Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài :
Trong chương trình Đại Số 10, việc giải các bài hệ phương trình cụ thể là
hệ phương trình bậc hai thường không quá khó. Để làm tốt bài toán này đòi hỏi
học sinh phải nắm vững kiến thức giải hệ phương trình đơn giản như: hệ
phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai, hệ
phương trình đối xứng kiểu 1, hệ phương trình đối xứng kiểu 2, hệ đẳng cấp
Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong các đề thi Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu
học sinh phải làm tốt được dạng toán này là hết sức cần thiết.
Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học
môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh.
Vì vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách
tinh giản kiến thức, thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng
dụng, liên hệ thực tế. Các kiến thức phải dễ nhớ, dễ hiểu và phải phù hợp với
việc nhận thức của các em. Thông qua kiến thức mà người giáo viên đã tinh lọc,
qua ứng dụng, thực hành các em sẽ lĩnh hội những tri thức toán học một cách dễ
dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức một cách vững chắc, tạo cho các em niềm say
mê, hứng thú trong học tập, trong việc làm. Khi chúng ta đã tinh lọc kiến thức
một cách gọn gàng, ứng dụng thực tế một cách thường xuyên, khoa học thì chắc
chắn chất lượng dạy học môn toán sẽ ngày một nâng cao.
Năm học 2012-2013, tôi được ban chuyên môn phân công giảng dạy môn
Toán tại lớp 10C1; 10C2; 10C3. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy rằng
khả năng vận dụng, tư duy cuả học sinh con rất hạn chế, đặc biệt là việc khai
thác, áp dụng linh họat các kiến thức. Các em mới chỉ có thể làm được các bài
tập tương tự ví dụ trong sách giáo khoa, hoặc các bài tương tự mà giáo viên đã
chữa theo cách nhớ lời giải mà không tự tìm được lời giải
Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy các em chỉ biết cách giải những bài
toán thuần túy. Nếu tôi đưa ra bài toán khác đi một chút thì các em lúng túng

tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
2. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung bài toán trong SGK
toán 10 mà tôi cần khai thác
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua
các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
2

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận
1. Vị trí của môn Toán trong nhà trường :
Môn toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa
học, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận
thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người.
Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian
trong chương trình học của học sinh
Môn toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu
có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người.
Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp
suy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người
phát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trong
thời đại mới.
2. Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT.
- Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay

tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các em. Kiểu dạy này người
giáo viên phải thật sự là một người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, đó là người định
hướng, tổ chức ra những tình huống học tập nó kích thích óc tò mò và tư duy
độc lập, phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ. Muốn các em học
được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vận
dụng các phương pháp sao cho phù hợp.
Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trải qua quá trình tự
rèn luyện, phấn đấu không ngừng mới có được. Tuy nhiên, việc đúc kết kinh
nghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy, những ngày tháng miệt mài
cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng có kinh nghiệm vững
vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ sở để học tập, học
tập nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà.
II. Cơ sở thực tiển:
Bên cạnh những học sinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình
tìm tòi, khám phá, sáng tạo thì lại có một bộ phận không nhỏ học sinh lại học
yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có năng lực thật
sự, đa dạng trong phương pháp, biết tổ chức, thiết kế và trân trọng qua từng tiết
dạy.
Theo chúng tôi, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, người
giáo viên phải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng
phương pháp, tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao theo
dạng chuyên đề và phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
4

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
PHẦN I: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

,
D D
y
x
x y= =
- Nếu
D 0=
và
2 2
D D 0
x y
+ ≠
thì hệ vô nghiệm
- Nếu
D D D 0
x y
= = =
thì hệ
ax by c⇔ + =
(vô số nghiệm)
II. Hệ phương trình đối xứng loại I
II.1. Định nghĩa. Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ pt có dạng
( ; ) 0
( ; ) 0
f x y
g x y
=


=

( ; ) 0
( ; ) 0
f x y
f y x
=


=

trong đó
( ; )f x y
là một biểu thức chứa hai biến x và y.
III.2. Cách giải.
- Bước 1. Trừ vế hai pt ta được
( ; ) ( ; ) 0f x y f y x− =
(*)
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
5

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
- Bước 2. Đưa phương trình (*) về dạng tích
( ) ( ; ) 0x y g x y− =
- Bước 3. Xét hai trường hợp.
TH 1. x = y thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp
TH 2.
( ; ) 0g x y =
kết hợp với
( ; ) ( ; ) 0f x y f y x+ =

2 2
' ' ' '
' ' ' '
ad x bd xy cd y dd
da x db xy dc y dd

+ + =


+ + =


- Bước 2. Trừ vế hai phương trình ta được
2 2
0Ax Bxy Cy+ + =
(*)
- Bước 3. Giải phương trình (*) ta sẽ biểu diễn được x theo y
- Bước 4. Thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp
* Chú ý
- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn.
- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được
bằng cách đặt
, 0y tx x= ≠
hoặc đặt
, 0x ty y= ≠
.
- Ta cũng có thể cân bằng số hạng chứa
2
x
(hoặc chứa

trình bậc nhất hai ẩn”
Khi học sinh hoàn thành lời giải trên bảng ta bắt đầu sửa lời giải:
Cách 1:
Từ (2) rút ra x = 6 – 3y (3) thế vào (1)
(GV: Nên rút x vì khi đó biểu thức sau khi rút sẽ gọn hơn)
Ta được :
2 2 2 2 2
(6 3 ) 9 18 36 36 9 9 18 2 1 0y y y y y y y− + = ⇔ − + + = ⇔ − + =
(*)

1
21
==⇔ yy
thay vào biểu thức (3) ta có : x = 3.
Vây hệ có nghiệm duy nhất :
3
1
x
y
=


=

GV:còn cách giải nào khác để giải hệ trên không?
GV:Yêu cầu học sinh nhận xét về các số hạng tương ứng ở hai phương trình(1)
và (2).
Rõ ràng đây không phải là hệ đối xứng với hai ẩn x,y, nhưng hãy tìm ẩn mới
để hệ đối xứng. Từ đó ta có cách 2:
Cách 2: Hệ (1.2)

+ =

+ =


2
6
( ) 2 18
9
6
x t
x t xt
xt
x t
+ =

+ − =

⇔ ⇔
 
=
+ =


Vậy x, t là nghiệm của phương trình
2
6 9 0x x− + =
(**)
1 2
3x x⇔ = =

≥+ yx
vậy PT
2 2
9 0x y+ =
có nghiệm
x=y=0
nhưng khi đó :
3 6x y+ ≠
nên hệ VN
GV:Từ PT(*) ở cách 1và(**) ở cách 2 ta thấy chúng đều có nghiệm kép hay hai
PT đó đều là “danh giới của sự vô ngiệm”.
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
7

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Vì vây ta phán đoán thêm một cách giải nữa của hệ, đó là phương pháp đánh
giá.
Vấn đề bây giờ là phải đánh giá như thế nào ?
Ta để ý : Hạng tử thứ nhất của PT thứ nhất là
2
x
Hạng tử thứ nhất của PT thứ hai là x
Hạng tử thứ hai của PT thứ nhất là
2 2
9 (3 )y y=
Hạng tử thứ hai của PT thứ hai là 3y
Ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức liên hệ giữa các số a,b và
2

22
,ba
.Đó là :
( )
22
,, baubau +==
→
→
Vậy nếu chọn
( )
bavuv +=⇒=
→→→
.1,1
. Từ đó gợi cho ta cách giải 4.
Cách 4:
Đặt
( ) ( )
,3 ; 1,1u x y v
→ →
= =

( )
2
2
3 ; 2;
. 3
u x y v
u v x y
→ →
→ →

ở bên phải là độ lớn của một véc tơ.
Vậy ta được :
( )
2
2
3 2. 3x y x y+ ≤ +

( )
( )
2
2 2
3 2. 9.x y x y⇔ + ≤ +
(5) .
(Trở lại bất đẳng thức (4)), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
‌
o
01cos =⇒=
αα
hoặc
→→
⇔= vu
o
;180
α
cùng phương hay tồn tại

Rk ∈
để :
.1
. 3 3; 1.

dbcavu +=
→→
do: ‌‌‌‌‌
→→
→→
≤ vuvu
nên
( )
( ) ( )
2222
2
2222
dcbadbcadcbadbca ++≤+⇔++≤+

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
):(;
0
.
.
0
.





==⇔
==


22
2
22
babahaybaba +≤++≤+
(***)
từ đó ta có cách 5:
Cách 5: Áp dụng BĐT (***) với a = x và b = 3.y ta sẽ trở về BĐT(4)
GV:Nếu để ý đến phương trình (1) ta thấy VT có dạng : x
2
+(3y)
2
. Điều đó lại
gợi cho ta liên tưởng đến một công thức trong hình học
1cossin
22
=+
αα

)1800(
oo
<≤
α
(SGK hình học 10)
Nhưng vấn đề vế trái của công thức là 1 , đế được điều đó ta chia hai vế của
phương trình (1) cho 18 khi đó:
(1)
2 2
1
3 2 2
x y

Từ PT(1)
2
2
6
18
( )
3 6
4 18
x
x
y
y

<

≤

⇒ ⇒ ∗
 
<
≤



.
Nếu có một trong hai số x hoặc 3y nhỏ hơn không thì từ PT(2):x+3y=6 dẫn
đến số còn lại phải lớn hơn 6, điều này mâu thuẫn với (*). Vậy ta được
0 1
3 2
x

2 3 2 2
y x y
α α α α
   
= − = − = ⇒ = =
 ÷  ÷
   
Ta được
3 2 sin
2 2 2 cos
x
y
α
α

=


=


thay vào phương trình (2) ta được :
2cossin =+
αα
GV: Ta đã có bài tập: Với
oo
1800 <≤
α
thì
o

o
,y
o
) là nghiệm của hệ phương trình, tức
2 2
0 0
0 0
9 18
3 6
x y
x y

+ =

+ =

Ta xét phương trình bậc hai ẩn α :
( ) ( )
2 2
0 0
3 0x y
α α
− + − =
(**)
Rõ ràng PT đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là : α = x
0
= 3y
0
Mặt khác ta thấy
phương trình (**)

Còn phương trình thứ hai của hệ : x+t = 6 là phương trình đường thẳng
cắt trục Ox tại điểm A(6,0) cắt trục Ot tại điểm B(0,6) . Khi thử biểu diễn hình
học của hai đường, trên hệ trục toạ độ Oxt ta thấy đường thẳng tiếp xúc với
đường tròn, vậy ta có cách giải thứ 8 :
Cách 8:
Đường thẳng x+t=6 cắt Ox tại điểm A và Ot tại điểm B , khi đó ∆OAB là tam
giác vuông cân, suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng có phương trình :
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
10

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
x+t =6 là độ dài đường cao OH =
2 2
6 6
3 2
2
1 1
= =
+
và bằng bán kính của
đường tròn có phương trình
2 2
18x t+ =
, vậy đường thẳng tiếp xúc với đường
tròn tại điểm H, hay nghiệm của hệ
2 2
18
6


⇒
 
+ =


= =


GV: Từ đó ta sẽ có cách giải tiếp theo.
Cách 9:
Nhân phương trình (2) với -6 sau đó cộng vế với vế vào phương trình (1) ta
được:
( ) ( )
2 2
2 2
3
6 9 18 18 3 9 1 0
1
x
x x y y x y
y
=

− + − = − ⇔ − + − = ⇔

=

thế vào hệ (1.2) thấy thoả mãn, vậy hệ có nghiệm duy nhất x=3 ,y=1.
II.Mở rộng và khai thác sẽ cho ta những bài toán mới.

18y
2
- 36y+ 36- m = 0
GV: ta nên chia hai vế cho 18 để được phương trình với hệ số gọn hơn:

2
2 2 0
18
m
y y− + − =
(7
’
)
ta để ý :với mỗi nghiệm y
0
của phương trình (7
’
) ta được một nghiệm (x
o
,y
o
)
Vậy để hệ (6, 7) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (7
’
) có nghiệm tức là

0 18m
′
∆ ≥ ⇔ ≥


+ = =


Để hệ có nghiệm cần và đủ là:

2 2
4 6 4(18 ) 18
2
m
S P m≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥
GV: yêu cầu học sinh phân tích để tìm cách giải tiếp theo dựa theo các cách
của bài toán ban đầu (về nhà làm)
Bài toán 2: Tìm m để hệ (6.7) có nghiệm duy nhất
Bài làm:
Cách 1:
Với việc phân tích bài toán 1 ta thấy để hệ có nghiệm duy nhất cần và đủ là
∆
’
=0
18m
⇔ =
GV:để rèn luyện thói quen kiểm tra kết quả sau khi giải toán và khả năng tư
duy cho hoc sinh, ở đây giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh như :
GV:Ta thấy đáp số là đáng tin cậy .Vì sao?
TL: vì m= 18 ta trở lại bài toán gải hệ phương trình ban đầu
GV: còn nếu học sinh làm ra đáp số không phải là 18 GV khẳng định ngay kết
quả là sai mặc dù chưa cần kiểm tra các bước tính toán .
GV:yêu cầu học sinh phân tích cách 2 và cách 8 của bài toán ban đầu để tìm
cách 2 và 3 của bài này. (về nhà làm)
GV: với phép đặt :3y = t ta đã đưa hệ về dạng hệ đối xứng

0
, x
o
) cũng là nghiệm của hệ, vậy để hệ
có nghiệm duy nhất cần x
0
= t
o
2
18
2
3
o
o
m
x
m
x

=

⇒ ⇔ =


=

ĐK đủ : Thay m =18 vào hệ ta thấy thoả mãn
Vậy m=18 là kết quả cần tìm
GV: Đây là một phương pháp rất quan trọng để giải bài toán nghiệm duy nhất
của hệ đối xứng .

aaxyyx
ayxyx
b)



−+−=+−
=++
2
200582822323
22)(
.
aayxxy
ayxyx
Bài toán 3: Tìm m đê hệ (6.7) có hai nghiệm (x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
) sao cho
21
0 yy <<
Bài làm :
Cách 1:
Để hệ có 2 nghiệm (x
1
,y

6
6
m
x t
x t m
x t
x t


= −
+ =

⇔
 
+ =


+ =

Vây để hệ ban đầu có hai nghiệm thoả mãn điều kiện
21
0 yy <<
thì hệ này phải có hai nghiệm thoả mãn
21
0 tt <<
Vì vậy phương trình :
2
6 18 0
2
m

≤ <
GV: Ta lại thay đổi yêu cầu bài toán từ ràng buộc của y thay bằng ràng buộc
của x tức là:
Bài toán 5 : Tìm m để hệ phương trình (6.7) có 2 nghiệm (x
1
,y
1
) và (x
2
,y
2
)
sao cho : 0 < x
1
, x
2
.
GV : Đây là vấn đề đặt lên cho học sinh vướng mắc.
Vấn đề ở đây là ta đưa về phương trình ẩn y trong đó yêu cầu là ràng buộc của
x.
Vì vậy ta có hai hướng giải quyết :
- Chuyển ràng buộc của x thành ràng buộc của y.
- Chuyển thành phương trình của x.
Ta thấy cách 2 khả thi hơn.
Bài làm:
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
13

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên

2

⇔






>
>
≥∆
0
0
0
'
P
S

⇔

18 36m
≤ <
(GV:Tất nhiên bài toán này có thể giải dựa theo cách 2 và cách 3 của bài toán
3)
Tiếp tục ta mở rộng cho sự ràng buộc của x và y.
Bài toán 6 : Tìm m để hệ phương trình (6.7) có 2 nghiệm (x
1
,y
1

2
> 0 và y
1
,y
2
> 0.
Vậy những giá trị của m thoả mãn cả hai bài toán 4 và 5 thì thoả mãn bài toán
6, đồng thời thoả mãn bài toán 6 thì thoả mãn cả hai bài toán 4 và 5.
Vậy giá trị cần tìm của m là giao hai tập giá trị của m ở hai bài toán 4 và 5.
Tức là :
[
)
[
)
[
)
18;36 18;36 18;36∩ =
GV: Từ bài tập 6 với nhận xét: y = 6-3x nếu x> 0
⇔
y< 2 ta tiếp tục đưa ra
bài toán sau:
Bài toán 7: Tìm m để hệ phương trình (6.7) có 2 nghiệm (x
1
,y
1
) và (x
2
,y
2
)

,0
,0
yy
xx

Đây chính là bài toán 6 vậy ta suy ra kết quả m∈[ 18,36)
GV: Ta lại phân tích bài toán 7
Ta thấy bài toán 7 tương đương với bài toán : Tìm m để phương trình bậc 2 :
y
2
– 2y + 2 -
18
m
= 0 có 2 nghiệm y
1
,y
2
thoã mãn điều kiện 0 < y
1
, y
2
<2 (*)
Đây rõ ràng là bài toán so sánh số 2 với các nghiệm của phương trình bậc hai.
Ta thử phân tích xem mấu chốt ở đâu mà ta đã chuyển sang được bài toán (*) .
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
14

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên

2
+ b(y+α) + c
= ay
2
+ (b+2aα) y+aα
2
+bα +c
Vậy bài toán 9 tương đương với bài toán sau:
Tìm điều kiện để phương trình g(y) = 0 có 2 nghiệm y
1
< 0 < y
2⇔
a(aα
2
+bα +c) <0
⇔
a.f(α) <0.
Bài toán 9: Tìm điều kiện để phương trình (I) có 2 nghiệm x
1
, x
2
< α
Đặt y= x- α, vậy bài toán tương đương với bài toán sau:
Tìm điều kiện để g(y) = 0 có 2 nghiệm âm
⇔



0α
0
α2
04α4α4α4α4
22222
)(f.a
a
ab
acabaabab
⇔








>
<+−
≥−
0α
0α2
04
2
)(f.a
a
b
acb


1
,y
1
),(x
2
,y
2
) thoã
mãn điều kiện : y
2
1
+y
2
2
= 20 .(*)
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
15

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Bài làm:
Để hệ có 2 nghiệm (x
1
,y
1
),(x
2
,y
2

18
m
) = 20
⇔
4- 4 +
9
m
=20
⇔
m = 180.
Vậy m = 180 là giá trị cần tìm.
Bài toán 12: Tìm m để hệ phương trình (6-7) có 2 nghiệm (x
1
,y
1
) và (x
2
,y
2
)
thoã mãn điều kiện : x
1
2
+x
2
2
+y
1
2
+y

36
2
m−
) = m
Do y
1
,y
2
là nghiệm của phương trình: y
2
-2y+2-
18
m
=0 nên
2 2
1 2
9
m
y y+ =
Vậy (**)
⇔
20 10 180 18
9
m
m m m+ = ⇔ = ⇔ =
Vậy m=18 là giá trị cần tìm của m.
Cách 2 :
(x,y) là nghiệm của hệ nên ta có : x + 3y = 6 hay x = 6 - 3y
Vậy (**)
⇔

2
2
= 20

⇔
72 -36(y
1
+y
2
) + 10(y
1
2
+y
2
2
) =20

⇔
72 - 36 . 3 + 10 . m/9 = 0
⇔
m=18
GV: Sử dụng định nghĩa của hệ ta tiếp tục đưa ra các bài toán sau:
Bài toán 13: Tìm m để hệ pt (6-7) có 2 nghiệm (x
1
,y
1
) và (x
2
,y
2

x
1
2
+ x
2
2
+y
1
2
+y
2
2
+( x
2
2
+ 9y
2
2
) = 190

⇔

19
190 190 90
9 9
m m
m m m+ + = ⇔ = ⇔ =
(thõa mãn
18m
≥

2
+ 9y
2
) = 27(x-3y)

⇔
(x-3y) 6m = 27 (x- 3y)
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
16

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên

⇔
(x-3y) (6m-27) =0
⇔

9
2
3
m
x y

=


=




=


=

lo¹i
m 8⇒
m =18 là giá trị cần tìm.
Bài toán 15: Gọi x,y là nghiệm của hệ pt:
2 2
9 18
3
x y
x y m

+ =

+ =


Tìm m để A=x
9 3 3 9y y x+ + +
đạt giá trị lớn nhất.
Bài làm: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
A
2

x=3y=3
⇔
m = 6
⇒
Max A=12
3
GV: Ta vẫn chưa dừng lại ở đây, ta sẽ tìm cách tổng quát bài toán ban đầu:
Từ việc xem xét cách giải 3 và cách giải 7 ta thấy có thể tổng quát bài toán
như sau:
Bài toán 1: Giải hệ phương trình:
2 2 2
1
9
2
3
x y k
x y k

+ =



+ =


( )
Rk ∈
GV:Ta lại nhận xét có thể thay thê hệ số gắn với x,y để được bài toán tổng
quát hơn.
Bài toán 2: Giải hệ phương trình

nn
nn
αα
αα
11
2
22
2
1
1
2


(I)
);, ,(
1
Rk
n
∈
αα
Ví dụ1: Giải hệ phương trình





=++
=++
nxx
nxx

GV: Tiếp tục ta còn có thể mở rộng hệ như sau:
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
17

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Bài toán 4: Giải hệ phương trình:







=+
=++
∑
=
kxx
k
xx
nn
n
i
i
n
αα
α
11

mxx
n
n


1
2
1
2

)(
*
Nn ∈
vô nghiệm.
Cách 1: Theo BĐT Bunhiacôpxki : n( x
1
2
+ +x
2
n
) ≥ ( x
1
2
+ +x
2
n
)
2
⇔
n . m ≥ n

0n
)
2
= 0.
Ta thấy nếu phương trình có nghiệm thì chỉ có nghiệm duy nhất.
Mặt khác, phương trình
⇔
nt
2
-2t( x
01
+ + x
0n
) +
n
xx
0
2
01
2
++
= 0
⇔
nt
2
-2nt +m = 0.
Vậy phương trình này phải không có quá 1 nghiệm, tức là
∆’ ≤ 0
⇔
n

, ,x
n-1
, α)
Khi đó hệ trở thành :





−=++
−=++
−
−
α
α
11
2
2
1
1
2
nxx
mxx
n
n


(II)
)(
*

2
)
Với n ≥ 2 và n ≥ m thì : ∆’ ≥ 0 nên α là luôn xác định được , khi đó theo bài
toán 3 thì hệ (II) với các ẩn x
1
, ,x
n-1
có nghiệm : x
i
=
1−
α−
n
n
(i=
11 −n,
)
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
18

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Vậy hệ (*) có nghiệm (
α
−
α−
−
α−
;

2
( **)
Có nghiệm là m ≥ a
2
/n (Yêu cầu học sinh về nhà làm)
GV: Bây giờ ta thử thay hệ phương trình bởi hệ bất phương trình .
Bài toán 8: Giải hệ bất phương trình:





≥α++α
≤α++α
kxx
k
n
xx
nn
n
n


11
2
2
2
1
2
1




=++
<++
nxx
mxx
n
n


1
2
1
2
(***)
Làm tương tự như bài 5 ta suy ra điều kiện cần để hệ có nghiệm là n> m.
Ta chứng minh với điều kiện này thì hệ (***) có nghiệm . Thật vậy với m>
n ta sẽ chuyển bât phương trình thành phương trình để tìm nghiệm , ta chon
số ε sao cho m > ε > n.
Khi đó ta tìm nghiệm của hệ pt:





=++
ε=++
nxx
xx

nn
n
n


11
2
2
1
2
1
2
là m > n.
GV: Lại tổng quát bài toán trên ta có bài toán sau:
Bài toán 10: Tìm điều kiện cần và đủ để hệ :





>α++α
<α++α
axx
mxx
nn
n
n


11

toán mới trên nền kiến thức cũ.
2.3. Kết quả:
2.3.1. Bảng tổng hợp kết quả trước khi áp dụng “Hướng dẫn học sinh biết
cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải cho một bài toán giải hệ phương
trình” vào giảng dạy thì mức độ học sinh biết cách khai thác và mở rộng
nhiều cách giải như sau:
Mức độ HS biết
cách khai
thác và mở
rộng bài
toán

Lớp
Sĩ số
Số
lượng
HS biết
cách
khai
thác và
mở
rộng
tốt
Tỉ
lệ
(%)
Số lượng
HS biết
cách
khai thác

(%)
Lớp 10 C1
Sĩ số: 43
2 4,6 8 18,6 18 41,9 15 34,9
Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
20

Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Sáng kiến kinh nghiệm Phạm Thị Liên
Lớp 10 C2
Sĩ số: 43
0 0 7 16,3 16 37,2 20 46,5
Lớp 10 C3
Sĩ số: 44
1 2,3 8 18,2 18 40,9 17 38,6
2.3.2. Bảng tổng hợp kết quả sau khi tiến hành dạy thực nghiệm 3tiết lần
lượt ở 3 lớp thì mức độ làm bài của học sinh như sau.
Mức độ HS
biết cách khai
thác và mở
rộng
bài toán
Lớp
Sĩ số

Số
lượng
HS biết
cách

Số
lượng
HS biết
cách
khai
thác và
mở rộng
ở mức
độ yếu
Tỉ
lệ
(%)
Lớp 10 C1
Sĩ số: 43
12 27,9 18 41,9 13 30,2 0 0
Lớp 10 C2
Sĩ số: 43
4 9,3 16 37,2 19 44,2 4 9,3
Lớp 10 C3
Sĩ số: 44
9 20,5 20 45,5 13 29,5 2 4,5
C. KẾT LUẬN.
I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
Như vậy, từ kết quả của bảng nghiên cứu trên chúng ta nhận thấy rằng:
Với một giờ dạy và học như trước đây, khi chưa hướng dẫn cho học sinh
biết cách khai thác và mở rông thì mức độ làm bài của học sinh là rất hạn chế,
số lượng học sinh biết cách khai thác tốt và khá rất ít, chủ yếu là trung bình và
yếu. Thế nhưng khi chúng ta hướng dẫn cho học sinh biết cách khai thác và mở
rộng vào bài giảng thì kết quả đã khả quan hơn rất nhiều. Cụ thể số lượng học
sinh biết cách khai thác và mở rộng ở mức độ tốt đã tăng lên nhiều: Lớp 10C1

không phủ nhận một thực tế rằng học sinh ở miền núi, đặc biệt là học sinh của
trường THPT Thạch Thành IV nằm trên địa bàn xã Thạch Quảng do nhiều
nguyên nhân tác động: Điều kiện kinh tế khó khăn, nhiều em vẫn ngại khi đến
trường, thậm chí có những em đã mất gốc, nên việc khắc phục rất khó khăn.
II. KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT.
Qua quá trình giảng dạy, quá trình nghiên cứu và thực nghiệm trên tôi xin
được mạnh dạn kiến nghị và đề xuất một số ý kiến đối với Ban giám hiệu
Trường THPT Thạch Thành IV, với các tổ chức, cơ quan ban ngành có liên
quan như sau:
- Trong những năm học gần nhất nhà trường sẽ có một phòng thư viện
với trang bị đầy đủ các đầu sách: Ngoài sách giáo khoa, nhà trường nên mua
thêm những sách tham khảo, sách bồi dưỡng cho học sinh.
- Kính mong hội thường trực phụ huynh học sinh Trường THPT Thạch
Thành IV thường xuyên có những hoạt động tuyên truyền đến các bậc phụ
huynh và học sinh để tất cả mọi người đều nhận thấy tầm quan trọng của việc
học tập. Nếu thường xuyên có những hoạt động tuyên truyền, vận động như vậy
thì tôi tin chắc rằng các em sẽ tới trường một cách đều đặn hơn.
Đó là những suy nghĩ của riêng cá nhân tôi. Vì vậy, rất mong nhận được ý
kiến chỉ đạo chân thành và quý báu từ phía bộ phận chuyên môn của tổ tự
nhiên, của Ban giám hiệu Trường THPT Thạch Thành IV, của Sở giáo dục và
đào tạo Thanh Hoá.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Thạch Quảng, ngày 16 tháng 05 năm 2013
Người thực hiện.
Phạm Thị Liên

Đề tài:“Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”
22