1
ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
LÝ THUYẾT TẬP HỢP
(Dùng cho sinh viên đại học sư phạm Toán)2
MỤC LỤC
CH
ƯƠNG 1. Những cơ sở của lý thuyết tập hợp 3
1.1. Tập hợp 3
1.1.1. Tập hợp và phần tử của tập hợp 3
1.1.2. Cách xác định một tập hợp 3
1.1.3. Tập hợp rỗng, tập hợp đơn tử, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 3
1.1.4. Tập con và quan hệ bao hàm 3
1.1.5. Tập hợp bằng nhau 4
2.2.1. Hàm mệnh đề 28
2.2.2. Các phép toán trên các hàm mệnh đề 29
2.2.3. Lượng từ 30
2.2.4. Quy tắc suy luận trong lôgic vị từ 30
2.3. Suy luận và chứng minh 31
2.3.1. Suy luận 31
2.3.2. Chứng minh 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 3CHƯƠNG 1
Những cơ sở của lý thuyết tập hợp
Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên cần hiểu được một số khái niệm về tập hợp, cách xác định một tập hợp, các
phép toán trên trên tập hợp; Quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, ánh xạ (ánh xạ tích, đơn ánh,
toàn ánh, song ánh); lôgíc lượng từ.
- Vận dụng vào giải các bài toán liên quan.
1.1. Tập hợp
1.1.1. Tập hợp và phần tử của tập hợp
- Khái niệm “ Tập hợp” là một trong những kháI niệm cơ bản nhất của Toán học.
Ví dụ. Tập hợp các số tự nhiên, tập các điểm cách đều một điểm cho trước, tập nghiệm của một
phương trình…
- Khái niệm tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ không định nghĩa. Quan niệm tập hợp như sự tụ
tập các đối tượng có chung những tính chất nào đó. Các cá thể tạo thành tập hợp gọi là phần tử
a, Ph
ươ
ng pháp li
ệ
t kê
- Li
ệ
t kê
đầ
y
đủ
các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p h
ợ
p
- Li
ệ
t kê không
đầ
y
đủ
: Li
ệ
ậ
p h
ợ
p hay không.
Ví dụ.
{
}
{ }
B = 1, 2, 3, 4
C = 0, 2, 4, 6, 8,
b, Ph
ươ
ng pháp ch
ỉ
rõ thu
ộ
c tính
đặ
c tr
ư
ng
- Thu
ộ
c tính
đặ
c tr
ư
ng là thu
ộ
E = M (P) : OM = r
∈
v
ớ
i O c
ố
đị
nh.
1.1.3. Tập hợp rỗng, tập hợp đơn tử, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn.
- T
ậ
p r
ỗ
ng .
- T
ậ
p h
ợ
p
đơ
n t
ử
.
- T
ậ
p h
ợ
p h
ủ
a t
ậ
p A c
ũ
ng là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p B thì
ta nói r
ằ
ng A
bao hàm trong
B hay A là
tập con
c
ủ
a B.
Kí hi
ệ
u:
A B
⊂
Ta có:
B C
⊂
thì
A C
⊂
- Tính ph
ả
n x
ạ
: N
ế
u
A B
⊂
và
B A
⊂
thì
A = BĐịnh nghĩa 2
. Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t t
p
( )
A
,
đượ
c g
ọ
i là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p con c
ủ
a A.
Ví dụ.
{
}
A= a,b
. Khi
đ
ó:
p
{
}
{
}
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a B và ng
ượ
c l
ạ
i m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a B
đề
u là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A. Kí hi
ệ
u: A = B.
Ví dụ.
Định nghĩa 4
. Cho hai t
ậ
p h
ợ
p A và B. H
ợ
p c
ủ
a hai t
ậ
p h
ợ
p A và B, ký hi
ệ
u là
A B
∪
là m
ộ
t t
ậ
p
h
ợ
p g
ồ
m các ph
ầ
n t
}
A B = a, b, c, d, e, f
∪
2,
{
}
A = x : x = 2k + 1, k∈ ∈
ℤ ℤ
,
{
}
B = x : x = 2k, k∈ ∈
ℤ ℤ
Suy ra:
{
}
A B = ∪
ℤ
b, Phép giao
Định nghĩa 5
. . Cho hai t
ậ
p h
ợ
p A và B. Giao c
ủ
a hai t
ậ
y
{
}
A B = x x A, x B
∩ ∈ ∈ .
Ví dụ.
{
}
A = a, b, c, d, e
,
{
}
B = c, d, e, f
5
Suy ra:
{
}
A B = c, d, e
∩
c, Tính chất của phép hợp và phép giao. ( Xem tài liệu [1])
d. Hiệu và phần bù của hai tập hợp
Định nghĩa 6
các ph
ầ
n t
ử
thu
ộ
c A mà không thu
ộ
c B. V
ậ
y
{
}
A B = x: x A, x B
− ∀ ∈ ∉
+ Cho
B A
⊂
khi
đ
ó hi
ệ
u c
ủ
a A và B
đượ
c g
ọ
i là ph
ầ
⇒ −
,
{
}
B A = e, f
−
2.
{
}
X= x : x < 5
∈
ℝ
{
}
C (X) = x : x 5
⇒ ∈ ≥
ℝ
ℝ
Chú ý.
+
A B B A
− ≠ −
+
x B
x A B
x A
∈
t
ượ
ng th
ứ
ba kí hi
ệ
u: (a, b) và g
ọ
i là c
ặ
p (a, b).
Chú ý: Hai c
ặ
p (a, b) và (c, d) g
ọ
i là b
ằ
ng nhau khi và ch
ỉ
khi a = c, b = d.
N
ế
u a
≠
b thì c
ặ
p (a, b)
≠
(b, a)
Ta nói r
ồ
m t
ấ
t c
ả
các c
ặ
p
s
ắ
p th
ứ
t
ự
(x, y) v
ớ
i x thu
ộ
c X và y thu
ộ
c Y là tích
Đề
các c
ủ
a t
ậ
p X và t
ậ
p Y.
Kí hi
ậ
p h
ợ
p
1 2 3 n
A ,A ,A , ,A
là t
ậ
p h
ợ
p
g
ồ
m t
ấ
t c
ả
các dãy s
ắ
p th
ứ
t
ự
(
)
1 2 3 n
a ,a ,a , ,a
trong
đ
n
A
.
Ví dụ.
1.
{
}
{
}
A = 1, 2, 3 ; B= a, b
Suy ra:
{
}
A B= (1, a);(1, b);(2, a);(2, b);(3, a);(3, b)
×
2.
{
}
{
}
{
}
A = 1, 2 ; B= 3 ; C = a, b
Suy ra:
{
}
A B C= (1, 3, a);(1, 3, b);(2, 3, a);(2, 3, b)
Gi
ả
s
ử
X và Y là hai t
ậ
p h
ợ
p tu
ỳ
ý khác r
ỗ
ng. Ta g
ọ
i m
ỗ
i t
ậ
p con R c
ủ
a t
ậ
p tích
Đề
Các
X Y
×
là m
ộ
ớ
i y” và vi
ế
t
xRy
.
Ví dụ.
Cho X là t
ậ
p h
ợ
p nh
ữ
ng ng
ườ
i
đ
àn bà, Y là t
ậ
p nh
ữ
ng ng
ườ
i
đ
àn ông c
ủ
a làng n
ọ
. R là t
ỳ
ý. Ta g
ọ
i m
ỗ
i t
ậ
p con R c
ủ
a bình ph
ươ
ng
Đề
Các
X X
×
là m
ộ
t quan h
ệ
hai ngôi xác
đị
nh trên t
ậ
p X.
N
ế
u
1 2
(x , ) R
ớ
i
2
x
” và vi
ế
t
1 2
x Rx
.
Ví dụ
. Quan h
ệ
nh
ỏ
h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng thông th
ườ
ng trên t
ậ
p s
ố
th
ự
c R xác
trên m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p X. Ta b
ả
o:
2.
R có tính ch
ấ
t
ph
ả
n x
ạ
trong X n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
x X, (x, x) R
∀ ∈ ∈
(ii) R có tính ch
ấ
u và ch
ỉ
n
ế
u
x X, y X
∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R; (y, x) R x = y
∈ ∈ ⇒
(iv) R có tính ch
ấ
t
b
ắ
c c
ầ
u
trong X n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
x X, y X, z X
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R; (y, z) R (x, z) R
p X nào
đ
ó có tính ph
ả
n x
ạ
.
2. Quan h
ệ
“ chia h
ế
t cho” trong t
ậ
p N các s
ố
t
ự
nhiên có tính ph
ả
n x
ạ
.
3. Quan h
ệ
“ nguyên t
ố
cùng nhau” trong t
ậ
p N các s
ố
X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p , S là m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a
X X
×
. Th
ế
thì S g
ọ
i là m
ộ
t
quan
h
ệ
t
ươ
ng
ứ
ng:
a, b X, a Sb
∀ ∈
thì
b S a
.
3. Tính b
ắ
c c
ầ
u:
a, b, c X, a Sb, b S c
∀ ∈
thì
a S c
.
N
ế
u S là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng thì ng
ườ
đươ
ng.
2. G
ọ
i X là t
ậ
p các
đườ
ng th
ẳ
ng trong m
ặ
t ph
ẳ
ng, quan h
ệ
cùng ph
ươ
ng là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng.
3. G
ọ
i X là t
t
ươ
ng
đươ
ng trong X và
a X
∈
. T
ậ
p h
ợ
p:
{
}
C(a) = x X x S a
∈
g
ọ
i là
l
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng
c
ủ
a a
đố
x C(a), y Sx y C(a)
∈ ⇒ ∈
.
Bổ đề.
V
ớ
i hai ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t kì a và b ta
đề
u có ho
ặ
c
C(a) C(b) =
∩ ∅
ho
ặ
c
C(a) C(b)
=
.
Định nghĩa 11
.
Ta b
ả
đ
ôi m
ộ
t sao cho m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X thu
ộ
c m
ộ
t
trong các b
ộ
ph
ậ
n
đ
ó.
Định lý 1.
Gi
ả
s
ử
X là m
i v
ớ
i S thành l
ậ
p m
ộ
t s
ự
chia l
ớ
p trên X.
Định nghĩa 12.
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p, S là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
a X trên quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng S
và kí hi
ệ
u là X/S.
Ví dụ.
Cho X là t
ậ
p ng
ườ
i trên trái
đấ
t. N
ế
u chia X thành các t
ậ
p con U, V, W,… sao cho các t
ậ
p
con
đ
ó là t
ậ
p các ng
ườ
ự
phân l
ớ
p trên t
ậ
p X.
1.2.3. Quan hệ thứ tự
Định nghĩa 13
.
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p, S là m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a
X X
ây tho
ả
mãn:
1. Tính ph
ả
n x
ạ
:
a X, aSa
∀ ∈
.
2. Tính ph
ả
n
đố
i x
ứ
ng:
a,b X, a Sb
∀ ∈
,
b S a
thì a = b .
3. Tính b
ắ
c c
ầ
u:
a,b, c X, a Sb, b S c
∀ ∈
Ví dụ.
1. Quan h
ệ
“
≤
” trong t
ậ
p N là m
ộ
t quan h
ệ
th
ứ
t
ự
.
2. Quan h
ệ
“chia h
ế
t” trong N không là m
ộ
t quan h
ệ
th
ứ
t
ự
.
3. Quan h
ng kí hi
ệ
u S b
ằ
ng “
≤
” và
đọ
c “
a b
≤
” là
“a bé h
ơ
n b”.
Định nghĩa 14
. Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p th
ứ
đạ
i)
c
ủ
a X n
ế
u quan h
ệ
x a
≤
(
a x
≤
) kéo theo
x = a
. 8
Ví dụ.
1. Trong t
ậ
p h
ợ
p các s
ố
t
ự
ố
.
2. T
ậ
p h
ợ
p các s
ố
th
ự
c v
ớ
i quan h
ệ
th
ứ
t
ự
thông th
ườ
ng, không có ph
ầ
n t
ử
t
ố
i
đạ
i c
ũ
ℝ
s
ắ
p th
ứ
t
ự
theo quan
h
ệ
bao hàm, các h
ệ
vect
ơ
g
ồ
m n vect
ơ
là t
ố
i
đạ
i. Định nghĩa 15.
Gi
ả
s
ấ
t
( ph
ầ
n t
ử
l
ớ
n nh
ấ
t)
c
ủ
a X n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
x X
∈
ta có
a x
≤
(
x a
≤
).
Ví dụ.
l
ớ
n nh
ấ
t là 0.
N
ế
u s
ắ
p th
ứ
t
ự
theo quan h
ệ
th
ứ
t
ự
thông th
ườ
ng, t
ậ
p h
ợ
p các s
ố
t
ự
nhiên có ph
ự
thông th
ườ
ng không có ph
ầ
n t
ử
bé nh
ấ
t c
ũ
ng không có
ph
ầ
n t
ử
l
ớ
n nh
ấ
t.
Định nghĩa 16
. Ta b
ả
o m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
ủ
a X có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
bé nh
ấ
t.
1.3. Ánh xạ
1.3.1. Định nghĩa ánh xạ và ví dụ
Định nghĩa 17
.
Gi
ả
s
ử
X và Y là hai t
ậ
p h
ợ
p tu
ỳ
ý. Ánh x
ạ
f
đ
i t
ấ
t
y Y
∈
.
Kí hi
ệ
u:
( )
f: X Y
x y f x
→
=
֏
ho
ặ
c
(
)
f
X Y,
x y f x
→ =
֏
trong
đ
n giá tr
ị
) c
ủ
a ánh x
ạ
f.
Ví dụ.
1. Khi ch
ấ
m bài ng
ườ
i th
ầ
y giáo
đ
ã th
ự
c hi
ệ
n m
ộ
t ánh x
ạ
t
ừ
t
ậ
p bài
đế
ng trên t
ậ
p các s
ố
t
ự
nhiên là m
ộ
t ánh x
ạ
:
× →
ℕ ℕ ℕ
.Ánh x
ạ
này
ứ
ng v
ớ
i m
ỗ
i c
ặ
p s
ố
t
ự
nhiên (x, y) v
ớ
ạ
t
ừ
× →
ℤ ℤ ℤ
hay
× →
ℝ ℝ ℝ
?
T
ươ
ng t
ự
xét v
ớ
i phép nhân và phép chia. 9
3. X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p b
ấ
t k
ệ
u ánh x
ạ
này là
1
X
hay
X
id
và g
ọ
i là ánh x
ạ
đồ
ng nh
ấ
t.
4. Cho X = {1, 2, 3}, Y = {1, b, c, d}
1 2 3
f:
b b c
là m
ộ
t ánh x
ạ
.
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a nó.
Chú ý.
+ M
ộ
t phép t
ươ
ng
ứ
ng các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X v
ớ
i các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a Y s
c
ủ
a X
ứ
ng
v
ớ
i h
ơ
n m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
trong Y.
+ Trong m
ộ
t ánh x
ạ
m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
thu
ộ
c ngu
ồ
1 2
f(x ) f(x )
⇒ =
ho
ặ
c t
ừ
1 2
f(x ) f(x )
≠
ta ph
ả
i có
1 2
x x
≠
.
+ Tuy m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a ngu
ồ
n có m
ộ
ậ
y, có th
ể
x
ả
y ra tr
ườ
ng h
ợ
p m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p
đ
ích
không ph
ả
i là
ả
nh c
ủ
a b
ấ
a ánh x
ạ
f.
Ví dụ.
Xác
đị
nh
đồ
th
ị
c
ủ
a
2
y = x
.
1.3.3. Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ
Định nghĩa 19
.
Gi
ả
s
ử
f và g là hai ánh x
ạ
t
ừ
X
2
x x 1
−
֏
x (x 1)(x+1)
−
֏
Là hai ánh x
ạ
b
ằ
ng nhau.
2.
f:
→
ℝ ℝ
;
[
]
g: 1, 1
→ −
ℝ x sin x
֏
ạ
g:A Y
→
sao cho
x A: g(x) = f(x).
∀ ∈
Ánh x
ạ
g xác
đị
nh nh
ư
v
ậ
y g
ọ
i là
ánh x
ạ
thu h
ẹ
p
c
ủ
a f
vào t
ậ
p con A và th
ườ
10
- Sự mở rộng một ánh xạ.
Gi
ả
s
ử
g:A Y
→
là ánh x
ạ
xác
đị
nh trên t
ậ
p con A c
ủ
a X và gi
ả
s
ử
có
f:X Y
→
sao cho
A
f g.
trên.
1.3.4. Ảnh và tạo ảnh
Cho ánh x
ạ
f:X Y
→
. Gi
ả
s
ử
x và y là các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X và Y sao cho y = f(x). ta g
ọ
i ph
ầ
n t
ử
y
là
ả
nh c
ủ
a ph
f:X Y
→
và A là m
ộ
t
t
ậ
p con
c
ủ
a X. T
ậ
p con c
ủ
a Y g
ồ
m
ả
nh c
ủ
a t
ấ
t
c
ả
các ph
ầ
n t
ử
c
∈ ∃ ∈
Imf = f(X):
Ả
nh toàn ph
ầ
n c
ủ
a X qua ánh x
ạ
f.
Ví dụ.
X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d, e, f}
f:
1 2 3 4
a d c d
; A = {1, 2, 3} ; B = {2, 3, 4} ; C = {2, 4}
Suy ra: f(A) = {a, d, c}, f(B) = {c, d}, f(C) = {d}, f(X) = {a, c, d}
Chú ý.
Ánh x
ạ
f:X Y
→
:
ủ
a X ta có:
f(A B) = f(A) f(B)
f(A B) f(A) f(B)
∪ ∪
∩ ⊂ ∩
b, Tạo ảnh của một tập hợp
Định nghĩa 21.
Cho ánh x
ạ
f:X Y
→
và U là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p con tu
ỳ
ý c
ủ
a Y. T
ậ
p h
ợ
p con c
ủ
ạ
f và
đượ
c kí hi
ệ
u b
ở
i
1
f (U)
−
.
{
}
1
f (U) = x X f(x) U
−
∈ ∈
Ví dụ.
X = {a, b, c, d}; Y ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}
f:X Y
→
cho b
ở
i b
ả
ng:
a b c d
2 1 2 5
là t
ậ
p con c
ủ
a X, t
ậ
p này có th
ể
là t
ậ
p r
ỗ
ng.
+ N
ế
u
1 2 1 2
y , y Y; y y
∈ ≠
thì
1
1
f (y )
−
và
1
2
f (y )
−
là hai t
a Y ta có:
1 1 1
1 1 1
f (A B) = f (A) f (B)
f (A B) = f (A) f (B)
− − −
− − −
∪ ∪
∩ ∩1.3.5. Tích ánh xạ
Định nghĩa 22.
Gi
ả
s
ử
cho hai ánh x
ạ
f:X Y
→
,
g :Y Z
→
. Ánh x
ạ
:
X Z, x g(f(x))
→
ũ
ng có
f:X Y
→
tu
ỳ
ý ta luôn có:
Y X
1 f = f 1 f
=
trong
đ
ó 1
X
, 1
Y
là các ánh x
ạ
đồ
ng nh
ấ
t.
Ví dụ.
Cho
: , 2 1
: , 1
f x x
Định lý 4.
Tích các ánh x
ạ
có tính ch
ấ
t k
ế
t h
ợ
p, ngh
ĩ
a là n
ế
u
f:X Y
→
,
g :Y Z
→
,
g :Z T
→
thì
h (g f) (h g) f
=
.
Định lý 5.
g :Y U
→
và
h = g f
.
1. N
ế
u h là
đơ
n ánh thì f là
đơ
n ánh.
2. N
ế
u h là
đơ
n ánh và f là toàn ánh thì g là
đơ
n ánh.
3. N
ế
u h là toàn ánh thì g là toàn ánh.
4. N
ế
u h là toàn ánh và g là
đơ
n ánh thì f là toàn ánh.
1.3.6. Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh
1 2
x x
≠
ta luôn có
1 2
f(x ) f(x )
≠
.
Nói khác
đ
i
f:X Y
→
là
đơ
n ánh n
ế
u m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a Y có t
ố
i
đ
a m
nh ngh
ĩ
a
d
ướ
i d
ạ
ng t
ươ
ng
đươ
ng:
f:X Y
→
là
đơ
n ánh n
ế
u t
ừ
1 2
f(x ) f(x )
=
ta luôn có
1 2
x x
=
.
Ví dụ.
3 3
1 2
x x
=
thì
1 2
x x
=
.
3
x x
֏
Nh
ư
ng ánh x
ạ
g:
→
ℝ ℝ
,
2
x x
֏
không là
đơ
n ánh?
ớ
i m
ọ
i
y Y
∈
t
ồ
n t
ạ
i
x X
∈
sao cho
f(x) = y
.
Toàn ánh:
f:X Y
→
còn g
ọ
i là ánh x
ạ
t
ừ
X lên Y.
Tóm t
ắ
t:
f:X Y
ả
i là toàn ánh
x sinx
֏
Nh
ư
ng :
[
]
f: 1, 1
→ −
ℝ
là toàn ánh
x sinx
֏
3. Ánh x
ạ
f:
→
ℝ ℝ
là toàn ánh
3
x x
֏
ừ
a là
đơ
n ánh v
ừ
a là toàn ánh.
Nói khác
đ
i: ánh x
ạ
f:X Y
→
là m
ộ
t song ánh n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
y Y
∈
có m
ộ
t và ch
ỉ
m
ộ
ử
).
Song ánh:
f:X Y
→
còn g
ọ
i là ánh x
ạ
m
ộ
t – m
ộ
t t
ừ
X lên Y.
Ví dụ.
1. Ánh x
ạ
đồ
ng nh
ấ
t
x
1 :X X
→
là song ánh.
ánh x
ạ
1.3.7. Ánh xạ ngượ
c
Định nghĩa 26.
Gi
ả
s
ử
f:X Y
→
và
g :Y X
→
là hai ánh x
ạ
sao cho
X
g f = 1
và
Y
f g = 1
(
X
1
,
Y
1
ĩ
a nên n
ế
u g là ánh x
ạ
ng
ượ
c c
ủ
a f thì f c
ũ
ng là ánh x
ạ
ng
ượ
c c
ủ
a g. 13
Ví dụ.
Ánh x
ạ
ng
ượ
c c
ủ
a ánh x
t ánh x
ạ
có ánh x
ạ
ng
ượ
c
Định lý 7.
Ánh x
ạ
f:X Y
→
có ánh x
ạ
ng
ượ
c khi và ch
ỉ
khi f là song ánh
.
Định lý 8.
Gi
ả
s
ử
g :Y X
t t
ậ
p h
ợ
p n ph
ầ
n t
ử
. M
ộ
t b
ộ
s
ắ
p th
ứ
t
ự
m các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X trong
đ
ó
m
ỗ
i ph
n t
ử
c
ủ
a X.
Nh
ư
v
ậ
y theo
đị
nh ngh
ĩ
a, hai ch
ỉ
nh h
ợ
p l
ặ
p ch
ậ
p m
đượ
c coi là khác nhau n
ế
u chúng ch
ứ
a nh
ữ
ng
Ví dụ.
Cho
{
}
, ,
X a b c
=
. Ta có
{
}
{
}
, , , , , , , , ,
a a b c b b a b c c
là hai ch
ỉ
nh h
ợ
p l
ặ
p c
ủ
a X.
Định lý 9.
S
ố
ch
ỉ
n
t
ậ
p n ph
ầ
n t
ử
và b
ằ
ng
m
n
, ký hi
ệ
u:
m m
n
F n
=
.
Ví dụ.
Có bao nhiêu bi
ể
n
đă
ng ký khác nhau n
ế
u m
ỗ
i bi
ầ
n t
ử
.
V
ậ
y s
ố
bi
ể
n
đă
ng ký có th
ể
có là,
3
10 1000
=
.
101.4.2. Chỉnh hợp không lặp
Cho t
ậ
p X g
ồ
m có n ph
ầ
n t
ộ
t th
ứ
t
ự
nh
ấ
t
đị
nh
đượ
c g
ọ
i là
m
ộ
t ch
ỉ
nh h
ợ
p không l
ặ
p ch
ậ
p k c
ủ
a n phân t
ử
đ
ủ
a X.
Ch
ỉ
nh h
ợ
p ch
ậ
p 2 c
ủ
a X:
{ , }
a b
,
{ , }
a c
,
{ , }
c b
,
{ , }
c a
,
{ , }
b c
,
{ , }
b a
+ Trong tr
n trình v
ớ
i tr
ọ
ng tài m
ộ
t danh sách s
ắ
p th
ứ
t
ự
c
ầ
u th
ủ
trong s
ố
11 c
ầ
u
th
ủ
để
đ
á luân l
ư
u 5 qu
u th
ủ
Hu
ấ
n luy
ệ
n viên c
ủ
a m
ỗ
i
độ
i có th
ể
chon m
ộ
t trong 11 c
ầ
u th
ủ
để
đ
á qu
ả
đầ
u tiên. Ti
i l
ạ
i có
8 cách ch
ọ
n c
ầ
u th
ủ
đ
á qu
ả
th
ứ
t
ư
và cu
ố
i cùng có 7 cách ch
ọ
n c
ầ
u th
ủ
đ
á qu
ả
th
ỉ
nh h
ợ
p ch
ậ
p k c
ủ
a m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p n ph
ầ
n t
ử
(1 )
k n
≤ ≤
b
ằ
ng s
ố
đơ
n ánh t
ừ
t
đượ
c thi
ế
t l
ậ
p t
ừ
{1,2,3,4,5}
.
Giải.
S
ố
các s
ố
khác nhau g
ồ
m 4 ch
ữ
s
ố
b
ằ
ng s
ố
các ch
ỉ
nh h
ợ
p không l
t
ậ
p h
ợ
p g
ồ
m 7 cu
ố
n sách và s
ắ
p x
ế
p lên giá sách có 3
ch
ỗ
tr
ố
ng.
Giải.
M
ỗ
i cách s
ắ
p x
ế
p 3 cu
ố
n sách trong 7 cu
ố
n sách là m
tr
ố
ng là:
3
7
7!
210
(7 3)!
A
= =
−1.4.3. Hoán vị
Cho t
ậ
p h
ợ
p X g
ồ
m n ph
ầ
n t
ử
.
Định nghĩa 29.
M
ỗ
i cách s
i là m
ộ
t hoán v
ị
c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
đ
ã cho.
Ví dụ.
Cho
{
}
, ,
X a b c
=
.
Có 6 hoán v
ị
khác nhau c
ủ
a X:
(
)
(
)
hoán v
ị
c
ủ
a t
ậ
p n ph
ầ
n t
ử
b
ằ
ng s
ố
các
đơ
n ánh (
đồ
ng th
ờ
i c
ũ
ng là song ánh) t
ừ
t
ậ
p n ph
ầ
n t
ầ
n t
ử
b
ằ
ng s
ố
các phép th
ế
c
ủ
a t
ậ
p
đ
ó và
b
ằ
ng
!
n
.
Ví dụ.
Có bao nhiêu s
ố
khác nhau g
ồ
m 4 ch
ữ
s
và s
ố
nguyên k v
ớ
i
1
k n
≤ ≤
. M
ỗ
i t
ậ
p con c
ủ
a A có k
ph
ầ
n t
ử
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p ch
p 2 c
ủ
a 3 ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X là:
(
)
(
)
(
)
, , , , ,
a b b c c a
Định lý 11.
S
ố
các t
ổ
h
ợ
p ch
ậ
p k c
ủ
a m
n t
ử
và b
ằ
ng:
( 1) ( 1)
! !
k
k
n
n
A
n n n k
C
k k
− − +
= =
Chú ý. 15
+ V
ớ
i
1
k n
≤ ≤
ta có th
1. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng cho m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p P g
ồ
m 7
đ
i
ể
m trong
đ
ó không có 3
đ
i
ể
m nào th
ẳ
ng hàng.
H
ỏ
i có bao nhiêu tam giác có 3
đỉ
nh
ệ
m c
ầ
n ch
ọ
n 4 h
ọ
c
sinh nam và 3 h
ọ
c sinh n
ữ
đ
i tham gia chi
ế
n d
ị
ch “Mùa hè xanh” c
ủ
a
Đ
oàn Thanh niên C
ộ
ng s
ả
n
H
ồ
Chí Minh. H
ớ
i các
đỉ
nh là 3
đ
i
ể
m
đ
ó.
Ng
ượ
c l
ạ
i, m
ỗ
i tam giác có 3
đỉ
nh thu
ộ
c P t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i m
ộ
t t
ậ
ậ
p P, t
ứ
c là b
ằ
ng:
3
7
7.6.5
35
3!
C
= =
.
2. M
ỗ
i cách ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 5 ng
ườ
i trong 50 ng
ườ
i là m
ộ
t t
ổ
h
ợ
1.2.3.4
C = = cách ch
ọ
n 4h
ọ
c sinh nam trong s
ố
20 h
ọ
c sinh nam và có
3
15
15.14.13
455
1.2.3
C = = cách ch
ọ
n 3 h
ọ
c sinh n
ữ
trong s
ố
15 h
ọ
c sinh n
ữ
. Theo quy t
ắ
c nhân, s
3 3
b ab a b a
= + + +
.
*) Tài liệu học tập
[1]. Phan H
ữ
u Chân (1977), Tr
ầ
n Lâm Hách, Nh
ậ
p môn lý thuy
ế
t t
ậ
p h
ợ
p và lôgic, NXB Giáo
d
ụ
c.
[2]. Ngô Thúc Lanh (1995),
Đạ
i s
ố
và s
ố
h
ọ
c, NXB Giáo d
ây
đượ
c cho b
ằ
ng cách ch
ỉ
rõ thu
ộ
c tính
đặ
c tr
ư
ng. Hãy xác
đị
nh t
ậ
p h
ợ
p
đ
ó
b
ằ
ng cách li
ệ
t kê.
a) A = {x ∈ N | x có 2 ch
ữ
s
ố
Hãy phát vi
ế
t l
ạ
i các t
ậ
p sau
đ
ây theo cách ch
ỉ
rõ thu
ộ
c tính
đặ
c tr
ư
ng.
a) A = {3, 6, 9, 12, 15}.
b) B = {2, 3, 5, 7}.
c) C = {-2, -1, 0, 1, 2}.
d) D = {1, 4, 9}.
e) E = {1,
3
, -
3
}.
1.3
Cho A là t
ậ
1.4
Cho A = {n ∈
N
| n + m = 8 v
ớ
i m ∈
N
} và B ={m ∈
N
| n + m = 8 v
ớ
i n ∈
N
}.
Ch
ứ
ng minh A = B.
1.5
Cho A là t
ậ
p h
ợ
p g
ồ
m các
ướ
c s
ố
ạ
.
1.6
Hãy xét quan h
ệ
gi
ữ
a các t
ậ
p A & B cho d
ướ
i
đ
ây:
a) A = {n ∈
N
| n
2
< 7}.
B = {n ∈
N
| n
3
< 10}.
b) A là t
ậ
p h
p h
ợ
p các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình x
2
= 3 – 2x.
1.7
G
ọ
i B
k
là t
ậ
p h
ợ
p các b
ộ
i c
ủ
a s
ố
nguyên k. Xét quan h
ệ
gi
ế
t t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p con c
ủ
a t
ậ
p X = {a, b, c, d}.
1.9
Tìm t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p con c
ủ
a t
ậ
p M các s
ố
nguyên t
ố
l
ớ
G
ọ
i B
n
là t
ậ
p các b
ộ
i c
ủ
a s
ố
nguyên n.
a) Hãy xác
đị
nh các t
ậ
p B
2
∪ B
4
, B
2
∩ B
3
.
b) Tìm h
ệ
th
ướ
c c
ủ
a s
ố
t
ự
nhiên n.
a) Hãy xác
đị
nh các t
ậ
p C
3
∪ C
2
, C
18
∩ C
24
.
b) Tìm h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a n, m sao cho:
ố
th
ự
c) sau:
a) y =
2
2 1
1
x
x
+
−
+ lg(3x - 1).
b) y =
2
x
−
+ lg(– x
2
+ 3x – 2).
Gi
ả
i thích l
ờ
i gi
ả
i b
ằ
ng ngôn ng
ữ
b)
2 2
2 2 2
(x 1) 7 (x 4)
(x 1) 3x (2x 1) 7
− + > +
+ + > − +
1.15
Ch
ứ
ng minh
đị
nh lý:
a) A
∩
B = A khi và ch
ỉ
khi A
⊂
B.
b) A
C
⊂
A
∪
B thì C
⊂
B.
b) T
ừ
A
∪
B = A
∪
C có th
ể
suy ra
đượ
c B = C không ? Cho ví d
ụ
.
c) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
p các s
ố
t
ự
nhiên
N
).
Hãy xác
đị
nh t
ậ
p A – (A – B).
1.18
Cho
R
t
ậ
p s
ố
th
ự
c. Tìm C
R
(A) trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a) A =
{
<
-2 ho
ặ
c x > 3
}
.
Hãy bi
ể
u di
ễ
n các t
ậ
p và C
R
(A) b
ằ
ng hình v
ẽ
trên tr
ụ
c s
ố
cho t
ừ
ng tr
ườ
ng h
ợ
p.
1.19
B) – (A
∩
B).
1.20
Gi
ả
s
ử
A, B là các t
ậ
p con c
ủ
a t
ậ
p X. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
C
X
(A) = B khi và ch
ỉ
khi A
∪
B = X và A
∩
B =
∅
, C g
ồ
m 3 ph
ầ
n t
ử
.
b) A g
ồ
m p ph
ầ
n t
ử
, B g
ồ
m q ph
ầ
n t
ử
, C g
ồ
m r ph
ầ
n t
ử
.
1.22
Hãy li
ệ
t kê các ph
{
(a, b) | a = 5 – 2b, a
∈
N
, b
∈
N
}
.
1.23
a) Cho t
ậ
p h
ợ
p X =
{
1, 2, 3, 4, 5
}
. Trong X xác
đị
nh quan h
ệ
hai ngôi S nh
ư
sau : a S b
⇔
a +
b là s
ự
c
R
cho quan h
ệ
S xác
đị
nh nh
ư
sau: x S y khi và ch
ỉ
khi
x
2
+ y
2
+ 4x = 6y – 15. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng quan h
ệ
S là t
ậ
p r
ỗ
ng.
1.24
Trên t
ậ
ệ
ρ
nh
ư
sau: a
ρ
b khi và ch
ỉ
khi a – b chia h
ế
t cho
3. Hãy xem quan h
ệ
này có tính ch
ấ
t gì ?
1.26
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng cho
đườ
ng th
ẳ
ng a c
ố
đị
ả
ng cách t
ừ
M t
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng a
b
ằ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
N t
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng a.
a) Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng
qu
ỹ
tích.
1.27
Gi
ả
s
ử
X là t
ậ
p các
đ
i
ể
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng, O là
đ
i
ể
m c
ố
đị
nh thu
ộ
c X. Trên X xác
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trên X –
{
O
}
không ?. N
ế
u ph
ả
i, xác
đị
nh l
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng
ch
ứ
a
đ
i
ể
m A. Hãy mô t
ả
ng t
ỏ
S là quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng. 19
b) Cho a là s
ố
th
ự
c, tìm [a].
1.29
Trong t
ậ
p
×
ℝ ℝ
ta xác
đị
nh quan h
ệ
S nh
p [a, b] và t
ậ
p th
ươ
ng
×
ℝ ℝ
/ S. Sau
đ
ó
minh ho
ạ
b
ằ
ng hình v
ẽ
(coi (x, y) là
đ
i
ể
m có to
ạ
độ
(x, y) trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
ng minh r
ằ
ng ~ là quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng.
b) Hãy xác
đị
nh t
ậ
p th
ươ
ng
*
×ℤ
ℕ
/ ~.
1.31
Trong t
ậ
p các s
ố
th
ự
c
R
. Ch
ủ
a a, tìm các ph
ầ
n t
ử
trong l
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng [a].
1.32
Cho X =
{
1, 2, 3
}
và m
ộ
t quan h
ệ
hai ngôi S trên X.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u S là quan h
ứ
a (1, 2), hãy tìm S sao cho S là m
ộ
t quan
h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trên X.
1.33
a) Trong t
ậ
p
R
các s
ố
th
ự
c xét quan h
ệ
S nh
ư
sau: x S y
⇔
x
3
ũ
ng trong t
ậ
p
R
xét quan h
ệ
T nh
ư
sau: x T y
⇔
x
2
≤
y
2
. Quan h
ệ
T có là
quan h
ệ
th
ứ
t
ự
không ?
1.34
Trong t
ậ
A =
{
2, 4, 6, 8, 10
}
.
B =
{
2, 4, 8
}
.
Trên X xét quan h
ệ
th
ứ
t
ự
là quan h
ệ
“ chia h
ế
t ” ( \ ).
a) Tìm ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t l
ủ
a các t
ậ
p A, B.
d) Tìm các ph
ầ
n t
ử
t
ố
i
đạ
i, t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a X.
1.36
Xét t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự
n t
ử
l
ớ
n nh
ấ
t, ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t, ch
ặ
n trên, ch
ặ
n d
ướ
i, ch
ặ
n trên nh
ỏ
nh
ấ
t, ch
ặ
n d
ướ
20
1.37
Xét t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự
*
ℕ
v
ớ
i quan h
ệ
th
ứ
t
ự
“ chia h
ế
t ” ( \ ) và b
ộ
ph
ậ
n A
n trên, ch
ặ
n d
ướ
i, ch
ặ
n trên nh
ỏ
nh
ấ
t, ch
ặ
n d
ướ
i l
ớ
n
nh
ấ
t, ph
ầ
n t
ử
t
ố
i
đạ
i, ph
ầ
n t
ớ
i n
∈
ℕ
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng A là t
ậ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự
tuy
ế
n tính v
ớ
i quan h
ệ
th
ứ
t
ự
chia h
ế
t.
t
ố
i
đạ
i ( t
ố
i ti
ể
u) và ng
ượ
c l
ạ
i.
1.39
G
ọ
i X là t
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
nh
ữ
ng ng
ườ
i
đ
i là ánh x
ạ
t
ừ
X
đế
n X .
a) Quy t
ắ
c
ứ
ng m
ỗ
i ng
ườ
i v
ớ
i m
ẹ
đẻ
c
ủ
a mình .
m : X
→
X
x
֏
m(x) = m
a x
c) Quy t
ắ
c
ứ
ng m
ỗ
i ng
ườ
i v
ớ
i con
đẻ
c
ủ
a mình
c : X
→
X
x
֏
c(x) = con
đẻ
c
ủ
a x .
1.40
Cho X =
{
a , b, c, d
ng các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X v
ớ
i các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a Y mà không ph
ả
i là
ánh x
ạ
t
ừ
X
đế
n Y. Dùng bi
ể
u
đồ
ven
để
minh ho
ủ
a t
ậ
p các
đ
i
ể
m trên
đ
o
ạ
n [–1, 2].
c) Tìm t
ạ
o
ả
nh toàn ph
ầ
n c
ủ
a 1 , –1.
d) f
-1
([–1; 1]) .
1.42
Cho X =
{
1, 2, 3, 4, 5
}
, A =
Hãy vi
ế
t t
ấ
t c
ả
các ánh x
ạ
f: X
→
Y sao cho f là m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a g trên toàn X.
1.43
Cho ánh x
ạ
ϕ
:
R
×
R
→
R
ễ
n các t
ậ
p A,
ϕ
(A),
ϕ
–1
(A) trên m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
độ
R
×
R
.
1.44
Cho hàm s
ố
ϕ
:
R
→
ng minh r
ằ
ng:
a) A
⊂
f
–1
(f(A)).
b) f(f
–1
(U))
⊂
U.
c) f(X) – f(A)
⊂
f(X – A).
d) f
–1
(Y – U) = X – f
–1
(U).
e) N
ế
u A
⊂
B thì f(A)
⊂
f(B).
N
ế
Z
, Y =
R
.
b) X = Y =
Z
.
c) X = Y = 2
N
.
a) X = Y =
R
1.47
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u f: X
→
Y là m
ộ
t
đơ
n ánh và A, B là các t
ậ
p con c
nh các hàm s
ố
h
ợ
p: f.g và g.f.
1.49
Cho ánh x
ạ
f: X
→
Y (X, Y ?
∅
). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) f là
đơ
n ánh khi và ch
ỉ
khi có ánh x
ạ
g: Y
→
X sao cho g.f = 1
X
.
b) f là toàn ánh khi và ch
u f là
đơ
n ánh và
fg fg
′
=
thì
g g
′
=
.
b) N
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
g,g
′
mà t
ừ
fg fg
′
=
luôn kéo theo
g g
′
ượ
c l
ạ
i n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
h,h
′
có
hf h f
′
=
luôn kéo theo
h h
′
=
thì f là m
ộ
t toàn ánh.
1.52
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các ánh x
ạ
- x
c) h:
ℝ
→
ℝ
d) k:
ℝ
→
ℝ
x
֏
x
3
x
֏
1
x
1.53
Cho
{
}
1,2,3,4 .
1.54
Cho t
ậ
p
{
}
{
}
0,1 , , ,
A X a b c
= =
. Có bao nhiêu
đơ
n ánh t
ừ
A vào X.
1.55
Lúc khai m
ạ
c tr
ậ
n bóng
đ
á, các c
ầ
u th
ủ
c
c l
ạ
i. Có th
ể
x
ả
y ra bao nhiêu cách l
ự
a ch
ọ
n
để
b
ắ
t tay gi
ữ
a các
c
ầ
u th
ủ
c
ủ
a hai
độ
i, bi
ế
t r
ằ
ng m
u
ki
ệ
n sau
đ
ây:
a, M
ỗ
i ch
ữ
s
ố
ph
ả
i có m
ặ
t 1 l
ầ
n trong s
ố
l
ậ
p nên.
b, Ch
ữ
s
ố
0 không
đứ
ng
− =
1.58
Tính
( )
5
2
x y
−
.
23
CHƯƠNG 2
Những cơ sở của lôgíc Toán
S
ố
ti
ế
t: 15 (Lý thuy
ế
t: 10; Bài t
ậ
p, th
nh
đề
và các phép toán trên m
ệ
nh
đề
và hàm m
ệ
nh
đề
.
-
Ứ
ng d
ụ
ng vào các bài toán suy lu
ậ
n và ch
ứ
ng minh trong toán h
ọ
c.
2.1. Lôgic mệnh đề
2.1.1 Mệnh đề
Trong ngôn ng
ữ
thông th
ườ
ng, ta hi
c t
ế
khách quan
đượ
c g
ọ
i là các m
ệ
nh
đề
.
Đố
i t
ượ
ng c
ủ
a lôgic m
ệ
nh
đề
là các m
ệ
nh
đề
. Ta qui
ướ
c các m
ệ
nh
đề
ỗ
i m
ệ
nh
đề
không th
ể
v
ừ
a
đ
úng v
ừ
a sai.
Trong lôgic m
ệ
nh
đề
ta ch
ỉ
quan tâm t
ớ
i tính
đ
úng sai c
ủ
a m
ệ
nh
đề
b
ằ
ng 0 n
ế
u nó sai.
Vì m
ỗ
i m
ệ
nh
đề
ch
ỉ
có th
ể
ho
ặ
c
đ
úng ho
ặ
c sai nên nó ch
ỉ
có th
ể
nh
ậ
n
đượ
c m
ế
t cho 3.
Giá tr
ị
chân lí c
ủ
a m
ệ
nh
đề
(1) b
ằ
ng 0
Giá tr
ị
chân lí c
ủ
a m
ệ
nh
đề
(2) b
ằ
ng 1.
Các m
ệ
nh
đề
đơ
2.1.2. Các phép toán lôgic trên mệnh đề.
V
ớ
i các phép toán
đạ
i s
ố
, t
ừ
các s
ố
x, y nào
đ
ó ta có th
ể
l
ậ
p
đượ
c các s
ố
m
ớ
i – x, x + y, x – y,
x.y, …. T
ươ
ng t
ự
nh
t
đị
nh ta có th
ể
l
ậ
p
đượ
c các m
ệ
nh
đề
m
ớ
i. Các quy t
ắ
c thi
ế
t l
ậ
p m
ệ
nh
đề
m
ớ
i này g
ọ
i là
các phép toán m
úng và
đ
úng khi p sai.
B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
P
p
1 0
0 1
Ví dụ.
Ph
ủ
đị
nh c
ủ
a m
ệ
nh
đề
2 2
<
là m
ệ
nh
nh
đề
đ
úng
khi c
ả
hai cùng
đ
úng và sai trong các tr
ườ
ng h
ợ
p còn l
ạ
i.
B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
p q
p q
∧
1 0 0
0 1 0
1 1 1
0 0 0
Ví dụ.
∧
= 0.
H
ộ
i c
ủ
a hai m
ệ
nh
đề
là: “ S
ố
1794 v
ừ
a chia h
ế
t cho 3 v
ừ
a chia h
ế
t cho 9”.
c. Phép tuyển
Định nghĩa 3.
Tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ
nh
ng giá tr
ị
chân lí:
p q
p q
∨
1 0 1
0 1 1
1 1 1
0 0 0
Ví dụ.
1. M
ệ
nh
đề
“2 bé h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng 3”
đ
úng vì nó là tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ
ch
ẵ
n hay hàm s
ố
l
ẻ
” là tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ
nh
đề
: “ Hàm s
ố
2
y = (x + 1)
là hàm s
ố
ch
ẵ
n” và m
ệ
nh
đề
: “ Hàm s
ố
p và q. M
ệ
nh
đề
kéo theo
p q
⇒
đọ
c là “p kéo theo q” hay “
N
ế
u p thì q” là m
ệ
nh
đề
ch
ỉ
sai khi p
đ
úng q sai.
B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
p q
p q
⇒
p q
⇔
, là m
ộ
t m
ệ
nh
đề
đ
úng khi và ch
ỉ
khi c
ả
hai m
ệ
nh
đề
cùng
đ
úng ho
ặ
c cùng sai,
sai trong các tr
ườ
ng h
ợ
p còn l
ạ
i.
ó. T
ừ
các m
ệ
nh
đề
đ
ó s
ử
d
ụ
ng các phép toán
lôgic
, , , ,
− ∧ ∨
⇒
⇔
ta l
ậ
p
đượ
c nh
ữ
ng m
ệ
nh
đề
m
ớ
đề
m
ớ
i. C
ứ
nh
ư
v
ậ
y ta ki
ế
n thi
ế
t
đượ
c m
ộ
t
dãy các kí hi
ệ
u g
ọ
i là công th
ứ
c c
ủ
a lôgic m
ệ
nh
đề
c
ấ
p p, q, r,…
+ Các kí hi
ệ
u phép toán lôgic
+ Các d
ấ
u ngo
ặ
c ch
ỉ
th
ứ
t
ự
các phép toán.
-
Đươ
ng nhiên theo
đị
nh ngh
ĩ
a
ở
trên thì:
+ B
ả
n thân các m
ệ
m công th
ứ
c trong lôgic m
ệ
nh
đề
t
ươ
ng t
ự
nh
ư
khái ni
ệ
m bi
ể
u th
ứ
c
đạ
i s
ố
trong
đạ
i
s
ố
.
+ Khi thay p, q, r,… trong công th
ứ
ể
u th
ị
c
ấ
u trúc c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
t các m
ệ
nh
đề
.
Ví dụ.
P: T
ứ
giác ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t
Q: T
ứ
giác ABCD là hình thoi.
R: T
ứ
giác ABCD là hình vuông.
y khi thay p, q, r,… trong công th
ứ
c b
ở
i các m
ệ
nh
đề
c
ụ
th
ể
( t
ứ
c là bi
ế
t
tính
đ
úng sai c
ủ
a nó) thì công th
ứ
c s
ẽ
tr
ở
thành m
ộ
t m
ả
th
ự
c hi
ệ
n các phép toán lôgic.
M
ộ
t cách t
ổ
ng quát, cho
1 2 n
S(p , p , , p )
là công th
ứ
c ch
ứ
a n m
ệ
nh
đề
1 2 n
p ,p , ,p
. Khi thay
1 2 n
p ,p , ,p
b
ằ
ng các m
Copyright: Tài liệu đại học ©