ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
    
NGUYỄN THỊ LÝ
TOÁN TỬ DƯƠNG
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Bộ môn : Giải tích
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
GV hướng dẫn
THS.LƯƠNG HÀ
Huế, tháng 5 năm 2011
1
MỤC LỤC
Lời mở đầu 3
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1 Một số toán tử đặc biệt trong không gian Hilbert . . . . . . . . 4
1.2 Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 10
2.1 Định nghĩa toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Các tính chất của toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 DẠNG PHÂN TÍCH CỰC CỦA MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 27
3.1 Một số định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Dạng phân tích cực của một toán tử . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO 43
2
LỜI MỞ ĐẦU
Giải tích hàm là một trong những ngành toán học đóng vai trò quan trọng
trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học.
Trong chương trình học của chúng em, bộ môn Giải tích hàm đã được đưa
vào và trở thành một học phần quan trọng ở học kì hai năm thứ ba và học kì

: Y −→ X được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A nếu
Ax, y = x, A
∗
y, ∀x ∈ X, y ∈ Y.
Định nghĩa 1.1.2 (Toán tử tự liên hợp). Cho X là một không gian Hilbert,
A ∈ L(X). A gọi là tự liên hợp nếu
x, Ay = Ax, y, ∀x, y ∈ X
Định lý 1.1.3. Cho X là một không gian Hilbert phức và A ∈ L(X). Điều
kiện cần và đủ để A tự liên hợp là Ax, x ∈ R với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.4 (Toán tử chiếu). Cho X là một không gian vectơ trên
trường K (R hoặc C) và X = M ⊕N trong đó M, N là các không gian con của
X. Khi đó, mỗi phần tử x ∈ X được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
x = y + z với y ∈ M và z ∈ N. Ánh xạ
P : X −→ X
x −→ y
được gọi là toán tử chiếu (hay phép chiếu trực giao) của không gian X lên
không gian con M, kí hiệu P
M
.
∗ Nếu X một không gian Hilbert và M là một không gian con đóng của X
4
thì mọi vectơ x ∈ X đều có thể biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng:
x = y + z, với y ∈ M, z ∈ M
⊥
. Lúc đó ánh xạ P được gọi là toán tử chiếu (hay
phép chiếu trực giao) của không gian X lên không gian con đóng M. Kí hiệu
P
M
.
Định nghĩa 1.1.5 (Toán tử đẳng cự). Cho X, Y là hai không gian Hilbert và

(ii) U là một phép đẳng cấu của X lên Y ;
(iii) U liên tục và U
∗
U = I
X
, U
∗
U = I
Y
(I
X
, I
Y
là các toán tử đồng nhất lần
lượt trong X và trong Y );
(iv) U liên tục và U
∗
= U
−1
.
Định nghĩa 1.1.9. Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert
X vào không gian Hilbert Y . Khi đó:
(a) Tập hợp
A
−1
(0) = {x ∈ X : Ax = 0}
được gọi là không gian con không của A và kí hiệu là N(A);
5
(b) Tập hợp
A(X) = {y ∈ Y : y = Ax, x ∈ X}

là những toán tử chuẩn tắc.
Định nghĩa 1.1.13. Cho X là không gian định chuẩn phức. A ∈ L(X) và
λ ∈ C . Nếu tồn tại x = 0 trong X sao cho Ax = λx thì λ được gọi là một
giá trị riêng của toán tử A và x là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ.
λ ∈ C là giá trị phổ của A nếu không tồn tại toán tử ngược liên tục (A−λI)
−1
.
Tập các giá trị phổ gọi là phổ của toán tử A, kí hiệu là σ(A).
Nếu λ là giá trị riêng của A thì λ ∈ σ(A).
6
Định lý 1.1.14. Cho X là một không gian Banach phức. Khi đó σ(T ) = ∅ với
mọi T ∈ L(X).
Định lý 1.1.15. Cho X là một không gian Hilbert phức và T ∈ L(X) là một
toán tử tự liên hợp. Khi đó σ(T ) ⊂ R.
Định nghĩa 1.1.16. Cho X là một không gian Banach và T ∈ L(X), khi đó
số thực
r(T ) := max{|λ| : λ ∈ σ(T )}
gọi là bán kính phổ của toán tử T.
Định lý 1.1.17. Nếu X là một không gian Banach phức và T ∈ L(X) thì
r(T ) = lim
n→∞
T
n

1
n
.
Hệ quả 1.1.18. Nếu X là một không gian Hilbert phức và T : X −→ X là
một toán tử chuẩn tắc thì r(T ) = T .
1.2 Một số định lý

phôi tuyến tính.
Định lý 1.2.4 (Suy rộng hàm liên tục ). Cho X là một không gian định
chuẩn và Y là một không gian Banach. Cho X
o
là không gian con trù mật của
7
X và cho T
o
: X
o
→ Y là toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó có duy nhất một
toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho T
|X
o
= T
o
. Toán tử này thu
được từ T
o
được gọi là "suy rộng của T
o
bởi tính liên tục".
Định nghĩa 1.2.5 (Đại số). Một đại số X trên trường K (gọi tắt là đại số
X) là một không gian vectơ trên trường K, mà trên đó tồn tại một phép toán
hai ngôi, kí hiệu là (·) gọi là phép nhân, thoả mãn các điều kiện sau đây:
(i) x(y + z) = xy + xz,
(ii) (x + y)z = xz + yz,
(iii) λ(xy) = (λx)y = x(λy),
với mọi x, y, z ∈ X, λ ∈ K.
Định nghĩa 1.2.6 (Đại số con). Một tập con của đại số X được gọi là đại

) = f(ω
2
),
(iii) Với mọi f ∈ A thì f ∈ A.
Khi đó A trù mật trong C(Ω).
9
CHƯƠNG 2
TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG
GIAN HILBERT
Trong phần còn lại, ta luôn xét các không gian trên trường K = C.
2.1 Định nghĩa toán tử dương
Định nghĩa 2.1.1. Cho X là một không gian Hilbert, toán tử A ∈ L(X) được
gọi là dương nếu
Ax, x ≥ 0 với mọi x ∈ X.
Khi đó ta kí hiệu: A ≥ 0.
Nhận xét: Theo Định lý 1.1.3 ta suy ra nếu A là một toán tử dương thì A là
tự liên hợp.
Ví dụ 2.1.2. Giả sử K(t, s) là hàm thuộc không gian L
2
([a, b] × [a, b]) và
K(t, s) ≥ 0 hầu khắp nơi trên hình vuông {a ≤ t, s ≤ b}. Khi đó toán tử tích
phân A trong L
2
[a, b] xác định bởi K(t, s) là dương
Ax(t) =

[a,b]
K(t, s)x(s)ds, x ∈ L
2
[a, b]

∈ M
⊥
, khi đó
P x, x = x
1
, x
1
+ x
2
 = x
1
, x
1
 = x
1

2
≥ 0,
do đó P là một toán tử dương.
Ví dụ 2.1.4. Giả sử X là một không gian Hilbert n chiều, {e
1
, e
2
, , e
n
} là
một cơ sở trực chuẩn của X và toán tử tự liên hợp A được xác định bởi ma
trận cấp n.
A = (a
ki

n

i=1
x
i
e
i
 =
n

k=1
n

i=1
a
ki
x
i
x
k
.
Như vậy theo ngôn ngữ đại số tuyến tính, Ax, x là một dạng toàn phương
của (x
1
, x
2
, x
n
). Vậy để toán tử A là toán tử dương thì điều kiện cần và
đủ là:










a
11
a
12
a
1n
a
21
. . . a
2n
. . . . .
. . . . .
a
n1
. . . a
nn






)
n
là một dãy số thực dương bị chặn, khi đó toán tử
A : 
2
 x = (ξ
n
)
n
−→ Ax := (a
n
ξ
n
)
n
∈ 
2
là tuyến tính. Mặt khác, vì (a
n
)
n
bị chặn nên M := sup
n∈N
∗
|a
n
| < +∞, khi đó với
mọi x = (ξ
n
)

∞

n=1
|ξ
n
|
2
= M
2
x
2
.
11
Do đó A là toán tử tuyến tính liên tục.
Mặt khác, ta luôn có
Ax, x =
∞

n=1
a
n
|ξ
n
|
2
≥ 0 với mọi x ∈ 
2
nên A là một toán tử dương trong 
2
.

2
≥ 0.
Do đó A
∗
A và AA
∗
là các toán tử dương.
Định lý 2.2.2. Nếu A là toán tử dương và B ∈ L(X) thì toán tử B
∗
AB là
dương.
Chứng minh. Ta có B
∗
AB là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác với mọi
x ∈ X, ta có
B
∗
ABx, x = ABx, Bx = Ay, y ≥ 0 (với y = Bx).
Do đó B
∗
AB là toán tử dương.
Tính chất 2.2.3. Nếu A là toán tử dương thì với mọi x, y ∈ X
|Ax, y|
2
≤ Ax, xAy, y. (2.2.1)
Chứng minh.
• Nếu Ax, y = 0 thì (2.2.1) hiển nhiên đúng.
• Giả sử Ax, y = 0. Với mọi λ ∈ C, ta có
Ax + λAy, x + λy ≥ 0
⇐⇒Ax, x+ λAy, x + λAx, y + |λ|

|Ax, Ax|
2
≤ Ax, xA(Ax), Ax ⇐⇒ Ax
4
≤ Ax, xA(Ax), Ax.
Mặt khác theo bất đẳng thức Schwarz ta có
|A(Ax), Ax| ≤ A(Ax)Ax ≤ AAx
2
.
Vì A là toán tử dương nên A(Ax), Ax = |A(Ax), Ax|. Do đó
Ax
4
≤ Ax, xAAx
2
⇔ Ax
2
≤ Ax, xA.
Hệ quả 2.2.5. Nếu A là một toán tử dương và (x
n
)
n
là một dãy các phần tử
trong X sao cho lim
n→∞
Ax
n
, x
n
 = 0 thì lim
n→∞

Một trường hợp đặc biệt của hệ quả trên là:
Cho A là một toán tử dương. Khi đó, nếu Ax, x = 0, với mọi x ∈ X thì
Ax = 0 hay A = 0.
Theo hệ quả 2.2.4 và giả thiết ta có Ax
2
≤ AAx, x = 0 với mọi x ∈ X.
Nên Ax = 0, với mọi x ∈ X. Vậy Ax = 0, với mọi x ∈ X hay A = 0.
Tính chất 2.2.6. Cho A là một toán tử dương. Đặt
m = inf
x∈X,x=1
Ax, x, M = sup
x∈X,x=1
Ax, x
Lúc đó m ∈ σ(A), M ∈ σ(A) và σ(A) ⊂ [m, M].
Chứng minh. Trước hết ta có A là toán tử dương nên Ax, x ≥ 0 với mọi
x ∈ X, do đó ta có thể định nghĩa được các số m và M.
Đặt A
m
= A − mI. Vì A, I là các toán tử tuyến tính liên tục nên A
m
cũng là
toán tử tuyến tính liên tục. Ta có
A
m
x, x = Ax −mx, x = Ax, x − mx
2
≥ 0 với mọi x ∈ X.
Vậy A
m
là một toán tử dương. Mặt khác

có toán tử ngược A
−1
m
liên
tục. Khi đó theo (1.2.1) ta có
A
m
x
n
 ≥ cx
n
 = c, ∀c ≤ A
−1
m

−1
• Nếu A
m
 = 0 thì m = M hay A = mI. Suy ra σ(A) = m.
• Giả sử A
m
 = 0 suy ra c > 0. Vậy A
m
x
n
 ≥ c > 0 (mâu thuẫn vì
A
m
x
n

= A
m
x + x, A
m
x + x
= A
m
x
2
+ 2A
m
x, x + 
2
x
2
≥ 
2
x
2
. (2.2.3)
Suy ra A
m−
là đơn ánh. Vậy N(A
m−
) = 0. Ta lại có A
m−
tự liên hợp nên
X = N(A
m−
) ⊕ R(A

n
− x
p
 = A
m−
y
n
− A
m−
y
p
 = A
m−
(y
n
− y
p
) ≥ y
n
− y
p

Do đó (y
n
)
n
là dãy Cauchy trong không gian Hilbert X. Vậy tồn tại lim
n→∞
y
n

2
− Ax, x ≥ 0
với mọi x ∈ X, vì vậy B là toán tử dương.
inf
x=1
Bx, x = inf
x=1
(M −Ax, x) = M − sup
x=1
Ax, x = 0.
Vì vậy theo chứng minh ở trên thay toán tử A
m
bằng toán tử B ta suy ra toán
tử B không có toán tử ngược liên tục. Mà B = −(A − MI) nên M ∈ σ(A).
Cũng theo chứng minh ở trên ta suy ra với mọi  > 0 thì toán tử B + I có
toán tử ngược liên tục với
(B + I)
−1
= ((M + )I − A)
−1
= −(A − (M + )I)
−1
vì vậy M + /∈ σ(A) với mọi  > 0. Mà σ(A) ⊂ R, m− /∈ σ(A) và M + /∈ σ(A)
với mọi  > 0 nên σ(A) ⊂ [m, M].
15
Định lý 2.2.7. Cho A ∈ L(X) là một toán tử tự liên hợp. Đặt
m = inf
x∈X,x=1
Ax, x, M = sup
x∈X,x=1

m
) nên toán tử A−mI −(M −m)I = A−MI không
tồn tại toán tử ngược liên tục. Vậy M ∈ σ(A). Mặt khác, vì σ(A
m
) ⊂ [0, M −m]
và σ(A
m
) ⊂ R nên
− /∈ σ(A
m
), M −m +  /∈ σ(A
m
), ∀ > 0.
Do đó các toán tử
A − mI − (−I) = A − (m − )I,
A − mI − (M − m + )I = A −(M + )I
có toán tử ngược liên tục, hay m −  /∈ σ(A) và M +  /∈ σ(A), với mọi  > 0.
Mà σ(A) ⊂ R nên σ(A) ⊂ [m, M].
Nhận xét 2.2.8. Gọi K là tập hợp tất cả các toán tử tự liên hợp trong không
gian Hilbert X. Nếu A, B ∈ K và A − B là một toán tử dương (tức là ta có
Ax, x ≥ Bx, x, với mọi x ∈ X) thì ta kí hiệu A ≥ B. Khi đó ” ≥ ” là một
quan hệ thứ tự bộ phận trong K vì
1. Rõ ràng A ≥ A, ∀A ∈ K.
16
2. Nếu A ≥ B và B ≥ C thì A ≥ C. Điều này có được do
Ax, x − Cx, x = Ax, x − Bx, x + Bx, x − Cx, x ≥ 0
với mọi x ∈ X.
3. Giả sử A ≥ B và B ≥ A, tức là Ax, x = Bx, x với mọi x ∈ X, suy ra
(A − B)x, x = 0 với mọi x ∈ X. Theo Hệ quả 2.2.5 suy ra A − B = 0
hay A = B.

≤ A
2
≤ A
3
≤ ≤ A
n
≤ ≤ B.
Lúc đó dãy (A
n
)
n
hội tụ điểm trên X đến một toán tử tự liên hợp A với A ≤ B.
Hơn nữa, nếu T là một toán tử tuyến tính liên tục giao hoán với các A
n
(n ∈ N
∗
)
thì T cũng giao hoán với A.
17
Chứng minh. Với mỗi n ∈ N
∗
đặt C
n
= B −A
n
thì C
n
là toán tử dương và
C
1

Với mỗi x ∈ X ta có dãy bất đẳng thức
C
1
x, x ≥ C
2
x, x ≥ ≥ C
n
x, x ≥ ≥ 0.
Suy ra dãy (C
n
x, x)
n∈N
∗
hội tụ. Khi p ≥ 1 thì C
n
− C
n+p
là một toán tử
dương, do đó theo Hệ quả 2.2.4 ta có
C
n
x − C
n+p
x
2
≤ C
n
− C
n+p
(C

x = Cx với mọi x ∈ X, suy ra dãy (A
n
)
n
hội tụ điểm đến toán tử
tuyến tính liên tục A. Mặt khác, ta có ánh xạ ϕ(·) : L(X)  S −→ S
∗
∈ L(X)
là tuyến tính, và với mọi S, S

∈ L(X) ta có
ϕ(S) − ϕ(S

) = S
∗
− S
∗
 = (S − S

)
∗
 ≤ S − S


nên ϕ liên tục. Do đó với mọi x ∈ X ta có A
∗
x = ( lim
n→∞
A
n

n→∞
A
n
T x = lim
n→∞
T A
n
x = T ( lim
n→∞
A
n
x) = T Ax.
Vậy AT = T A.
18
Định lý 2.2.11. Cho A, B là các toán tử dương và A, B giao hoán với nhau.
Lúc đó AB là một toán tử dương.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh hai điều nhận xét sau
1) Nếu A, B là hai toán tử dương trong không gian Hilbert X và AB = BA
thì
A
k
B = BA
k
, (k ∈ Z
∗
). (2.2.4)
Từ đó suy ra rằng B giao hoán với mọi đa thức của A, tức là với mọi toán tử
có dạng a
0
I + a

Do đó (2.2.4) đúng với k = n + 1. Vậy nguyên lý quy nạp ta có A
k
B = BA
k
,
với mọi k ∈ Z
∗
.
2) Nếu C là một toán tử dương trong không gian Hilbert X và C ≤ 1
thì C − C
2
cũng là một toán tử dương và C − C
2
 ≤ 1.
Chứng minh. Vì C ≥ 0 nên theo hệ quả 2.2.4 ta có
C
2
x, x = Cx, Cx = Cx
2
≤ CCx, x ≤ Cx, x
với mọi x ∈ X, do đó (C −C
2
)x, x ≥ 0 với mọi x ∈ X. Hơn nữa, ta có
C − C
2
 = sup
x=1
(C − C
2
)x, x ≤ sup







A
0
= A
A
1
= A
0
− A
2
0
A
2
= A
1
− A
2
1
= A
0
− A
2
0
− (A
0

 ≤ 1. Giả sử toán tử A
n
dương và A
n
 ≤ 1.
Khi đó A
n+1
= A
n
− A
2
n
. Do đó toán tử A
n+1
dương và A
n+1
 ≤ 1, với mọi
n ∈ N. Cộng (n+1) đẳng thức đầu tiên của (2.2.5) ta được
A
n+1
= A −
n

k=0
A
2
k
(2.2.6)
Do đó với mọi x ∈ X, ta có
Ax, x =

2
.
Bất đẳng thức trên đúng với mọi n ∈ N nên chuỗi
∞

k=0
A
k
x
2
hội tụ với mọi
x ∈ X. Do đó lim
k→∞
A
k
x
2
= 0. Kết hợp đẳng thức này với (2.2.6) ta có
Ax = lim
n→∞
n

k=0
A
2
k
x, với mọi x ∈ X.
Do đó
ABx, x = lim
n→∞

→ C
2
được xác định như sau
A(x, y) = (5x + 2y, 2x + y), B(x, y) = (2x + y, x + y), với mọi x, y ∈ C.
20
Ta có C
2
là một không gian định chuẩn hữu hạn chiều mà A, B là các toán
tử tuyến tính đi từ C
2
vào C
2
nên A, B liên tục. Mặt khác, ma trận A, B biểu
diễn của toán tử A, B là
A =


5 2
2 1


B =


2 1
1 1


Ta có A = A
t

I.
Chứng minh.
a) Trước hết ta có
αI ≤ A ≤ βI ⇔ αx
2
≤ Ax, x ≤ βx
2
(2.2.7)
với mọi x ∈ X, do đó nếu Ax = 0 thì x = 0. Vậy toán tử A là đơn ánh.Ta
chứng minh R(A) đóng. Xét dãy (y
n
)
n
⊂ R(A) sao cho y := lim
n→∞
y
n
. Khi đó
tồn tại (x
n
)
n
⊂ X, sao cho y
n
= Ax
n
. Ta có
αx
n
− x

− y
m
x
n
− x
m

suy ra αx
n
−x
m
 ≤ y
n
−y
m
. Vậy (x
n
)
n
là dãy Cauchy trong X nên tồn tại
lim
n→∞
x
n
= x ∈ X và vì A liên tục nên y = Ax, do đó R(A) là một tập đóng
21
trong X. Ngoài ra mọi y ∈ R(A)
⊥
ta có Ay, y = 0, và từ (2.2.7) ta suy ra
y = 0. Vậy R(A)

1
α
I.
Định nghĩa 2.2.15 (Căn bậc hai của một toán tử dương). Căn bậc hai
của toán tử dương A là toán tử tự liên hợp B thỏa mãn B
2
= A.
Định lý 2.2.16. Cho A là một toán tử dương trong không gian Hilbert X. Khi
đó, A có một căn bậc hai dương duy nhất. Hơn nữa, B giao hoán với bất kỳ
toán tử tuyến tính liên tục nào giao hoán với A.
Chú ý: Toán tử B được gọi là căn bậc hai dương của toán tử dương A và
thường được kí hiệu là A
1
2
hay
√
A.
Chứng minh. Cũng như chứng minh trong Định lý 2.2.11 ở đây ta có thể
giả thiết A ≤ 1. Do đó
Ax, x ≤ Axx ≤ Axx ≤ x
2
= x, x.
Vậy 0 ≤ A ≤ I và C = I − A là một toán tử dương. Để thấy bản chất quá
trình đi tìm toán tử B = A
1
2
ta tạm giả thiết rằng B tồn tại. Đặt S = I − B
thì B = I − S. Do đó A = B
2
= (I −S)

2
S
2
0
22

S
n+1
=
1
2
C +
1
2
S
2
n
.
Vì C ≥ 0 nên S
n
≥ 0 (n = 1, 2, ). Ta có S
n
biểu diễn được qua C và S
n−1
với
n ≥ 1 và S
0
= I. Suy ra S
n
biểu diễn được qua C và I. Vậy S

I) =
1
2
I −
1
2
(I − A) =
A
2
≥ 0.
Giả sử S
n−1
− S
n
≥ 0. Khi đó
S
n
− S
n+1
= (
1
2
C +
1
2
S
2
n−1
) − (
1

giao hoán với nhau).
Theo giả thiết quy nạp ta có S
n−1
−S
n
≥ 0 mà S
n
≥ 0, với mọi n = 0, 1, 2, và
các toán tử này giao hoán với nhau nên theo Định lý 2.2.11 thì S
n
−S
n+1
≥ 0.
Từ (2.2.9) và Định lý 2.2.10 ta suy ra dãy (S
n
)
n
hội tụ theo điểm đến một
toán tử dương S. Lấy x ∈ X tùy ý. Trong đẳng thức S
n+1
x =
1
2
Cx +
1
2
S
2
n
x

1
A = B
1
B
2
1
= B
2
1
B
1
= AB
1
. Vậy B
1
và A giao
hoán với nhau. Với mọi x ∈ X, ta có
0 = (A − A)x = (B
2
− B
2
1
)x = (B + B
1
)(B −B
1
)x = (B + B
1
)y,
23

1
)y = 0 hay By = B
1
y = 0 (nếu toán tử (B
1
−B) dương ta cũng
chứng minh tương tự). Vậy với mọi x ∈ X, ta có
B(B −B
1
)x = By = B
1
y = B
1
(B −B
1
)x = 0,
suy ra (B − B
1
)(B −B
1
)x = 0. Do đó
(B −B
1
)x
2
= (B −B
1
)x, (B −B
1
)x = (B − B

n
là một dãy số thực dương bị chặn, toán tử A : 
2
−→ 
2
xác
định như sau:
x = (ξ
n
)
n
∈ 
2
, Ax = (a
n
ξ
n
)
n
.
Theo ví dụ 1.1.5 ta chứng minh được A là một toán tử dương. Đặt T x =
(
√
a
n
ξ
n
)
n
, với x = (ξ

Do đó T
2
= A. Vậy T là căn bậc hai dương duy nhất của A.
Ví dụ 2.2.18. Tìm toán tử căn bậc hai của toán tử A được cho như sau:
A : C
2
→ C
2
(x
1
, x
2
) −→ (10x
1
+ 5x
2
, 5x
1
+ 5x
2
) với mọi x
1
, x
2
∈ C
Tương tự ví dụ 2.2.12 ta có A là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác ta có
ma trận biểu diễn của toán tử A là


10 5

b c


=


10 5
5 5


⇔









a
2
+ b
2
= 10
b
2
+ c
2
= 5

1 + α
2
= 2(1 + β
2
)
1 + β
2
= α + β
, (2.2.11)
Cộng vế theo vế hai phương trình trên ta được
2 + α
2
+ β
2
= 2 + 2β
2
+ α + β
⇔ (α + β)(α − β − 1) = 0
Thay vào (2.2.11) ta được: α = 3, β = 2. Từ đó suy ra a = 3, b = 1, c = 2
Vậy toán tử A có một căn bậc hai là B =


3 1
1 2


.
Ví dụ 2.2.19. Tìm toán tử căn bậc hai dương của toán tử A ∈ L
2
([a, b]) được

Trích đoạn Dạng phân tích cực của một toán tử

---