Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC


TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ
NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán ứng dụng
Mã số : 60 46 36


x ∈ X
A ϕ
x
τ
α
∈ X
A
h
(x
τ
α
) + αU
s
(x
τ
α
− x
∗
) − f
δ
, x − x
τ
α

+ ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(x
τ

A
T
A
a ∼ b a b
A
∗
A
D(A) A
R(A) A
x
k
→ x {x
k
} x
x
k
 x {x
k
} x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X X
∗
X
D ⊂ X x, y ∈ D
λ ∈ [0, 1]
λx + (1 − λ)y ∈ D.
D ⊂ X ϕ : D → R ∪ {±∞}.
ϕ
D ∀x, y ∈ D ∀λ ∈ [0, 1]
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 −λ)ϕ(y);

).
ϕ x
0
∈ domϕ
{x
n
} ⊂ domϕ x
n
 x
0
ϕ(x
0
) ≤ lim
n→∞
inf ϕ(x
n
).
ϕ X
ϕ x ∈ X.
ϕ : X → R ∪{+∞} ϕ
ϕ X. x
∗
∈ X
∗
ϕ x ∈ X
ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x
∗
, x − y, ∀y ∈ X.
ϕ x ϕ
x, ∂ϕ(x),

x ∈ X, A : X → X
∗
ϕ(x + y) −ϕ(x) = A(x), y+ w(x, y)
lim
y→0
w(x, y)
y
= 0,
x + y ∈ X. A(x), y
A(x) = ϕ

(x) ϕ x.
ϕ x ∈ X
X
F : X → R ∪ {±∞}
A
F
F (x) ≥ F (x
0
) + A(x
0
), x − x
0
, ∀x, x
0
∈ X.
X
F : X → R ∪ {±∞}
A x
0

A
A(x) − A(y), x −y ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
x = y A(x) − A(y), x −y > 0, ∀x, y ∈ X;
τ > 0
A(x) − A(y), x −y ≥ τx −y
2
, ∀x, y ∈ X.
A R
2
x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
A(x) =


0 1
−1 0




x
1
x
2



, −x
1
+ y
1
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A(x) −A(y), x −y = (x
2
−y
2
)(x
1
−y
1
) + (−x
1
+ y
1
)(x
2
−y
2
) = 0.
A
X D ⊆ X
A : X → X
∗
A
x
0

0
∈ D x
n
→ x
0
Ax
n
 Ax
0
{x
n
} ⊂ D
x
n
 x
0
Ax
n
→ Ax
0
;
C
A(x) − A(y) ≤ Cx − y, ∀x, y ∈ X;
D D.
A D
D.
A : X → X
∗
A x ∈ X
A

A(x
0
) − f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
S x
0
x
0
∈ S
S
∗
ϕ X
A : X → X
∗
ϕ : X → R ∪ {+∞}
X (1.1)
x
0
∈ X
f − A(x
0
) ∈ ∂ϕ(x
0
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A(x
0

0
min
x∈X
{F (x) + ϕ(x)};
A(x
0
), x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X
A(x), x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X
ϕ
x
0
∈ X
f

(x
0
) = 0,
f(x) = F (x) + ϕ(x)
F
1
= F + ϕ.
(i) ⇔ (ii) x

) + ϕ(x
0
) ≤ F

(1 − λ)x
0
+ λx
1

+ ϕ

(1 − λ)x
0
+ λx
1

.
ϕ
ϕ

(1 − λ)x
0
+ λx
1

≤ (1 − λ)ϕ(x
0
) + λϕ(x
1
),


+ ϕ(x
1
) − ϕ(x
0
) ≥ 0.
λ → 0, F A
A(x
0
), x
1
− x
0
 + ϕ(x
1
) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x
1
∈ X.
x
0
(ii) F
A
F (x) ≥ F (x
0
) + A(x
0
), x − x
0

1
(x), x
0
∈ min
x∈X
{F (x) + ϕ(x)}.
(ii) ⇔ (iii) A
A(x) − A(x
0
), x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(ii)
A(x), x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
x = (1 −λ)x
0
+ λx
1
, x
1
∈ X, λ ∈ (0, 1).
A(x), x − x
0
 = A((1 − λ)x
0

− x
0
 + ϕ((1 − λ)x
0
+ λx
1
) − ϕ(x
0
) ≥ 0.
ϕ
λA

(1 − λ)x
0
+ λx
1

, x
1
− x
0
 + λϕ(x
1
) − λϕ(x
0
) ≥ 0.
λ λ → 0 ii) x
1
x.
ϕ x

) i
x
i
i
f
i
(x) = x
i
p

n

i=1
x
i

− ϕ
i
(x
i
), i = 1, , n.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
i
≥ 0 i = 1, , n
x
i
β
i
∈ (0, +∞]

j = i
j = 1, , n x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗
n
) x
∗
i
max
0≤x
i
≤β
i
{x
i
p(x
i
+ σ
∗
i
) − ϕ
i
(x
i
)},
σ

i
, K
i
= {t ∈ R : 0 ≤ t ≤ β
i
}, i = 1, , n.
x
∗
∈ K
A(x
∗
), x − x
∗
 +
n

i=1

ϕ
i
(x
i
) − ϕ
i
(x
∗
i
)

≥ 0, ∀x ∈ K.

0
 ≥ A(x
0
)−f, x−x
0
 ≥ ϕ(x
0
)−ϕ(x), ∀x ∈ X, x
0
∈ X.
x = x
t
= tx
0
+ (1 −t)z t ∈ [0, 1] z
X
(1 − t)A(x
t
) − f, z −x
0
 + ϕ(tx
0
+ (1 − t)z) −ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀z ∈ X.
ϕ
(1 − t)A(x
t
) − f, z −x
0

2
S, z = tx
1
+ (1 − t)x
2
,
t ∈ [0, 1] z ∈ S.
A(x) − f, x − x
1
 + ϕ(x) − ϕ(x
1
) ≥ 0, ∀x ∈ X
A(x) − f, x − x
2
 + ϕ(x) − ϕ(x
2
) ≥ 0, ∀x ∈ X.
t 1 −t, t ∈ [0, 1]
A(x) − f, x − z+ ϕ(x) −

tϕ(x
1
) + (1 − t)ϕ(x
2
)

≥ 0, ∀x ∈ X.
ϕ
ϕ(z) ≤ tϕ(x
1

0
∈ S, S
(ii) x
0
, y
0
∈ S
∗
x
0
 = min
x∈S
x
y
0
 = min
x∈S
x.
λ ∈ [0, 1], z = λx
0
+ (1 − λ)y
0
z = λx
0
+ (1 − λ)y
0

≤ λx
0
 + (1 − λ)y

x.
z ∈ S
∗
S
∗
{x
n
} ⊂ S
∗
⊂ S x
n
→ x
0
, S x
0
∈ S.
x
n
 = min
x∈S
x,
lim
n→∞
x
n
 = x
0
 = min
x∈S
x

∗
X
X X
∗
f ∈ X
∗
x
0
∈ X
A(x
0
) − f, x − x
0
 + ϕ(x) − ϕ(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ X,
A : D(A) ≡ X → X
∗
h
ϕ : D(ϕ) ≡ X → R
X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
0
(A, f, ϕ)
S (A, f, ϕ)
(A
h
, f
δ

(x) ≥ −c
ε
x x > R
ε
|ϕ
ε
(x) − ϕ(x)| ≤ εd(x), ∀x ∈ X, ε → 0,
d(t) g(t)
|ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(y)| ≤ C
0
x − y, ∀x, y ∈ X, C
0
> 0.
x
0
∈ X
x
τ
α
∈ X
A
h
(x
τ
α
) + αU

, U
s
(x) = x
s−1
, s ≥ 2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α
X
∗
U : X → X
∗
d
X U
(2.4)
x
ε
∈ domϕ
ε
. A
h
A
h
(x
τ
α
) + αU
s
(x
τ
α

 − x
∗
− x
ε


− A
h
(x
ε
)

1 +
x
ε

x
τ
α


− c

,
x
τ
α
 > R
ε
.


+ ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(x
1
) ≥ 0, ∀x ∈ X;

A
h
(x
2
) + αU
s
(x
2
− x
∗
) − f
δ
, x − x
2

+ ϕ
ε
(x) − ϕ
ε
(x
2

), x
2
−x
1
 ≥ 0.
A
h
U
s
,
x
1
= x
2
.
✷
x
τ
α
. x
0
x
∗
x
0
− x
∗
 = min
x∈S
x − x

α→0
δ + h + ε
α
= 0.
{x
τ
α
} (2.1)
x
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S = ∅ x
0
∈ S x = x
τ
α
x = x
0
A
h
(x
τ
α
) + αU
s
(x
τ
α
− x
∗

αU
s
(x
τ
α
− x
0
), x
τ
α
− x
0
 ≤ αU
s
(x
0
− x
∗
), x
0
− x
τ
α

+ A
h
(x
τ
α
) − A

τ
α
) − ϕ
ε
(x
τ
α
).
A U
s
m
s
x
τ
α
− x
0

s
≤ U
s
(x
τ
α
− x
∗
) − U
s
(x
0

α

+
ε
α
[d(x
0
) + d(x
τ
α
)].
{x
τ
α
} α → 0 x
τ
α
 x ∈ X
A
h
A
h
(x) + αU
s
(x − x
∗
) − f
δ
, x − x
τ

2
ε
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên