ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀM THỊ ĐIỂM
PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM
GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU
KIỆN BIÊN KÌ DỊ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀM THỊ ĐIỂM
PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM
GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU
KIỆN BIÊN KÌ DỊ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ VINH QUANG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Các kiến thức cơ bản 4
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian C
k
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Không gian L

3.4 Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát 47
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
Các ký hiệu
L Toán tử elliptic.
R
n
Không gian Euclide n chiều.
Ω Miền giới nội trong không gian R
n
.
∂Ω Biên trơn Lipschitz.
C
k
(Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục.
L
2
(Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích.
W
1,p
(Ω) Không gian Sobolev với chỉ số p.
H
1/2
(∂Ω) Không gian Sobolev với chỉ số 1/2.
H
1
0
(Ω) Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω.
H

trình nghiên cứu về các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ như phương
pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn của các tác giả trên thế giới
công bố nhiều năm qua. Tuy nhiên trong trường hợp khi trên một đoạn
biên gồm hai loại điều kiện biên được phân cách tại một điểm nào đó trên
biên, ta sẽ gặp bài toán biên hỗn hợp mạnh hay còn gọi là bài toán biên
với điều kiện biên kì dị. Do tính chất thay đổi của điều kiện biên sẽ sinh
ra điểm kì dị tại điểm phân chia. Đối với bài toán này, các phương pháp
thông thường này sẽ gặp khó khăn. Năm 2006, các tác giả Z. C. Li, Y. L.
Chan, G. C. Georgiov, C. Xenophontos khi nghiên cứu về bài toán Motz
đã đưa ra các phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt thường được gọi là các
phương pháp BAMs [1]. Ngoài phương pháp trên việc tìm nghiệm xấp xỉ
đối với bài toán với biên kì dị có thể sử dụng các sơ đồ lặp trên cơ sở của
phương pháp chia miền [2, 3, 4].
Nội dung chính của luận văn là trình bày cơ sở của phương pháp xấp
xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của bài toán biên với điều kiện biên
kì dị bằng các phương pháp BAMs, đánh giá sai số của các phương pháp
tương ứng cùng các kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz, đồng thời
đưa ra phương pháp xấp xỉ theo tư tưởng chia miền xác định nghiệm của
bài toán Motz tương ứng cũng như trường hợp tổng quát, tiến hành thực
nghiệm tính toán, so sánh độ chính xác giữa hai phương pháp xấp xỉ biên
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
theo BAMs và phương pháp chia miền đối với bài toán Motz. Luận văn
gồm 3 chương với những nội dung cơ bản như sau:
Chương 1: Luận văn trình bày các kiến thức quan trọng về các không
gian hàm và đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản,
khái niệm về nghiệm yếu, định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu,
phương pháp biến phân xác định nghiệm yếu thông qua bài toán cực trị
phiếm hàm. Đây là các kiến thức quan trọng để trình bày các nội dung
trong chương 2 của luận văn.

4
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm
1.1.1 Không gian C
k
(Ω)
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R
n
và
Ω là bao đóng của Ω. Ký hiệu C
k
(Ω), (k = 1, 2, ) là tập các hàm có đạo
hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω. Ta đưa vào C
k
(Ω) chuẩn
 u 
C
k
(Ω)
=

α=k
max | D
α
u(x) |, (1.1)
trong đó α = (α
1
, α
2

Ω của các hàm và tất
cả đạo hàm của chúng đến cấp k, kể cả k. Tập C
k
(Ω) với chuẩn (1.1) là
một không gian Banach.
1.1.2 Không gian L
p
(Ω)
Giả sử Ω là một miền trong R
n
và p là một số thực dương. Ta ký hiệu
L
p
(Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trong Ω sao cho

Ω
| f(x) |
p
dx < ∞. (1.2)
Trong L
p
(Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như
vậy các phần tử của L
p
(Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thoả
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
mãn (1.2) và hai hàm là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên
Ω. Vì
| f(x) + g(x) |

.
Định lí 1.1. (Bất đẳng thức H¨oder) Nếu 1 < p < ∞ và u ∈ L
p
(Ω), v ∈
L
p
(Ω) thì uv ∈ L
p
(Ω) và

Ω
| u(x)v(x) | dx ≤ u(x) 
p
.  v(x) 
p

,
trong đó p

=
p
p −1
, tức là
1
p
+
1
p

= 1, p


Ω
u
∂
k
ϕ
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
dx = (−1)
k

Ω
vϕ dx
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
đối với mọi ϕ(x) ∈ C
k
0
(Ω), k = k
1
+ k
2
+ + k
n

∂x
k
n
n
Định nghĩa 1.3. Giả sử p là một số thực, 1 ≤ p < ∞, Ω là miền trong
R
n
. Không gian Sobolev W
1,p
(Ω) được định nghĩa như sau
W
1,p
(Ω) = {u | u ∈ L
p
(Ω),
∂u
∂x
i
∈ L
p
(Ω), i = 1, 2, , n},
trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng.
Với p = 2, ta ký hiệu W
1,2
(Ω) = H
1
(Ω), nghĩa là
H
1
(Ω) = {u | u ∈ L

p
(Ω)
.
ii) Không gian H
1
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)
H
1
(Ω)
= (u, v)
L
2
(Ω)
+
n

i=1
(
∂u
∂x
i
,
∂v
∂x
i
)
L
2
(Ω)

(Ω) là:
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p
∗
), trong đó
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
.
- Nhúng liên tục với q = p
∗
.
ii) Nếu p = n thì W
1,n
0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞).
iii) Nếu p > n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂ C
0
(Ω) là nhúng compact.
Định lí 1.5. (Định lý vết)

 u 
H
1/2
(∂Ω)
=

∂Ω
| u(x) |
2
dS
x
+

∂Ω

∂Ω
| u(x) − u(y) |
2
| x − y |
n+1
dS
x
dS
y
.
ii) Tồn tại một hằng số C
γ
(Ω) sao cho
 γ(u) 
H

1/2
(∂Ω) ⊂ L
2
(∂Ω) là compact.
iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
g ∈ H
1/2
(∂Ω) −→ u
g
∈ H
1
(Ω)
với γ(u
g
) = g và tồn tại hằng số C
1
(Ω) chỉ phụ thuộc miền Ω sao cho
 u
g

H
1
(Ω)
≤ C
1
(Ω)  g 
H
1/2
(∂Ω)
, ∀g ∈ H

1
0
(Ω) được xác định bởi
 u 
2
H
1
(Ω)
= u 
2
L
2
(Ω)
+  u 
2
L
2
(Ω)
.
Định lí 1.8. ( Bất đẳng thức Poincaré mở rộng)
Giả sử biên Ω liên tục Lipschitz, ∂Ω = Γ
1
∪ Γ
2
, trong đó Γ
1
, Γ
2
là các
tập đóng , rời nhau, Γ

0
(Ω))

,
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
tức là không gian đối ngẫu của H
1
0
(Ω). Chuẩn của phần tử F ∈ H
−1
(Ω)
được xác định như sau
 F 
H
−1
(Ω)
= sup
H
1
0
(Ω)\{0}



F, u

H
−1
(Ω),H

1
, , f
n
trong
L(Ω) sao cho
F = f
0
+
n

i=1
∂f
i
∂x
i
. (1.3)
Hơn nữa
 F 
2
H
−1
(Ω)
= inf
n

i=1
 f
i

2

−1/2
(∂Ω) được xác định như sau
 F 
H
−1/2
(∂Ω)
= sup
H
−1/2
(∂Ω)\{0}



F, u

H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)


 u 
H
1/2
(∂Ω)
,
trong đó

F, u

Hơn nữa, nếu v ∈ H(Ω, div) và w ∈ H
1
(Ω) thì
−

Ω
(divv)w dx =

Ω
vw dx +

v.n, w

H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
.
1.2 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình
Elliptic cấp hai
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình
−u = f (1.4)
Giả sử u ∈ C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) và phương trình (1.4) thoả mãn trong
miền Ω. Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4).
Lấy hàm ϕ bất kỳ thuộc D(Ω) = C
∞

11
hay

Ω
uϕ dx =

Ω
fϕ dx.
Như vậy, nếu u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4) hệ thức (1.6)
thỏa mãn. Nhưng nếu f /∈ C(Ω) thì phương trình (1.4) không có nghiệm
cổ điển. Vậy, ta cần mở rộng khái niệm nghiệm khi f ∈ L
2
(Ω).
Định nghĩa 1.8. Giả sử u ∈ H
1
(Ω), f ∈ L
2
(Ω), u được gọi là nghiệm yếu
của phương trình (1.4) nếu (1.6) được thoả mãn.
Mệnh đề 1.1. Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.4) và u ∈
C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm cổ điển, tức là −u = f.
Chứng minh.
Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.4), tức là u ∈ H
1
(Ω) và ta
có (1.6) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈ C
2
(Ω) ta suy

trong đó w là hàm thuộc H
1
(Ω), có vết bằng ϕ và

Ω
uv dx =

Ω
fv dx, ∀v ∈ H
1
0
(Ω) (1.8)
Nhận xét 1.2.
- Nghiệm yếu của bài toán (1.7) là nghiệm yếu của phương trình −u =
f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm u ∈ H
1
(Ω)
thoả mãn (1.8) với mọi v ∈ C
∞
0
(Ω) ⊂ H
1
0
(Ω).
- Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.7) và u, f, ϕ đủ trơn thì u là
nghiệm theo nghĩa cổ điển.
• Bài toán Neumann
Xét bài toán

−u = f, x ∈ Ω,


Ω
uv dx =

Ω
vf dx,
kết hợp với (1.9) ta suy ra

Ω
uv dx =

Ω
fv dx +

∂Ω
hv dS, ∀v ∈ H
1
(Ω). (1.11)
Định nghĩa 1.9. Nếu h ∈ L
2
(∂Ω), f ∈ L
2
(Ω) thì nghiệm yếu của bài
toán Neumann (1.9) là hàm u ∈ H
1
(Ω) thoả mãn (1.11).
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Nhận xét 1.3. Ta mới chỉ xét những trường hợp trên biên ∂Ω chỉ cho
một loại điều kiện biên. Trên thực tế có thể gặp các bài toán biên hỗn hợp

và

Ω
uv dx =

Ω
vf dx +

Γ
2
vh dS, ∀v ∈ V.
1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
Định lí 1.9. (Định lý Lax-Milgram)
Giả sử H là không gian Hilbert với tích vô hướng (v, u). B(v, u) là dạng
song tuyến tính đối xứng, liên tục, xác định dương trên H, tức là tồn tại
k > 0 sao cho
|B(v, u)| ≤ k  v  u , ∀u, v ∈ H
và tồn tại α > 0 sao cho
B(v, u) ≥ α  v 
2
, ∀v ∈ H.
Khi đó, mỗi phiếm hàm tuyến tính F giới nội trên H có thể biểu diễn
trong dạng
F (v) = B(v, z), ∀v ∈ H,
trong đó z ∈ H là duy nhất được xác định bởi F và
 z ≤
1
α
 F  .
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

fv dx.
Kiểm tra các điều kiện của định lý Lax-Milgram ta thấy B(u, v) là dạng
song tuyến tính đối xứng, liên tục. Từ bất đẳng thức Fridrich
C

Ω
|v|
2
dx ≥

Ω
|v|
2
dx
suy ra
(1 + C)

Ω
|v|
2
dx ≥ v 
2
H
1
(Ω)
.
Do đó
B(v, u) =

Ω

(Ω)
nên
 F = sup
v=0
|F (v)|
 v 
H
1
0
(Ω)
≤ sup
v=0
 f 
L
2
(Ω)
 v 
L
2
(Ω)
 v 
H
1
0
(Ω)
≤ f 
L
2
(Ω)
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
(Ω) thoả mãn
điều kiện u − w ∈ H
1
0
(Ω) và
B(u, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
, ∀v ∈ H
1
0
(Ω),
trong đó
B(u, v) =

Ω
uv dx.
Theo định lý Lax-Milgram, tồn tại duy nhất z ∈ H
1
0
(Ω) sao cho
B(z, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
− B(w, v).
Khi đó, hàm u = w + z là nghiệm yếu của bài toán (1.14). Thật vậy,
ta có u − w ∈ H

|
 v 
H
1
0
(Ω)
+ sup
v=0
B(w, v)
 v 
H
1
0
(Ω)

.
Ta thấy
|(f, v)
L
2
(Ω)
|
 v 
H
1
0
(Ω)
≤ f 
L
2

(Ω)
.
Từ đó suy ra
 z 
H
1
0
(Ω)
≤
1
α
( f 
L
2
(Ω)
+k  w 
H
1
0
(Ω)
).
Do đó
 u 
H
1
0
(Ω)
≤ z 
H
1

H
1/2
(∂Ω)
.
Kết hợp các điều trên ta suy ra
 u 
H
1
0
(Ω)
≤ C
1
 f 
L
2
(Ω)
+C
2
 ϕ 
H
1/2
(∂Ω)
.
1.3 Phương pháp biến phân xây dựng gần đúng
nghiệm yếu
Nghiệm yếu được xác định bởi bài toán sau: Tìm u ∈ V sao cho
B(u, v) = F (v), ∀v ∈ V (1.15)
trong đó V là không gian Hilbert đầy đủ, B là dạng song tuyến tính đối
xứng, xác định dương và liên tục, F là dạng tuyến tính liên tục.
Định lí 1.10. u là nghiệm của bài toán (1.15) khi và chỉ khi u là nghiệm

Suy ra
dJ
dt
= 2tB(u, u) + 2(B(u, v) −F (v))
dJ
dt


t=0
= 2(B(u, v) − F (v)) = 0
⇐⇒ B(u, v) = F (v), ∀v ∈ V
Nhận xét 1.4. Định lí 1.10 cho phép đưa việc tìm nghiệm yếu của bài
toán: Tìm u ∈ V sao cho B(u, v) = F (v), ∀v ∈ V
về bài toán
J(v) = B(v, v) − 2F (v) −→ min
• Phương pháp xây dựng nghiệm gần đúng của (1.16)
Giả sử e
1
, e
2
, , e
n
, là một hệ cơ sở của không gian V. Kí hiệu V
n
là
không gian con với cơ sở e
1
, e
2
, , e

tuyến tính.
B(v
n
, e
k
) = F (e
k
), ∀k = 1, 2, , n
hay



B(e
1
, e
1
)α
(n)
1
+ B(e
2
, e
1
)α
(n)
2
+ + B(e
n
, e
1

)
(1.17)
Hệ này có nghiệm duy nhất vì det(B(e
i
, e
j
))
n×n
= 0.
Ta sẽ chứng tỏ rằng hệ này thu được từ điều kiện
B

u −
n

i=1
b
i
e
i
; u −
n

i=1
b
i
e
i

−→ min (1.18)

n

i=1
n

j=1
b
i
b
j
B(e
i
, e
j
)
=
n

i=1
n

j=1
b
i
b
j
B(e
i
, e
j

(n)
i
e
i

V
< ε
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Do
γ  u −

α
(n)
i
e
i

2
≤ B

u −

α
(n)
i
e
i
; u −


(n)
i
e
i
 ≤

k
γ
.ε
Định lí 1.11. lim
n→∞
u−
n

i=1
α
(n)
i
e
i
 = 0 tức là dãy các nghiệm của bài toán
cực trị trong V
n
hội tụ đến nghiệm u là nghiệm yếu của bài toán (1.15).
Nhận xét 1.5.
1. Nếu hệ e
i
là B trực chuẩn tức là B(e
i
, e

α
i
e
i
(x)
trong đó {e
k
}
∞
1
là hệ trực chuẩn theo nghĩa tích vô hướng trong V.
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chương 2
Phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt
(BAMs) đối với bài toán biên có
biên kì dị
2.1 Cơ sở của phương pháp
Xét bài toán sau









∆u = 0, trong Ω,
u = g

1
∗
(Ω) thoả mãn phương
trình tích phân

Ω
u v ds +

Γ
2
quv dl =

Γ
2
g
2
v dl, ∀v ∈ H
1
0
(Ω), (2.2)
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên