Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

ĐỒNG VĂN HƢƠNG
DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở THPT
THEO HƢỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2010

THÁI NGUYÊN - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI NÓI ĐẦU
Để hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản
thân, chúng tôi còn nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hướng dẫn
TS. Nguyễn Anh Tuấn giảng viên khoa toán Trường ĐHSP Hà Nội, các
thầy, cô giáo Khoa toán, Khoa SĐH Trường ĐHSP Thái Nguyên, các Thày,
Cô giáo phản biện, Ban giám hiệu, trường THPT Tứ Sơn, Bắc Giang và tổ
toán của các trường THPT trên địa bàn huyện Lục nam – Bắc giang.
Chúng tôi xin bày tỏ tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy
giáo hướng dẫn cùng các thầy, cô giáo trong khoa toán, Khoa SĐH Trường
ĐHSP Thái Nguyên, các thầy cô giáo phản biện và các thầy cô giáo đã tham
gia giảng dạy lớp CH toán khoá 16 - Chuyên ngành Lý luận và Phương pháp
dạy học toán.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn sẽ không tránh khỏi những
thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010.
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn NHỮNG TỪ VIẾT TẮT ĐƢỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN

BĐT : Bất đẳng thức

7
1.2.1. Sơ lược về số phức
7
1.2.1.1. Lịch sử
7
1.2.1.2. Định nghĩa
7
1.2.1.3. Một số khái niệm trong trường số phức

.
8
1.2.2. Tình hình thực tiễn về rèn luyện KN ứng dụng số phức vào giải toán
ở trường THPT
14
1.3. Kết luận chương 1
15
CHƢƠNG 2 – RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở THPT
16
2.1. Định hướng sư phạm
16
2.2. Một số KN ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT
16
2.2.1. Ứng dụng số phức để giải một số bài toán lượng giác
17
2.2.2. Ứng dụng số phức giải một số bài toán đại số tổ hợp.
24
2.2.3. Ứng dụng số phức giải một số bài toán hình học phẳng
30


67
3.4. Kế hoạch thực nghiệm.
67
3.5. Kết quả thực nghiệm
69
3.6. Kết luận chương 3
70
KẾT LUẬN
71
TÀI LIỆU THAM KHẢO
72
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu và yêu cầu của giáo dục phổ thông nói chung, giáo dục môn
Toán nói riêng đòi hỏi tăng cường tính ứng dụng và thực tiễn. Số phức được
đưa vào chương trình toán THPT nhằm hoàn thiện cho HS về hệ thống số sau
khi học xong bậc này, ngoài ra số phức còn có rất nhiều ứng dụng đặc biệt là
ứng dụng để giải một số dạng toán ở THPT.
Một trong những mục tiêu dạy học của bộ môn toán là rèn luyện kĩ
năng, tính ứng dụng các nội dung để giải toán.
Nội dung số phức mới được đưa vào chương trình SGK ở bậc học
THPT, việc khai thác ứng dụng của chúng cho HS là cần thiết.
Với mỗi nội dung được đưa vào chương trình toán phổ thông, chúng
đều có những ứng dụng nhất định. Số phức cũng không nằm ngoài những nội

điển, lý luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan tới đề tài của luận văn.
- Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu trong nước và
ngoài nước có liên quan đến nội dung kĩ năng, ứng dụng số phức vào giải
toán THPT.
4.2. Phương pháp điều tra quan sát
- Điều tra tìm hiểu việc ứng dụng số phức vào giải một số dạng toán ở
trường THPT trong Huyện Lục nam, Bắc giang.
4.3. Phương pháp thử nghiệm sư phạm
- Thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của phương
án đề ra tại trường THPT Tứ Sơn, Lục nam, Bắc giang.
5. Cấu trúc của luận văn: Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức để giải một số bài toán
ở THPT.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3
CHƢƠNG 1 – CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Về kĩ năng và rèn luyện kĩ năng trong dạy học toán ở trƣờng THPT
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Khi nghiên cứu các tài liệu bàn về kĩ năng (KN), ta thấy có hai quan
niệm về lĩnh vực này, đó là:
Quan niệm 1:
Coi KN là mặt kĩ thuật của một thao tác, hành động hay một hoạt động
nào đó. Muốn thực hiện được một hành động, cá nhân phải hiểu được mục
đích, phương thức và điều kiện để thực hiện nó. Vì vậy nếu ta nắm được các
tri thức về hành động, thực hiện nó trong thực tiễn theo các yêu cầu khác nhau

Trong từ điển Tâm lí học do Vũ Dũng chủ biên đã định nghĩa: “KN là
năng lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ
thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ tương ứng” [5, 132].
Có thể thấy, các nhà tâm lí học theo khuynh hướng thứ hai này khi bàn
về KN lại rất chú ý tới mặt kết quả của hành động.
Xét về mặt bản chất hai quan niệm trên không phủ định lẫn nhau. Sự
khác biệt là ở chổ mở rộng hay thu hẹp thành phần cấu trúc của KN mà thôi.
Có thể hiểu: KN là khả năng thực hiện có kết quả một hành động hay
một hoạt động nào đó trong những điều kiện nhất định, bằng cách vận dụng
và lựa chọn những tri thức, kinh nghiệm đã có.
Khi bàn về KN cần lưu ý một số điểm sau đây:
Điểm thứ nhất: KN trước hết là mặt kĩ thuật của một thao tác hay một
hành động nhất định, không có KN chung chung, trừu tượng tách rời hành
động cá nhân của con người. Khi nói tới KN là nói tới một hành động cụ thể
đạt tới mức đúng đắn và thuần thục nhất định.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

5
Điểm thứ hai: Thành phần của KN bao gồm tri thức, kinh nghiệm đã
có, quá trình thực hiện hành động, sự kiểm soát thường xuyên trực tiếp của ý
thức và kết quả của hành động.
Điểm thứ ba: Tiêu chuẩn để xác định sự hình thành và mức độ phát
triển của KN là: tính chính xác, tính thành thạo, tính linh hoạt và sự phối hợp
nhịp nhàng các động tác trong hành động. Hành động chưa thể trở thành KN
nếu hành động đó còn vụng về, còn tiêu tốn nhiều công sức và thời gian để
triển khai.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
Trên cơ sở về khái niệm kĩ năng, ta có thể nêu nên khái niệm về kĩ
năng giải toán như sau:

toán nào đó, GV cần xác định và tổ chức cho HS tiến hành các hoạt động
tương ứng với kỹ năng đó. Thông qua các hoạt động này, cùng với những
kiến thức sẵn có HS đi đến lời giải của bài toán hoặc lớp các bài toán.
Ví dụ: Để rèn kĩ năng giải phương trình bậc hai
2
0ax bx c  
cho HS,
GV tổ chức HS thực hiện các hoạt động (HĐ):
HĐ1: Nhận dạng phương trình bậc hai bằng cách xác định đúng các hệ
số, ẩn.
HĐ2: Tính biệt thức
2
4b ac  
.
HĐ3: Xác định nghiệm thông qua xét và công thức nghiệm
Nếu
0
thì kết luận phương trình có hai nghiệm thực:
1,2
4
b
x
a
  


còn không, kết luận phương trình có hai nghiệm phức:
1,2
4
bi

tổng quát “
a bi
” của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm
của một phương trình bậc n.
Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu “
i
” để
chỉ căn bậc hai của
1
, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu này.
1.2.1.2. Định nghĩa
Trong toán học, trường số phức, ký hiệu

, có nhiều phương pháp xây
dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng phương phương pháp tiên đề.
Gọi

là trường số thực. Ký hiệu

là tập hợp các cặp
( , )ab
với
,ab
.
Trong

định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:

( , ) ( , ) ( , )
( , )*( , ) ( , )

là tập con của tập số phức

và

được xem
là một mở rộng của

. Ký hiệu
i
là cặp
(0,1)
. Ta
có
2
(0,1)*(0,1) ( 1,0) 1i     
.
Số
i
được gọi là đơn vị ảo, tất cả các số phức dạng
*ai
được gọi là các
số ảo (thuần ảo).

1.2.1.3. Một số khái niệm trong trường số phức

.
Dạng đại số của số phức
Trong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo
i
đặc trưng bởi biểu

Gọi
;'z a bi z c di   
khi đó:
Hiệu của
z
và
'z
ký hiệu là
'zz
:

' ( ) ( )z z a c b d i    
.
Nếu
'0zz
thì
'z
được gọi là số đối của số phức
z
, ký hiệu là
z
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

9
Với mọi số phức
z a bi
khác 0, tồn tại duy nhất một số phức
'z

ký hiệu là
'
z
z
là số phức
1
2 2 2 2
.'
'
z ac bd cb ad
z z i
z c d c d


  


Lũy thừa với số mũ n nguyên của số phức
z
, ký hiệu
n
z
là số phức xác định
như sau:
- Nếu
n
là số nguyên dương thì:
.
n
n

z
là số phức
'z
sao
cho:

'
n
zzSố phức liên hợp

a) Định nghĩa:
Cho số phức
z a bi
, số phức có dạng
a bi
được gọi là số phức liên
hợp của số phức
z
, ký hiệu là
z
.
b) Các tính chất:

z
là số thực khi và chỉ khi
zz
.

zz  


. ' . 'z z z z


11
'
'
z
z






'
'
zz
z
z



Mô đun của một số phức.


z
OM

hay
22
a bi a b  

Giả sử:

1 1 1 1
2 2 2 2
( , )
( , )
A
B
z a bi A a b
z a b i B a b
  
  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

11

B A B A
AB OB OA z z z z AB      
  

Nhận xét

z
zz
zz

với
' 0;z z z



Argumen của một số phức khác 0

a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng phức

, mỗi số phức
z a bi
được biểu diễn bởi
một điểm duy nhất
( ; )M a b
. Khi
0z 
ta nhận được véctơ
OM


Góc định hướng
( , )i OM


 



.
Người ta thường coi acgumen là giá trị không âm nhỏ nhất của

.
b) Cách xác định acgumen của số phức
z

Đặt
22
r OM z a b   
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

12
Ta có các hệ thức
cos
sin
ar
br























c) Tính chất của acgumen

ar ( ) ar ( )g z g z


ar ( ) ar ( )g z g z

  


ar ( ) ar ( )g z g z

  









ta được
( os isin )z r c


(trong đó
;rz


là acgumen của
z
). Số phức
( os isin )z r c


được gọi là dạng lượng giác của số phức
z
.
Chú ý:
- Số phức 0 không có dạng lượng giác.
- Số phức
z
có mođun bằng 1 là
os isinzc


z r c
n n n n
   
   
   
   
   
   

Với
0,1,2, , 1.kn(cos isin )
nn
z r n n


(Công thức Moivre)
Lưu ý, ứng với mỗi giá trị của
k
ta ký hiệu
n
z
là
k
z
.
Căn bậc n của mỗi số phức
0z 

n
n
n
n
nn
n
n
z n i n
z n i n
z
z z z
z
n
z
z
z z z
z
n
i i iz










  



Xét hàm số
:f 
được xác định bởi:
( ) os isinfc
  

. Hàm
()f

thỏa mãn các tính chất:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

14

( ') ( ). ( ')f f f
   



'( ) ( )f if


(
'( )f

là đạo hàm của
()f

+
1
i
e


và
arg( )
i
e




+
ii
ee




c)Tính chất

()
.
i i i
e e e
   



c





và
sin
2
ii
ee
i






1.2.2. Tình hình thực tiễn về rèn luyện KN ứng dụng số phức vào giải toán
ở trường THPT
Qua tìm hiểu việc dạy và học toán ở các trường THPT: Lục Nam,
Phương Sơn, Cẩm Lý và Tứ Sơn của Huyện Lục Nam, Tỉnh Bắc Giang,
chúng tôi thấy: Việc ứng dụng số phức vào giải toán được dạy và học rất ít, cụ
thể là chỉ dừng lại ở bài toán hạ bậc
sin
k
x
hoặc
os
k

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

16
CHƢƠNG 2 – RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở THPT

2.1. Định hƣớng sƣ phạm
Căn cứ vào nội dung (lý thuyết và bài tập) số phức trong chương trình,
SGK toán THPT hiện hành ta có thể khai thác các ứng dụng của chúng để giải
các dạng toán khác.
Trong nội bộ môn toán ở trường phổ thông, có nhiều lĩnh vực như: đại
số, lượng giác, giải tích, hình học, … liên quan đến số phức.
Một trong những nhiệm vụ của giáo dục phổ thông hiện nay là tăng
cường tính ứng dụng và thực tiễn.
Trong các kì thi có rất nhiều bài toán có thể ứng dụng công cụ số phức
để giải một cách ngắn ngọn, xúc tích.
Theo định hướng này, ở chương 2, chúng tôi tiến hành:
+ Xác định một số kĩ năng ứng dụng số phức để giải một số dạng toán
trong trường phổ thông.
+ Chọn lọc xây dựng hệ thống bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng trên.
2.2. Một số KN ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT

1 1 2 2
( sin , sin , , sin )
nn
f a k x a k x a k x
sang dạng số phức
Đối với một số bài toán lượng giác được cho bởi hai biểu thức dạng:
1 1 2 2
( cos , cos , , cos )
nn
f a k x a k x a k x
(1) và
1 1 2 2
( sin , sin , , sin )
nn
f a k x a k x a k x
(2), ta
nhân biểu thức (2) với
i
rồi cộng với (1) sẽ được biểu thức có chứa số
phức
12
( , , , )
n
f z z z
trong đó
(cos sin )
j j j j
z a k x i k x
.
Kỹ năng 2.


2
1
1 (cos is ) ( os2 is 2 ) (cos isin )
1 (cos isin ) (cos isin ) (cos isin )
1 (cos isin ) [1 cos( 1) ]-isin( 1)
1 (cos isin ) (1 cos ) isin
1
[1 os( 1) sin( 1) ][
2 2cos
n
n
x inx c x in x nx nx
x x x x x x
x x n x n x
x x x x
c n x i n x
x

       
       
    

   
   

2
2
22
2

    
       

2
1) 1 (2 1)
sin ] [2sin os 2 os sin ]i=
2 2 2 2 2 2
4sin
2
1 (2 1) 1 (2 1)
[sin sin ]+ [cos os ]i=
2 2 2 2
2sin 2sin
22
1 ( 1) 1 ( 1)
[sin cos ]+ [sin sin ]i
2 2 2 2
sin sin
22
x x x x n x x
cc
x
x n x x n x
c
xx
n x nx n x nx
xx





19
Nếu bài toán chỉ yêu cầu rút gọn tổng a) (không cho tổngb)) thì ta vẫn
có thể xét tổng trên.
Ví dụ 2: Tính tổng
0
cos
n
k
nn
k
s C k




với
[0, ]



Bài giải
Đặt
0
os isin
sin
n
k
nn
k


  

(1)
Mặt khác, ta có
2
1 1 os isin 2cos 2 sin os
2 2 2
z c i c
  

     2cos cos sin
2 2 2
i
  





Do
[0, ]


. Từ (1) suy ra:

2cos cos isin





Kỹ năng 3.
Chuyển biểu thức lượng giác dạng
(sin ,cos ,tan ,cot )f x x x x
   
sang bài
toán chứa biểu thức số phức
( , )g z z

Đặt
cos sinz x i x
, ta có
cos sinz x i x
từ đó ta suy ra được các biểu
thức:
cos
2
zz
x


,
sin
2