I. Lời giới thiệu

Trong môn hình học ở trường phổ thông, hình học phẳng có khá nhiều phân môn, thể loại, và hình tam giác, có
vai trò rất đặc biệt. Việc chứng minh nhiều định lý và giải rất nhiều bài toán hình học đòi hỏi phải vận dụng hợp lý
nhiều kiến thức về hình tam giác(tam giác bằng nhau, tam giác đồng dạng, các đường thẳng đặc biệt trong tam
giác, v.v…)
Hình tam giác đã được nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu từ hàng nghìn năm nay và mãi cho đến
những năm gần đây, nhiều tính chất, định lý mới, hoặc nhiều cách chứng minh mới của các định lý đã biết lần
lượt ra đời. Ở bài viết này, tác giả xin giới thiệu đến bạn đọc những định lý, những bài toán hay về đẳng thức
lượng giác trong tam giác, bao gồm định lý Stewart, định lý Morley, định lý Steiner-Lenmus về tam giác cân, bài
toán Napoleon … và những mở rộng, chú ý, cách chứng minh độc đáo của nhiều nhà toán học cũng được nêu
ra trong bài viết này, chúng ta hãy cùng tìm hiểu.

II. Định lý STEWART
Bài toán: Cho . là một điểm trên cạnh . Đặt . Khi đó ta có công
thức sau:
Lời giải.
Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng
giác trong tam giácKẻ đường cao . Xét hai tam giác và và theo định lý hàm số , ta có:
Nhân từng vế theo thứ tự với và rồi cộng lại, ta có:

Do , nên từ ta có:
Định lý Stewart chứng minh xong.
Chú ý:
Stewart (1717 – 1785) là nhà toán học và thiên văn học người Scotland.
Nếu trong hệ thức Stewart xét là đường trung tuyến, thì từ hệ thức Stewart có:
Hệ thức trên chính là hệ thức xác định trung tuyến quen biết trong tam giác.

Độ khác là Xachianarian cho cách giải "phi lượng giác" (chỉ dùng đến kiến thức hình học lớp 9)
Định lý về đường chia ba góc được Morley tìm ra từ 1899, nhưng mãi đến năm 1914 ông mới công bố cách
chứng minh và mở rộng định lý với việc xét không chỉ các đường chia ba góc trong mà cả các đường chia ba
góc ngoài của tam giác. Định lý Morley đã hấp dẫn nhiều người, trong đó có nhà toán học Pháp nổi tiếng Henri
Lebesgue (1875 – 1941). Năm 1939, Lebesgue công bố chứng minh sơ cấp của định lý này. Ông xét các đường
chia ba các góc trong và ngoài của tam giác (có tất cả 12 đường), và đã chứng minh được rằng trong các giao
điểm của các đường đó có 27 bộ ba điểm là các đỉnh của tam giác đều.
Từ
Giả thiết phản chứng , khi đó không giảm tổng quát có thể giả sử
.

Suy ra:
Ngoài ra ta có: . Vậy suy ra . Điều đó vô lý
nên giả thiết phản chứng là sai.

Do đó: hay là tam giác cân đỉnh (đpcm).

Chú ý:
Jacob Steiner (1796 – 1863) là nhà hình học nổi tiếng người Thuỵ Sĩ.
Định lý Steiner – Lenmus này có đến mấy chục cách chứng minh khác
nhau, trong đó cách chứng minh trên là cách duy nhất sử dụng các kiến
thức lượng giác.

Sau đây là hai cách chứng minh “phi lượng giác” đẹp mắt để bạn đọc
thưởng thức.

Cách 1: (Tác giả là hai kĩ sư người Anh là G.Jylbert và D.Mac – Donnell).
Cách giải này được coi là đơn giản nhất và được công bố trên tạp chí
“American Mathematical Monthly” năm 1963.



Từ dẫn đến vô lý. Vì lý do tương tự cũng không thể bé hơn
. Ta có điều phải chứng minh.

Các bạn thân mến! Kể từ năm 1840 khi S.L.Lenmus gửi thư cho nhà hình
học J.Steiner đã quá 150 năm. Từ cách chứng minh của Steiner cho đến
cách chứng minh gần đây nhất của R.W.Hegg, con người đã dần dần thực
hiện được khát vọng là vươn tới cái đơn giản nhất. Chắc rằng quá trình
này chưa dừng lại ở đây.

Cuối cùng, xin dành cho cách giải của chính J.Steiner

Dựa vào công thức
Từ , sau khi biến đổi, đưa được về dạng:
Suy ra: hay là tam giác cân đỉnh .
IV. Bài toán NAPOLÉON
Bài toán: Cho tam giác . Về phía ngoài trên ba cạnh dựng ba tam
giác đều. Gọi là các tam của ba tam giác đều ấy. Chứng
minh cũng là tam giác đều.
Lời giải.

Ta có theo định lý hàm số , thì
Hay
Rõ ràng vế phải của là biểu thức đối xứng với , nên ta có
Suy ra là tam giác đều. Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý:
Napoléon Bonaparte (1769 – 1821), hoàng đế nổi tiếng của nước Pháp,
là một người ham thích toán; ngay cả lúc cầm quân ở trận mạc, ông vẫn
dành những phút giải trí qua việc giải các bài toán. Napoléon đã nêu ra
một số bài toán hay, trong đó có bài toán nói trên.