chuyên môn vững vàng để không những có nhữnh lời
giải hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán thành những bài
toán hay hơn ,đa dạng hơn .
kết luận
Trên đây là toàn bộ kinh nghiệm của tôi đó là những ý kiến nhỏ đợc
rút ra từ việc học hỏi và giảng dạy .Với thời gian nghiên cứu có hạn nên
mức độ nghiên cứu cha sâu nên bản kinh nghiệm này còn nhiều hạn
chế . Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để bản
kinh nghiệm đợc hoàn thiện và áp dụng có kết quả tốt .
C. Nhận xét góp ý
15

1
1
1
+++
Bµi to¸n 4 :Chøng minh r»ng :
B=
)1(
1

3.2
1
2.1
1
+
+
+
+
nn
kh«ng lµ sè nguyªn .
Bµi to¸n 5: Chøng minh r»ng :
G=
1
!100
1

!4
1
!3
1
!2


3
1
2
1
n
+++
kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn
Bµi to¸n 9:
19
Tìm các số tự nhiên lớn hơn1 khác nhau
10021
, ,, aaa
sao cho

1
1

11
2
100
2
2
2
1
=+++
aaa
Bài toán 1:
Tính tổng :
D=2+6+12+ +9900.

Bài toán 8: Tính tổng :

2 2 2
2 4 198K
= + + +

Bài toán 9: Hãy tính :
20

222
)5,45( 1)5.0(
+++=
M
21