Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
3
Ch-ơng I: chuỗi số - dãy hàm - chuỗi hàm

Chuỗi số

1
Các định nghĩa

- Cho dãy số
12
, , , ,
n
a a a
Tổng vô hạn
12
1

nn
n
a a a a




(*) đ-ợc gọi là một
chuỗi số.





và gọi
S
là tổng của chuỗi.
- Nếu
lim
n
n
SS


là một số hữu hạn thì chuỗi gọi là hội tụ.
- Nếu
lim
n
n
S


hoặc không tồn tại thì chuỗi gọi là phân kỳ.
- Tổng của chuỗi nếu có là duy nhất do giới hạn của dãy

n
S
nếu có là duy nhất.
- Ví dụ 1: Chuỗi
1

Sn

Khi
1a
thì
lim 0
n
n
a


do đó
lim
1
n
n
a
S
a



Vậy chuỗi hội tụ và có
1
1
n
n
a
a
a

n
S

nên chuỗi phân kỳ.
- Ví dụ 2:
a/. Chuỗi
1
21
n
n
n




là phân kỳ vì
1
lim
2 1 2
n
n
n




b/. Chuỗi
1
1
n


gọi là chuỗi d-ơng nếu
0
n
an

- Chuỗi có dạng

1
1
4321


n
n
aaaaa
trong đó
0
n
a
hoặc
0
n
a
với mọi
n

gọi là chuỗi đan dấu.
- Chuỗi


s s a


do đó
Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
4

n
s
là dãy tăng.
2
Các định lý, tính chất

- Định lý 1: Chuỗi (*) hội tụ khi và chỉ khi
12
0; : ,
n n n p
M n M p N a a a




Hệ quả 1: (Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi (*) hội tụ thì
lim 0
n
n

n
ab




;
1
n
n
a




cùng hội tụ và

1
nn
n
a b S T




;
1
n
n
aS

nn
ta có
.
nn
a cb
thì chuỗi (b) hội tụ kéo theo chuỗi (a) hội tụ; chuỗi (a) phân kỳ kéo
theo chuỗi (b) phân kỳ.
- Định lý 5: Cho hai chuỗi d-ơng (a):
1
n
n
a



và (b):
1
n
n
b



Giả sử
lim
n
n
n
a
k


- Định lý 7: ( Dấu hiệu D'Alembert ) Cho chuỗi d-ơng (a):
1
n
n
a



Nếu tồn tại
1
lim
n
n
n
a
D
a



thì
chuỗi (a) hội tụ với
1D
; phân kỳ với
1D

- Định lý 8: ( Dấu hiệu tích phân ) Cho

xf





n
n
n
n
aa
Khi đó nếu
naa
nn

1
và
0lim
n
a
thì chuỗi hội tụ.
- Định lý 10: Một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.
- Định lý 11: Nếu chuỗi


1n
n
a
hội tụ và có tổng là
s
thì chuỗi


n
b
nhận đ-ợc bằng cách
đổi chỗ tuỳ ý các số hạng của chuỗi (a) cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng tổng của chuỗi
(a).
* Chú ý: Định lý 12 chỉ đúng với các chuỗi hội tụ tuyệt đối. Một chuỗi bán hội tụ cũng có thể
đổi chỗ các số hạng để nó trở thành hội tụ đến một tổng
s
tuỳ ý.
- Định lý 13: ( Định lý Riemann ) Giả sử


1n
n
a
là chuỗi bán hội tụ. Khi đó:
a/. Với
Rs
tuỳ ý, tồn tại một cách đổi chỗ

các số hạng của chuỗi sao cho

sa
n
n



1


11
1
2
n
s
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2
1.2 2.3 1 . 2 2 3 1n n n n n






Vì dãy tổng riêng bị chặn nên chuỗi hội tụ theo Định lý 3.
- Ví dụ 2:
Chuỗi
1
21
32
n
n
n
n



phân kỳ. Hàm số

1
ln
fx
xx




; 2,x
là d-ơng,
giảm và





2
2
lnlnlim
ln
x
xx
dx
nên chuỗi đã cho phân kỳ.
- Ví dụ 4: Chuỗi


1




e
n
n
n
a
a
n
n
n
n
Do đó chuỗi đã
cho hội tụ theo dấu hiệu D'Alembert.
- Ví dụ 5: Chuỗi






1
ln
1
n
n
nn
có hàm


ln

n
n

Tức là

nn ln
Vậy dãy
0
ln
1







nnn
và chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu
Leibnitz.
- Ví dụ 6: Chuỗi


1
2
cos
n
n

Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
6
Vậy


1
2
cos
n
n
n
là hội tụ tuyệt đối.
4
Bài tập

- Bài 1: Xuất phát từ định nghĩa, chứng minh sự hội tụ của các chuỗi
a/.





1
1212
1
n
nn
b/.




1
11
1
n
nn
b/.


1
2
sin
n
n
- Bài 4: Tính tổng


1
2
3
2
cos
n
n
n





- Bài 6:Dùng tiêu chuẩn Côsi để khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a/.
1
sin
3
k
k
kx



b/.
1
1
k
k




c/.
1
cos
2
k

a c b
thì
1
k
k
c



hội tụ. Còn nếu
11
;
kk
kk
ab



là hai chuỗi phân kỳ thì có thể kết luận đ-ợc gì không?

- Bài 8: Khảo sát các chuỗi sau

a/.
3
4
1
21
32
k
k





d/.
1
ln
k
k
k


Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
7
dãy hàm - chuỗi hàm

1
Sự hội tụ và hội tụ đều của dãy hàm
a
Các khái niệm cơ bản

- Nếu với mọi
Nn


0
xu
n
hội tụ.
- Tập
0
X
gồm tất cả các điểm hội tụ của dãy hàm gọi là miền hội tụ của dãy hàm đó.
- Với mỗi
0
Xx
đặt

xuxu
n
lim
khi đó ta đ-ợc một hàm

xu
xác định trên
0
X
khi đó
ta nói

1
xu
n
hội tụ đến

1x
Do đó
miền hội tụ của dãy là


1;1
và giới hạn của dãy là





11
1;10
x
x
xu

- Dãy hàm

xu
n
hội tụ đến hàm

xu
trên tập
X


xu
theo nghĩa trên gọi là hội tụ th-ờng hay còn gọi là hội tụ theo điểm
trên tập
X

- Dãy hàm

xu
n
gọi là hội tụ đều đến hàm

xu
trên tập
X
nếu
,0

NN
sao
cho
Nn
và
Xx
đều có



Ký hiệu:

n
u x u x
trên
X

- Ví dụ:
a/. Dãy
sin x
n



Ta có
sin
lim 0
x
x
xR
n


Do đó
sin
0
x
n

trên


0 0;1
11
x
ux
x








thì ta có

n
n
u x x u x
trên

0;1
Với
0
1
2


thì mọi số tự nhiên
n

1
2
n
u x u x

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
8
Tức là

n
ux
không hội tụ đều đến

ux

* Trong ví dụ này ta thấy

n
ux
liên tục trên

0;1
tuy nhiên giới hạn của nó không liên tục
trên

0;1

liên tục trên
X
.
- Định lý 2: (Tính khả tích của dãy hàm) Cho dãy

xu
n
các hàm liên tục trên

;ab
;

n
u x u x
trên

;ab
Khi đó

ux
khả tích trên

;ab
và

lim
bb
n
x
aa

ux
có đạo hàm và

,
'
n
u x u x
trên

;ab
.
2
Sự hội tụ đều của chuỗi hàm
a
Một số khái niệm

- Cho dãy hàm

xu
n
xác định trên tập
X
Khi đó ta gọi tổng vô hạn

12
1

nn
n
u x u x u x u x

của
nó hội tụ hay phân kỳ.
- Nếu
0
X
là miền hội tụ của dãy n
Sx
thì ta cũng gọi
0
X
là miền hội tụ của chuỗi (*)
- Nếu

n
S x u x
trên
0
X
thì ta viết

0
1
;
n
n
u x u x x X


thì

1
1
1
n
n
x
Sx
x





Nếu
1x
thì
lim 0
n
n
x


nên

1
1
1
1;1

cũng có các
tính chất đó.
- Định lý 1':
Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
9
Cho
XR
mà thông th-ờng

;X a b
hoặc

;ab
. Nếu chuỗi

1
n
n
ux



các hàm liên tục
trên
X
, hội tụ đều và có tổng

n
aa
u x dx u x dx






- Định lý 3': Cho chuỗi

1
n
n
ux



các hàm có đạo hàm

,
n
ux
liên tục trên

;ab
. Nếu chuỗi

1
n

,,
1
nn
n
u x u x





- Chuỗi hàm

1
n
n
ux



gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

1
n
n
ux



hội tụ.
* Chú ý: Một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ, ng-ợc lại ch-a chắc đúng.

n
x
fx
n




Ta có
33
sin 1x
nn

và
3
1
1
n
n



hội tụ, do đó theo định lý 4,
chuỗi
3
1
sin
n
x
n


- Bài 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1
1
n
n
n
x
x



- Bài 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1
2
n
n
n
x
x tg


- Bài 4: Cho dãy hàm số


1
x
k
k




Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
10
c/. 1
1
k
p
k
xk





d/.
2

11
00
lim lim
kk
kk
S x dx S x dx


b/. Dãy

1
k
k
S x kx x
hội tụ không đều trên

0,1
tuy nhên

11
00
lim lim
kk
kk
S x dx S x dx



không tồn tại.

- Bài 7: ( Bài tập của phần sau ) Tìm miền hội tụ của chuỗi sau

1
41
k
k
k
k
x
k







* Định lý: Cho chuỗi luỹ thừa
0
k
k
k
ax



; Giả sử
lim

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
11
Chuỗi luỹ thừa - bài tập

1
Định nghĩa - Bán kính hội tụ

- Chuỗi hàm có dạng
0
n
n
n
ax



(*) trong đó
0 1 2
, , , a a a
là các hằng số, hay tổng quát hơn

0
0

0
n
n
n
ax



hội tụ. Số
R
gọi là bán kính của chuỗi (*)
0R
thì chuỗi chỉ hội tụ tại một điểm duy nhất
0x

R
thì chuỗi hội tụ tại mọi
xR
.
- Định nghĩa: Số
R
là bán kính hội tụ của chuỗi nếu mọi
x
mà
xR
thì chuỗi hội tụ,
xR
thì chuỗi phân kỳ.
- Định lý 6: Cho chuỗi luỹ thừa
0

1

( Nếu
0


thì
R
và nếu


thì
0R
)
- Ví dụ:
+/. Chuỗi
0
!
n
n
x
n



Ta có
1
1
0
1


+/. Chuỗi
2
0
1
n
n
n
x
n
x







có
11
1
n
n
n
a
ne





nên miền hội tụ của chuỗi là

;ee

2
Sự hội tụ đều của chuỗi luỹ thừa

- Định lý 7: Nếu chuỗi luỹ thừa (*) có bán kính hội tụ là
0R
thì
''
,0R R R
chuỗi (*) hội
Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
12
tụ tuyệt đối và đều trên

;RR

- Định lý 8: Cho chuỗi luỹ thừa
0
n
n
n
ax


nn
a
f t dt a t dt x
n







với

;x R R

iii/.

'1
1
n
n
n
f x na x





với


f x n n n k a x






- Định lý 9:
Giả sử chuỗi

0
n
n
n
f x a x




có bán kính hội tụ
R
và chuỗi số
0
n
n
n
aR




1
1
f x x x
x


Từ đó

ln 1
1
dx
f x x C
x




Với
00xC
Vậy

1;1x


ln 1f x x

Chuỗi hội tụ tại
1x
nên


1R
Với
1x
ta có:

1
11
00
1
xx
nn
nn
x
f t dt nt dt x
x








Từ đó
'
2
1




sao cho

0
n
n
n
f x a x



;x R R

- Định lý 10: Nếu

fx
khai triển đ-ợc thành chuỗi luỹ thừa

;RR
thì

fx
có đạo hàm
Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008


n
f
S x x
n





gọi là khai triển Taylor của hàm

fx
trong lân cận của
0
( Khai triển Taylor trong lân cận
của
0
còn gọi là khai triển Macloranh )
- Khai triển Taylor của

fx
trong lân cận của điểm bất kỳ có dạng
0
!
n
n
n









Ta có 00
k


với
0,1,2, k
và 1
1!
1
1
k
k
k
x
x









1;1 \ 0S x f x x

- Định lý 11: Nếu tồn tại số d-ơng
C
sao cho


; 0,1,2, ; ;
n
f x C n x R R
thì ta
có

0
0
;
!
n
n
n

n
n
x x x
cosx
n


+/.
2
1
2! !
n
x
xx
ex
n


4
Bài tập

- Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
!
n
n
n
nx
n


nh-ng không
hội tụ đều trên

0,- Bài 5: Xét tính liên tục đều của tổng chuỗi hàm
1
1
n
x
n





- Bài 6: Tính tổng của chuỗi luỹ thừa
23
1.2 2.3 3.4 x x x Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:

1 2 1 2
, , , ; , , , ;
n
nn
x x x x y y y y R R


Khi đó phần tử
của
n
R
gọi là một vecto hay là một điểm.
+/. Chuẩn Euclid của
x
là số
2 2 2 2
12
1

n
ni
i
x x x x x




+/.
1 1 2 2
1



ta có:

0; 0 0x x x xx

.xy x yx y x y x z x y y z

+/. Khoảng cách giữa hai điểm
,xy
là số

2
1
,
n
ii
i

, , ,x z x y y z


,,x y x y



2
Tôpô trong R
n

+/. Cho
;0
n
xR


gọi


,
n
B x y R x y






+/. Điểm
x
gọi là điểm trong của
A
nếu tồn tại
0


sao cho
()B x A



+/. Điểm
x
gọi là điểm ngoài của
A
nếu tồn tại
0


sao cho
()B x A





+/. Tập
A
gọi là mở nếu

; 0:x A B x A




+/. Tập
A
gọi là đóng nếu

; 0:x A B x A




+/. Ví dụ 1:
a. Trong
n
R
thì

Bx

là các tập mở trong
n
R

A
và gọi là bao đóng của
A0
\A A A
là tập mở lớn nhất nằm trong
A
và gọi là phần trong của
A

0
\A A A A
là tập liên thông nếu
12
,
n
S S R
thoả mãn
12
;S A S A


và
12
S S A

d. Các

- lân cận
()Bx

,

Bx

trong
n
R
là những tập liên thông
+/. Tập
D
gọi là một miền trong
n
R
nếu
D
mở và
D
liên thông. Nếu
D
là một miền thì
D D D
gọi là miền đóng.
+/. Ví dụ 3:
Trong
2


- Cho
n
XR
, một quy luật
f
đặt t-ơng ứng mỗi điểm

12
, , ,
n
x x x x X
với một số
thực

12
, , ,
n
u f x x x R
gọi là một hàm
n
biến số có miền xác định là tập
X
.
- Ký hiệu hàm
f
có miền xác định
X
là



22
, ln 1z f x y x y
có miền xác định là hình tròn mở ( không kể
biên ) tâm O, bán kính 1
+/. Hàm hai biến

,z g x y xy
có miền xác định là tập các điểm

,xy
có một trong hai
toạ độ bằng 0 hoặc hai toạ độ cùng dấu, tức là miền xác định của nó góc phần t- thứ I & III
cùng với các trục toạ độ.
b
Biểu diễn hình học của hàm hai biến

- Cho hàm hai biến

, ; ,z f x y x y R
; Khi ta biểu diễn tất cả các điểm

,,x y z
trong
không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
th-ờng ta đ-ợc một mặt, gọi là mặt biểu diễn của hàm

,z f x y


Hàm hai biến

22
1
,z f x y
xy


, với mọi
0
0zz
, đ-ờng mức là đ-ờng tròn tâm

0
0,0,Iz
bán kính
0
1
z
nằm trong mặt phẳng
0
zz

2
Giới hạn hàm nhiều biến
a
Điểm tụ của một tập hợp

- Cho tập
n

17
đ-ợc gọi là điểm cô lập.
- Ví dụ:
+/.
X Q R
ta có mọi điểm của R đều là điểm tụ của Q
+/. Mọi
()x B x


đều là điểm tụ của
()Bx


+/. Tập
2
11
,:X n N R
nn







có duy nhất một điểm tụ

0,0 X
Mọi điểm của X

aa



- Tập
n
KR
gọi là compac nếu mọi dãy
12
, , ,
k k k
kn
a x x x K
có dãy con

jk
a

hội tụ tới
aK

- Định lý:
n
KR
là compac khi và chỉ khi
K
đóng và bị chặn.

,A a a R
nếu cho tr-ớc một số
0


tuỳ ý thì tồn tại một số
0


t-ơng ứng sao cho
với mọi

, ( ; \M x y H A A X


thì
( , )f x y L


Nói cách khác:
lim ( , )
MA
f x y L


khi
chỉ khi
12
0, 0, ( , ) :0 ,0 ( , )x y X x a y a f x y L



,
nn
f x y A

- Ví dụ:
+/. Tính

22
22
, 0,0
sin( )
lim
xy
xy
I
xy




Đặt
; sinx rcos y r


Ta có
1I

+/. Xét xem giới hạn
2 2 2





Giới hạn này không tồn tại vì nó phụ thuộc vào


- Tính chất: Nếu

1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim , ; lim ,
x y a a x y a a
f x y M g x y N


thì
+/.

12
( , ) ( , )
lim , ,
x y a a
f x y g x y M N





+/.

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
18

- Hàm

,u f x y
xác định trên
X
;

00
,xy
là điểm tụ thuộc
X
, với
0
yy

Đặt:

0
lim ,
xx
g y f x y




(2)
- Ví dụ:
a. Ta biết
0
0
lim
xx
yy
x
yx



không tồn tại, tuy nhiên lại tồn tại các giới hạn lặp khác nhau:
0 0 0
limlim lim0 0
y x y
x
yx



và
0 0 0
limlim lim 1
x y x
xx
y x x


1
sin 0xx
y

nh-ng lại không tồn tại các giới
hạn lặp
00
1
limlim sin
xy
x
y




vì không tồn tại
0
1
limsin
y
y


3
Bài tập

Bài 1: Cho hàm

1

, , , ;A x y x y B x y


,
n
x y R
trong
đó

,xy

là một khoảng cách Euclid trên
n
R

c/.

1
lim , 0 lim , 0
kk
kk
x x x x


Bài 2: Tìm các giới hạn

a/.

xy


Chứng tỏ rằng hàm này không có giới hạn khi (x,y) dần
đến (0,0). Hãy tìm những dãy

, 0,0
kk
xy
sao cho

,
kk
f x y m
trong đó m là một số
cho tr-ớc.

Bài 4: Xét các giới hạn của

22
2
22
( , )
cos x cos y
f x y
xy



khi (x,y) dần tới (0,0) đồng thời hoặc lặp.



- Hàm

fx
gọi là liên tục trên tập
X
nếu nó liên tục tại
xX
.
- Hàm

fx
gọi là liên tục đều trên tập
X
nếu
0, 0: , ,x y X



xy


có

f x f y



- Chú ý:

- Định lý 2: Nếu hàm

fx
liên tục trên tập compac
n
KR
thì

fx
liên tục đều trên tập
compac
K

3
Bài tập

Bài 1: Xét tính liên tục tại

0,0
của các hàm số sau:
a/.
22
22
22
22
11
0

00
cos x y
xy
xy
f x y
xy











Bài 2: CMR hàm số

,
xy
f x y
xy



không có giới hạn tại
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
20

Bài 4: Xét sự tồn tại giới hạn lặp của các hàm số sau:
a/.

,
xy
f x y
xy



tại

0,0

b/. 1
,
1
cosxy
f x y
xy



x
sao
cho

0
,x x a b
và gọi

00
y f x x f x
là số gia của hàm số ứng với số gia
x
của đối số.
Nếu tồn tại và hữu hạn
0
lim
x
y
x



thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm

fx
tại
0
x
, hàm







hoặc

0
'
0
lim
x
y
fx
x






thì các giới hạn đó
gọi lần l-ợt là các đạo hàm bên trái hoặc bên phải của hàm

fx
tại
0
x

- Định lý 1: Hàm

0 0 0
y f x f x x x

Một chất chuyển động thẳng có ph-ơng trình quãng đ-ờng đi đ-ợc s theo thời gian t là s =
s(t) Tại điểm t
0
- Định lý 2: Hàm

fx
có đạo hàm tại
0
x
thì liên tục tại
0
x

- Định lý 3: Nếu

fx
và

gx
là các hàm có đạo hàm tại
x
thì tổng, hiệu, tích, th-ơng
(

0gx
) cũng có đạo hàm tại
x




- Định lý 4: Cho hàm

y f x
có đạo hàm tại điểm
0
x
, hàm

z g x
xác định trong một
khoảng chứa

00
y f x
và có đạo hàm tại
0
y
Khi đó hàm

gf x
có đạo hàm tại
0
x
và

'
'

của

fx
cũng có đạo hàm tại

00
y f x
và '
'
0
1
y
fx



2
Đạo hàm riêng

- Giả sử

,z f x y
xác định trên

_ lân cận của điểm

00

,f x y
theo
biến
x
tại

00
,xy
Ký hiệu

00
,
f
xy
x


hoặc

'
00
,
x
f x y

- T-ơng tự:

00
,
f


- Ví dụ:
a/. Cho

32
,2f x y x xy y
Ta có:

22
, 3 2 1,0 3
ff
x y x y
xx





, 4 1 1,0 1
ff
x y xy
yx




b/.

,f x y x
Ta có

10
xy
f x y
xy








Hàm gián đoạn tại

0,0
vì

11
, 0,0
nn




nh-ng
11
,1f
nn



0,0 0
f
y




3
Đạo hàm riêng cấp cao

+/.
2
2
'' ''
2
xx
x
ff
ff
x x x






và
2
2
'' ''



và
2
''
yx
ff
f
y x y x






( Đây là hai đạo hàm hỗn hợp )
+/. Ví dụ: Cho hàm

3
, sin
y
f x y x y xe

Ta có
2
3 cos
y
f
x y xe
x

x xe
xy



;
2
2
3 cos
y
f
x xe
yx



;
2
2
sin
y
f
xe
y




+/. Định lý Schwartz: Nếu đạo hàm hỗn hợp
'' ''
2
, ln 1f x y x y

b/.

0,0 ; 0,0
ff
xy


với
22
22
22
1
sin 0
,
00
xy x y
xy
f x y
xy





22
,
xy
f x y x y eBài 3: Cho hàm số



2 2 2 2
22
22
0
,
00
xy
x y x y
xy
f x y
xy









Hình trụ

V
có phía trên là mặt

:,S z f x y
với

,f x y
liên tục và

,0f x y
, phía
d-ới hình

D
là hình chiếu của

S
lên mặt phẳng toạ độ
Oxy
. Hình

D
có diện tích là
S
, khi đó ng-ời ta tính thể tích hình trụ

V
theo ph-ơng pháp sau:


: 1,
i
P max S i n

+/. Dựng hình trụ

i
V
t-ơng ứng vói mỗi
i
và có đáy

i
S
Gọi
i
V
là thể tích hình trụ

i
V
. Ta có
1
n
i
VV


+/. Lấy

0
Vậy

0
1
lim ,
n
i i i
P
V f x y S




V
không phụ thuộc vào phân hoạch
P
và cách chọn điểm

,
i i i
x y S

2
Định nghĩa- Cho hàm

,z f x y

Khi đó

1
, , ,
n
i i i
I f P C f x y S

là tổng tích phân của hàm

,f x y
ứng với phân hoạch
P
và
phép chọn
C
của
P

- Nếu tồn tại

0
lim , ,
P
I f P C I


không phụ thuộc vào phân hoạch
P
và phép chọn

, lim ,
n
i i i
P
D
f x y dS f x y S





- Khi chia

D
thành các miền nhỏ bởi các đ-ờng thẳng song song
,Ox Oy
thì
i i i
S x y

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
25
Khi đó
S dxdy
và



,f x y
khả tích trên

D

3
Tính chất
a
Nếu

, 1; ,f x y x y D
và miền

D
có bằng diện tích
S
thì


,
DD
f x y dxdy dxdy Sb
Nếu

,f x y
khả tích trên miền


,g x y
khả tích trên miền

D
thì

,,f x y g x y
khả tích trên

D
,
, , , ,
D D D
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy




d
Nếu

D
đ-ợc chia thành hai miền nhỏ ,,
DD
f x y dxdy g x y dxdyĐặc biệt:


, 0 , 0
D
f x y f x y dxdy


f
Nếu

,f x y
khả tích trên miền

D
và

,m f x y M
thì

a/. 22
49
D
x y dxdy

trong đó

D
là hình tròn
22
4xy

b/.



2 2 2 2
22
D
x y x y dxdy

trong đó

02
:
02

- Bài 3: Xác định miền lấy tích phân
a/.
1; 1; 0x y x y x

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
26
b/.
22
4; 0; 0x y y x

c/.
2 2 2 2
;1x y y x

d/.

22
1 2 1xy - Bài 4: CMR nếu

,f x g y

1
Định nghĩa

- Cho hàm ba biến

,,u f x y z
xác định trên miền bị chặn

V
trong không gian
Oxyz
;
Gọi
V
là thể tích của

V
; Chia

V
thành
n
miền nhỏ là

12
, , ,
n
V V V
có thể
tích lần l-ợt nh- sau:

f x y z V



(*)
- Tổng (*) gọi là một tổng tích phân của hàm

,,f x y z
trên miền

V
, ký hiệu

ii
d d V

là đ-ờng kính của miền

i
V
Đặt

1,
i
d max d i n

- Nếu tồn tại

1
lim , ,

f x y z dV

Hoặc ,,
V
f x y z dxdydz


- Nếu tích phân ba lớp tồn tại thì ta nói

,,f x y z
khả tích trên

V

- Định lý: Nếu hàm số

,,f x y z
liên tục trên miền đóng, bị chặn

V
thì

,,f x y z
khả tích
trên

V

V V V
f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV




d
Nếu

12
V V V
(

V
đ-ợc chia thành hai miền

1
V
&

2
V
) thì
12