Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
A(x) = f,
A : X −→ X
∗
X X
∗
X
H
x
h,δ
α
F
h,δ
α
(x) = A
h
(x) − f
δ

2
+ αx − x
∗

2
α > 0 h δ x
∗
(A
h

α = α(δ)
A
h
≡ A
ρ(α) =
˜
Kδ
p
, 0 < p < 1,
˜
K ≥ 1,
ρ(α) = αx
δ
α

α = α(δ)
ρ(α) = δ
p
α
−q
, 0 < p ≤ q
A
h
≡ A
A : X → X
A
h
(x) + αx = f
δ
,

∗
A
D(A) A
R(A) A
x
k
→ x {x
k
} x
x
k
 x {x
k
} x
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
X A : X → X
∗
D(A) = X R(A) X
∗
A
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
(1.1)
x = y
δ(t) t ≥ 0, δ(0) = 0
A(x) − A(y), x − y ≥ δ

x − y

, ∀x, y ∈ D(A);



xy
(x
2
+ y
2
)
(x, y) = (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
h
A
lim
||x||→+∞

A(x), x

||x||
= +∞, ∀x ∈ X.
X
X X
(x
n
 x) (x
n
 → x)
(x
n
− x → 0)
s ≥ 2 J

∗
J : X → X
∗
d
X J
Gr(A)
A X × X
∗
Gr(A) = {(x, A(x)) : x ∈ X}.
A
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x
∗
∈ A(x), y
∗
∈ A(y).
Gr(A)
Gr(A)
X × X
∗
A
A : X → X
∗
g − f, y − x
0
 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A),
x

∗
∈ X
∗
: F (x) − F (y) ≤ x − y, x
∗
, ∀y ∈ X

, ∀x ∈ X,
x
∗
∈ X
∗
F x ∂F (x)
F x
X X
∗
X F : X → R
X ∂F
X X
∗
A A + λJ
X
∗
X X
∗
J : X → X
∗
X A : X → X
∗
A

A(x) = f f ∈ X
∗
A
x
α
∈ D(A)
y
α
+ αJx
α
= f, y
α
∈ A(x
α
).
fx
α
 ≥ f, x
α
 = y
α
, x
α
 + αx
α

2
≥ y
α
, x

) − y, x
α
− x ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Gr(A)
α → 0
f − y, ¯x − x ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Gr(A).
A
f ∈ A(¯x)
✷
S
0
A : X −→ X
∗
S
0
X.
f
1
, f
2
∈ A(x) A
f
1
− g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A),
f
2
− g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A).
f = tf
1
+ (1 − t)f
2

X X
∗
X, f ∈ X
∗
A : X −→ X
∗
h
x
0
∈ X
A(x) − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X
x
0
A(x) = f
A X
A(x
0
) − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
x
0
A(x) = f
A(x
0
) = f z = 0
A(x
0

0
− tz) − x
0
 ≥ 0.
A(x
0
− tz) − Ax
0
, −tz + A(x
0
) − f, −tz ≥ 0.
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
A(x
0
− tz) − A(x
0
), −z ≥ A(x
0
) − f, z.



A(x
0
− tz) − A(x
0
), z



0
) − f, x − x
0
.
t ∈ (0, 1)
A[(1 − t)x
0
+ tx] − f, (1 − t)x
0
+ tx − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X,
tA[(1 − t)x
0
+ tx] − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
t t → 0
h A
✷
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
X X
∗
X X X
∗
A : D(A) = X → X
A
J(x − y), A(x) − A(y) ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
x = y;

1
∈ A(x
1
), y
2
∈ A(x
2
).
A : X −→ X
A
λ > 0 ∀x
1
, x
2
∈ D(A)
||x
1
− x
2
|| ≤ ||x
1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))||.
i) ⇒ ii) A λ > 0, ∀x
1

) − A(x
2
)
≥ ||x
1
− x
2
||
2
.
J
ii) ⇒ i) ||x||
2
||x
1
− x
2
||
2
≥ ||x
1
− x
2
+ λ(A(x
1
) − A(x
2
))||
2
− 2λJ(x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
A
A
⇒ λ > 0, ∀x
1
, x
2
∈ D(A)
||(x
1
− x
2
) + λ(A(x
1
) − A(x
2
))||
2
= ||x
1
− x
2
||
2
+ 2λA(x
1
) − A(x
2
), x
1

))||
2
≥ ||x
1
− x
2
||
2
, ∀x
1
, x
2
∈ D(A).
A
⇒ A
2λA(x
1
) − A(x
2
), x
1
− x
2
 + λ
2
||A(x
1
) − A(x
2
)||

✷
A : X −→ X h
D(A) = X A
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
J : X −→ X
∗
x
n
⊂ D(J) x
n
 x
0
J(x
n
)  J(x
0
)
X
X X
X
n
n P
n
: X −→
X
n
X X
n
X P

∗
n
 = P
n
 = 1
P
∗
n
J(x) ≤ P
∗
n
.J(x) = J(x) = x.
(1.15) x
2
≤ P
∗
n
J(x)x x ≤ P
∗
n
J(x)
(1.16) x = P
∗
n
J(x) J P
∗
n
J
X P
∗

(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε) ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ε
x
i
= R(f
i
), x
i
∈ X, f
i
∈ Y, i = 1, 2.
f f
δ
f
δ
− f ≤ δ x
δ
f f
δ
δ → 0 f
δ

1 1 1 1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1 1 1 1.0001


















f =

8 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001

T
∈ R
8
.
x =


1 1.0001 1 1 1 1 1 1
1 1 1.0001 1 1 1 1 1
1 1 1 1.0001 1 1 1 1
1 1 1 1 1.0001 1 1 1
1 1 1 1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1 1 1 1


















f = f
δ1
=

8 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8

1 1 1 1 1.0001 1 1 1
1 1 1 1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1 1 1 1


















f = f
δ2
=

8 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001

T
,

∗
A
S
0
S
0
X
A
h
(x) + αJ
s
(x − x
∗
) = f
δ
,
(A
h
, f
δ
) (A, f)
f − f
δ
 ≤ δ, δ → 0,
A
h
(x) − A(x) ≤ hg(x), h → 0,
g(t) A
h
h

: X → X
∗
X
(2.5) f
δ
∈ X
∗
δ > 0 (2.3) (2.4)
α > 0 (2.2) x
τ
α
τ = (h, δ)
h + δ
α
→ 0 α → 0,
{x
τ
α
} x
0
∈ S
0
x
0
− x
∗
 = min
x∈S
0
x − x

(x), x − θ

=

A(x) − A(θ), x − θ

+

A(θ), x − θ

+ α

J
s
(x), x − θ

.
A

A(x) − A(θ), x − θ

≥ 0, ∀x ∈ X.
X
α

J
s
(x), x − θ

= α

s−1
− A(θ).
s ≥ 2
lim
x→+∞

(A + αJ
s
)(x), x

x
= +∞.
A + αJ
s
A J
s
(A + αJ
s
)(x) − (A + αJ
s
)(y), x − y
= A(x) − A(y), x − y + αJ
s
(x) − J
s
(y), x − y
≥ αm
J
x − y
s

α
) − A(x) + f − f
δ
, x
τ
α
− x
+ αJ
s
(x
τ
α
− x
∗
) − J
s
(x − x
∗
), x
τ
α
− x
= αJ
s
(x − x
∗
), x − x
τ
α
, ∀x ∈ S

0
− f
δ
, x − x
τ
α
.
Phương trình với Toán tử loại đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn