01699257507 Phương trình lượng giác không mẫu mực

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa
1

Chuyên ñề: Phương trình lượng giác không mẫu mực

ðể giải phương trình lượng giác không mẫu mực, ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác, ñưa
phương trình ñã cho về những dạng phương trình ñã biết. Khi thực hiện các phép biến ñổi cần chú ý một số
nguyên tắc sau
1. ðưa về cùng một hàm số lượng giác: Trong một phương trình nếu các hàm số lượng giác có mặt
trong phương trình có thể cùng biểu diễn qua ñược một hàm số lượng giác thì ta ñưa phương trình ñã cho
về hàm chung ñó rồi sử sụng phương pháp ñặt ẩn phụ ñể chuyển về phương trình ñại số.

Ví dụ 1: Giải phương trình :
+ − − =
cos 3x cos 2x cos x 1 0
( ðH Khối D – 2006 ).
Ta thấy các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình ñều biểu diễn ñược qua cosx. Do ñó ta chuyển
phương trình ñã cho về phương trình chỉ chứa hàm số cosx.
⇔ − + − − − = ⇔ + − − =
3 2 3 2
PT 4 cos x 3 cos x (2 cos x 1) cos x 1 0 2 cos x cos x 2 cos x
1 0

ðặt
t cos x, t 1
= ≤
. Ta có:

= ±

.
Ta chuyển phương trình về phương trình chỉ chứa
cos 2x

PT
⇔ − − + + + + ⇔ − + =
2 3 2
3(2 cos 2x 1) (1 cos 2x) 1 cos 2x 3 cos 2x(cos 2x 3 cos
2x 2) 0

cos 2x 0
x k
4 2
cos 2x 1
x k

π π

=
= +

⇔ ⇔


=

= π




sin(x ) sin (x ) 2 sin(x ) cos x
2 2 2
 
π π π
− = + − π = + =
 
 

( )
7 1
sin( x) sin 2 (x ) sin(x ) sin x cos x
4 4 4
2
 
π π π
− = π − + = − + = − +
 
 

PT
1 1
2 2(sin x cos x) (sin x cos x)( 2 sin 2x 1) 0
sin x cos x
⇔ + = − + ⇔ + + =

01699257507 Phương trình lượng giác không mẫu mực

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa
2


+ + = +
(ðH Khối D – 2008 ).
Ta chuyển cung 2x về cung x.
PT
⇔ + = + ⇔ + = +
2
4 sin x cos x 2 sin x cos x 1 2 cos x 2 sin x cos x(2 cos x 1
) 2 cos x 1


π
= + π

⇔ + − = ⇔

π

= ± + π


x k
4
(2 cos x 1)(sin 2x 1) 0
2
x k2
3
.
3. Biến ñổi tích thành tổng và ngược lại: Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác
sn và cos thì ta có thể biến ñổi thành tổng (múc ñích là tạo ra những dại lượng giống nhau ñể thực hiện
các phép rút gọn). Nếu xuất hiện tổng thì ta biến ñổi về tích (Mục ñích làm xuất hiện thừa số chung ), ñặc

+ + = + +
sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x
.
PT
⇔ + + = + +
(sin x sin 3x) sin 2x (cos x cos 3x) cos 2x

⇔ + = + ⇔ + − =
2 sin 2x cos x sin 2x 2 cos 2x cos x cos 2x (2 cos x 1)(s
in 2x cos 2x) 0


π

= ± + π

= −

⇔ ⇔


π π

=
= +




2


=
⇔ = ⇔ ⇔


= π π



= =


x k
cos x 0
2
2 cos 7x cos x 2 cos11x cos x
cos11x cos 7x
x k ; x k
2 9
.
Ví dụ 8: Giải phương trình :
− =
2 2
cos 3x cos 2x cos x 0
( ðH Khối A – 2005 ).
PT
⇔ + − − = ⇔ − =
(1 cos 6x) cos 2x 1 cos 2x 0 cos 6x. cos 2x 1 0
(1)
01699257507 Phương trình lượng giác không mẫu mực

sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin và cos và lúc ñó chúng ta dễ dàng tìm ñược lời giải hơn. Chú ý khi gặp
phương trình chứa tan hay cot, ta nhớ ñặt ñiệu kiện cho phương trình !
Ví dụ 9: Giải phương trình :
(
)
− = −
2
5 sin x 2 3 1 sin x tan x

(ðH Khối B – 2004 )
.
ðiều kiện :
π
≠ ⇔ ≠ + π
cos x 0 x k
2

PT
⇔ − = − ⇔ − = −
−
2 2
2 2
sin x sin x
5 sin x 2 3(1 sin x) 5 sin x 2 3(1 sin x)
cos x 1 sin x

⇔ − = ⇔ − + = ⇔ + − =
+
2
2 2

 
 
2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
(ðH Khối D – 2003 ).
ðiều kiện :
π
≠ ⇔ ≠ + π
cos x 0 x k
2
.
PT
 
π
⇔ − − − + = ⇔ − − + =
 
− 
2 2
2 2
sin x sin x
1 cos(x ) (1 cos x) 0 (1 sin x) (1 cos x) 0
2
cos x 1 sin x

⇔ − + = ⇔ − − + + =
+
2
2

ña thức ñối với một hàm số lượng giác)
Ví dụ 1: Giải phương trình :
1 3 tan x 2 sin 2x
+ =
(ðH Công ðoàn – 2000).
01699257507 Phương trình lượng giác không mẫu mực

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa
4

Giải: ðiều kiện :
cos x 0 x k
2
π
≠ ⇔ ≠ + π

PT
2
sin x
1 3 4 sin x cos x cos x 3 sin x 4 sin x cos x
cos x
⇔ + = ⇔ + =
. ðây là phương trình ñẳng cấp bậc ba
nên ta chia hai vế của phương trình cho
3
cos x
(do
cos x 0
≠
), ta ñược phương trình :

( ðH Khối B – 2003 ).
Giải: ðiều kiện:
sin 2x 0 x k
2
π
≠ ⇔ ≠

PT
2 2
cos x sin x 1
4 sin 2x cos x sin x 4 sin 2x.sin x cos x 1
sin x cos x sin x cos x
⇔ − + = ⇔ − + =

2 2
1
cos 2x 2 sin 2x 1 0 2 cos 2x cos 2x 1 0 cos2x
2
⇔ + − = ⇔ − − = ⇔ = −
(do
sin 2x 0 cos2x 1
≠ ⇔ ≠ ±
)
x k
3
π
⇔ = ± + π
.
Chú ý : Ta cần lưu ý ñến công thức:
2

x arcsin k
2 3
1 2
x arcsin k
2 2 3

= + π

⇔

π

= − + π


.
Chú ý : Ta cần lưu ý ñến công thức
4 4 2
1 3 1
sin x cos x 1 sin 2x cos 4x
2 4 4
+ = − = +
.
01699257507 Phương trình lượng giác không mẫu mực

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa
5

6 6 2
3 5 3

 

Nên pt
(
)
2 2 2
1 1 3
1 sin 2x 2 sin 2x sin 2x 1 0 sin 2x sin 2x 2 0
2 2 2
⇔ − + + − − = ⇔ + − =

sin 2x 1 x k
4
π
⇔ = ⇔ = + π
.
2. ðưa phương trình về phương trình dạng tích : Tức là ta biến ñổi phương trình
f(x) 0
=
về dạng

h(x).g(x) 0
=
. Khi ñó việc giải phương trình ban ñầu ñược quy về giải hai phương trình :
g(x) 0
h(x) 0

=

=

−
;
cos 2x
;
1 tan x
−
;
1 cot x
−
có thừa số chung là
cos x sin x
−
.

2 2
sin x; tan x
có thừa số
(1 cos x)(1 cos x)
− +
. Tương tự
2 2
cos x; cot x
có thừa số
(1 sin x)(1 sin x)
− +
.

Ví dụ 1: Giải phương trình:
1+ sin x cos x sin 2x cos 2x 0
+ + + =


π
= −

= ± + π




.
Nhận xét: Ngoài cách biến ñổi trên, ta có thể biến ñổi cách khác như sau
PT
2
2 cos cos x sin x 2 sin x cos x 0 cos x(2 cos 1) sin x(2 c
os x 1) 0
⇔ + + + = ⇔ + + + =

(2 cos x 1)(sin x cos x) 0
⇔ + + =
. Mặc dù hai cách biến ñổi trên khác nhau nhưng chúng ñều dựa trên
nguyên tắc ”ñưa về một cung”.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
cos x(cos x 1)
2(1 sin x)
sin x cos x
−
= +
+
(Dự bị Khối D – 2003 ).


⇔ ⇔


= −

= π + π



.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2 2
3 cot x 2 2 sin x (2 3 2) cos x
+ = +
.
Giải: ðk:
x k
≠ π

PT
2
2
2
3 cos x
2 2 sin x (2 3 2) cos x
sin x
⇔ + = + .
2 2 4 2
3 cos x 3 2 sin x.cos x 2 2 sin x 2 sin x cos x 0

−
=

= ± + π


⇔ ⇔
 π

= ± + π
=




.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 sin 2x cos 2x 7 sin x 2 cos x 4
− = + −
.
Giải:
PT
2
4 sin x cos x 1 2 sin x 7 sin x 2 cos x 4 0
⇔ − + − − + =

2 cos x(2 sin x 1) (2 sin x 1)(sin x 3) 0 (2 sin x 1)(2 c
os x sin x 3) 0
⇔ − + − − = ⇔ − + − =


| a sin x b cos x | a b 2 cos x sin x 5 3
+ ≤ + ⇒ + ≤ <
).
Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân ñôi, ta cần lưu ý là
cos 2x
có ba công thức ñể thay nên tuy từng
phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp.