Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung Năm học : 2012 - 2013 1
S GIO DC - O TO THANH HểA
TRNG THPT NGUYN HONG

SNG KIN KINH NGHIM TI

RẩN LUYN CHO HC SINH KH NNG D ON, SUY
LUN Cể Lí V GII QUYT VN TRONG CC
PHNG PHP GII PHNG TRèNH V BT PHNG
TRèNH Vễ T

Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nớc đòi hỏi một cách
cấp bách phải nâng cao chất lợng giáo dục và đào tạo. Nền kinh tế nớc ta
đang chuyển từ cơ chế bao cấp sang cơ chế thị trờng có sự quản lý của Nhà
nớc. Công cuộc đổi mới này đòi hỏi phải có sự đổi mới về hệ thống giáo dục,
bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có những đổi mới căn bản về PPDH.
Tuy nhiên, cũng phải thừa nhận rằng, thực tiễn dạy học hiện nay vẫn đang còn
nhiều tồn tại phổ biến, đó là:
- Thầy thuyết trình tràn lan;
- Tri thức đợc truyền thụ dới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện;
- Thầy áp đặt, trò thụ động;
- Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của
ngời học;
- Không kiểm soát đợc việc học.
Vì vậy, trong dạy học Toán, phải chú ý tới cả hai phơng diện, suy luận
chứng minh và suy luận có lý thì mới khai thác đợc đầy đủ các tiềm năng môn
Toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện nh G. Polia phát biểu: Nếu
việc dạy Toán phản ánh mức độ nào đó việc hình thành Toán học nh thế nào,
thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, suy luận có lý.
Dự đoán, suy luận có lý có vai trò quan trọng trong quá trình phát triển t
duy học sinh. Nhng trong thực tế, nó cha đợc u tiên thích đáng xứng với vị
trí của nó. Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng do giáo viên cha ý
thức đợc tầm quan trọng của nó hoặc cha xây dựng đợc các biện pháp s
phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực dự đoán, suy luận có lý cho học sinh?
Một trong những công trình nổi tiếng nghiên cứu về dự đoán, suy luận có lý
là tác phẩm Toán học và những suy luận có lý của G. Polia. Tuy nhiên, các ví
dụ trong tác phẩm của ông chủ yếu thiên về lịch sử Toán (hầu hết các ví dụ mô
tả lại con đờng dẫn đến phát minh của các nhà khoa học), còn thiếu các ví dụ
phù hợp với học sinh phổ thông.
Vì những lý do trên đây, tôi chọn đề tài của SKKN là:
Rèn luyện cho học sinh khả năng dự đoán, suy luận có lý và giải quyết

thức lôgic các yếu tố toán học
Trong giảng dạy và học tập môn Toán hiện nay, do chỉ chú trọng đến việc
truyền thụ kiến thức nên SGK và bài giảng do giáo viên thiết kế đều trình bày
cho học sinh những kiến thức toán học ở dạng có sẵn, thờng không rõ ai phát
minh vào lúc nào và bằng cách nào; nhiệm vụ của giáo viên thờng là giảng để
học sinh hiểu rõ nội dung các kiến thức đó, rồi dùng suy diễn lôgic để chứng
minh chúng, vừa để cho học sinh tin kiến thức đó là đúng, đồng thời cũng cho
họ tập làm quen với chứng minh toán học.
Do đó SKKN có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi sau đây:
* Thế nào là dự đoán, suy luận và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp
giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ ?
* Vai trò của dự đoán và suy luận và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp
giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ
* Những con đờng thông dụng để tiến hành hoạt động dự đoán và suy luận
và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp giải phơng trình và bất phơng
trình vô tỷ là gì?
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung Năm học : 2012 - 2013 4
* Thực trạng của việc rèn luyện khả năng dự đoán, suy luận và giải quyết
vấn đề trong các phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ
* Dạy dự đoán và suy luận và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp giải
phơng trình và bất phơng trình vô tỷ cho học sinh nên tuân theo những quan
điểm nào?
* Phân tích vai trò của dự đoán và suy luận và giải quyết vấn đề trong các
phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ
2. Thực trạng của vấn đề
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngời xây dựng xã hội công nghiệp
hóa - hiện đại hóa với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc đẩy
Năm học : 2012 - 2013 5
pháp đó và tạo điều kiện cho học sinh thực hiện một số khâu trong quá trình tìm
tòi ở những mức độ khác nhau. Trên cơ sở đó, chúng ta đa ra hai mức độ thích
hợp trong việc dạy cho học sinh dự đoán, suy luận có lý: Thuyết trình phát hiện
và GQVĐ; Đàm thoại phát hiện và GQVĐ.
3.1 Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề
ở cấp độ thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra tình
huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy đặt vấn đề và trình bày quá trình
suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải). Thầy thuyết
trình lại cả quá trình tìm kiếm, dự đoán có lúc thành công, có lúc thất bại, phải
điều chỉnh phơng hớng một hoặc nhiều lần mới đi đến kết quả.
Ví dụ : Giải phơng trình :
2 2
1 1 2
x x x x


Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh Bài toán trên:
Giáo viên đa ra nhận định trong phơng trình có 2 biểu thức
2
1
x x

và
2
1
x x



Đối chiếu TXĐ (*) x =1 là nghiệm
+) Mặt khác do
2 2
1. 1 1
x x x x

nên sẽ có thêm một suy
luật có lý nữa là đặt ẩn phụ
Đặt :
2
1( 0)
t x x t

suy ra
2
1
1x x
t


Phơng trình :
1
2 1
t t
t

thoả mãn t > 0
Khi đó lụa chọn cách sau :
2 2

không phải đột nhiên đa ra ngay một lời giải đúng. Đó cũng là yếu tố làm nên
u điểm của phơng pháp thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề, nhờ nó
học sinh học đợc phơng pháp kiến tạo tri thức chứ không phải chỉ tiếp nhận
tri thức mà thôi.
3.2 Suy luận có lý nhằm phát triển t duy tìm phơng án mới
Dạy học theo phơng pháp mới - Vận dụng Lý thuyết tình huống - rất
phù hợp cho việc rèn luyện kỹ năng dự đoán, suy luận có lý. Bởi, với những bài
toán có chứa yếu tố tìm tòi, dự đoán, thờng đa hoạt động của học sinh về gần
với hoạt động nghiên cứu của các nhà khoa học. Theo đó, giáo viên không nên
trao ngay cho học sinh những tri thức cần thiết quy định trong chơng trình, mà
cần công phu chế biến nó thành tri thức dạy học sao cho có thể phát huy cao
nhất tính độc lập, tích cực, tự giác của học sinh.
Cụ thể trong đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng năm 2008 -2009 có
bài nh sau
Ví dụ: Giải phơng trình : 08563232
3
xx
( đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009)
Gặp bài toán nh vậy cách làm thông dụng nhất là học sinh hớng đến
phơng pháp đặt hai ẩn phụ cụ thể nh sau
điều kiện để phơng trình có nghĩa là (*)
5
6
056 xx
đặt 0,56,23
3
vxvxu và ta đi đến hệ phơng trình




3123
3


ttx
tx
khi đó
(**))22(3)56(3
(*))31(5)23(5
2
3
tx
tx



Lấy (*) +(**) ta đợc : 1011212
23
tttt
Khi đó nghiệm x= -2
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung Năm học : 2012 - 2013 7
Câu hỏi đặt ra cho học sinh là : Thuật toán nào đã giúp ta nhìn thấy đợc
cách đặt
1,2256
3123
3





, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
cos 1
u v



1 1
2 2
0
x y
k
x y

, chú ý tỉ số phải dơng
Đó là những ứng dụng hay đợc ẩn trong các biểu thức mà ai cũng có thể biết ,
ví dụ nh úng dụng của tích vô hớng để giải phơng trình vô tỷ
Ví dụ: Giải phơng trình 1231
2
xxxx
Điều kiện :
31



x

Đặt


3
1
2


013
22
xxx






121
2
xxx
= 0









21
21

u

)
1 1
2 2
0
x y
k
x y

, chú ý tỉ số phải dơng

Ví dụ: Giải phơng trình: 5501054
22
xxxx

55512
2
22
xx (1)
Trong hệ trục tọa độ Oxy xét các điểm A(2; 1); B(5; 5) và M(x; 0). Khi đó:
(1) ABMBMA
Mặt khác: với mọi ba điểm A, B, M ta luôn có ABMBMA
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng.
Theo Talet ta có:
4
5
4
3
5

hớng học sinh đến với biểu thức đó . Ta tạm gọi đó là nút thắt của bài toán ?
Vấn đề cần giải quyết là : biểu thức 32
2
xx nó có dạng quen quen là
2.a.b của hằng đẳng thức đáng nhớ . Tiếp theo cần phải tìm đâu để có a và b
trong phơng trình đã cho . Đó chính là phần còn lại của phơng trình , khi đó
giáo viên sẽ tháo nút thắt bằng biểu thức 32
2
xx hớng tới phơng pháp
đặt ẩn phụ quen thuộc
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung Năm học : 2012 - 2013 9
Cụ thể


012)3(3
12)3()323(93232
2
2
2
2222222


xxxx
xxxxxxxxxxxPT
Đặt 3
2
xxt ta có phơng trình hệ quả 4,3012






8
13
4
8163
4
43
22
2
x
x
xxx
x
xx loại
Kết luận: Phơng trình có nghiệm là x=1
Tóm lại, dạy ngời học chiếm lĩnh một kiến thức trong quá trình nảy
sinh, hình thành và phát triển không chỉ có nghĩa là để cho họ tự mình khám
phá ra kiến thức đó, mà còn bao hàm cả hình thức thầy giáo thuyết trình, phát
hiện và GQVĐ. Tuy nhiên, chắc chắn ta không thể thỏa mãn nếu trong toàn bộ
quá trình dạy học, ngời giáo viên chỉ sử dụng một cấp độ thuyết trình. Tỉ trọng
phần ngời học phát hiện và GQVĐ trong toàn bộ quá trình dạy học tùy thuộc
vào đặc điểm của môn học, vào trình độ học sinh và nhiều điều kiện khác.
3.4 Những quan điểm chủ đạo trong việc tập luyện cho học sinh dự
đoán, suy luận có lý
3.4.1 Quan điểm 1: Cần chú trọng tập luyện cho học sinh dự đoán suy
luận có lý trong những tình huống thích hợp.



3 6 3 (3 )(6 )
x x x x


3 6 2 (3 )(6 ) 9 6 (3 )(6 ) (3 )(6 )
x x x x x x x x















6
3
0)6)(3(
4)6)(3(
x
x
xx




3
5
01523
2
9
2
2
t
t
tt
t
t

t =-5 loại . Với t = 3 ta có 6,30)6)(3( xxxx
đối chiếu TXĐ kết luận phơng trình có 2 nghiệm x=3 và x=6

*) Dùng ẩn phụ chuyển phơng trình về hệ phơng trình với hai ẩn phụ
TXĐ
6 3
x


đặt
3, 0
6 , 0
u x u
v x v


3 0 3
6
6 0
x x
x
x











Đối chiếu TXĐ kết luận phơng trình có 2 nghiệm x=3 và x=6
Đơng nhiên các lời giải mà giáo viên đa ra là hoàn toàn đúng, nhng
không phải là tốt về phơng diện phơng pháp dạy học. Liệu học sinh sẽ học
đợc gì từ các Lời giải trên, khi mà bản thân họ không hiểu tại sao giáo viên lại
nhanh chóng sử dụng đợc
Sáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung Năm học : 2012 - 2013 11

Nhận xét:




111
22
xxxx
Đặt: )t( xxt 01
4
2


















)loại ( t

11
11
2
2








x
xx
xx
(tmđk)
t Với
2
51
ta có hệ phơng trình:
2
1
1
44
42
42





và
3
x

hay




111
22
xxxx chính dự đoán, suy luận có lý đã gợi ý cho học
sinh lựa chọn cách phân tích đó trong rất nhiều cách phân tích khác nhau. Ngoài
ra còn cung cấp cho học sinh kỹ năng biểu diễn nghiệm, khi ẩn phụ là biểu thức
nghiệm phức tạp nh x = 1 và )t(
tt
x
2
51
2
44






Thực tế dạy học cho thấy, rất nhiều giáo viên vì sợ thiếu thời gian nên
thờng áp đặt cho học sinh trớc những thao tác nh kẻ đờng phụ; biến đổi
thêm, bớt biểu thức; phân chia trờng hợp riêng; mà bỏ qua giai đoạn tìm tòi










Ví dụ: Giải phơng trình sau :
2 2
2 9 2 1 4
x x x x x


Giải:
Ta thấy :






2 2
2 9 2 1 2 4
x x x x x


4
x

x
x x x x
x x x
x
x x x x x















Vậy phơng trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
8
7

Ví dụ: Giải phơng trình :
2 2
2 1 1 3
x x x x x




Bớc 3: Nhận xét:
Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k

do đó
0
x
là nghiệm
Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k

do đó phơng trình vô nghiệm
Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k

do đó phơng trình vô nghiệm
Vậy
0
x
là nghiệm duy nhất của phơng trình

Hớng 2: thực hiện theo các bớc
Bớc 1: Chuyển phơng trình về dạng:



Bớc 2: Xét hàm số
( )
y f x

, dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
Bớc 3: Khi đó
( ) ( )
f u f v u v


Ví dụ: Giải phơng trình :





2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
x x x x x


Giải:
pt







f x f t x t

ta có thể
xây dựng đợc những phơng trình vô tỉ
Xuất phát từ hàm đơn điệu :


3 2
2 1
y f x x x

mọi
0
x

ta xây dựng phơng
trình :





3
3 2 2
3 1 2 1 2 3 1 (3 1) 1
f x f x x x x x

, Rút gọn ta đợc phơng
trình

3 2 3
2
2 7 5 4 2
3 1
x x x y
x y







cộng hai phơng trình ta
đợc:




3 2
2 1 1
x x

=
3 2
2
y y


Câu hởi đợc đa ra với học sinh là:

2 3
f t t t

, là hàm đồng biến trên R, ta có
1
5
xSáng kiến kinh nghiệm Ngời thc hiện : Nguyễn Văn Trung Năm học : 2012 - 2013 14
Ví dụ: Giải phơng trình
3 2 23
4 5 6 7 9 4
x x x x x


Giải . Đặt
23
7 9 4
y x x

, ta có hệ :

3 2
3
3
2 3

x








Ví dụ : Giải phơng trình :
9 5 4
x x


Với ví dụ trên học sinh sẽ t duy chủ yếu vào việc biên đổi tơng đơng .
Nhng ngoài cách làm đó thầy giáo có thể dẫn dắt học sinh ,t duy vào việc sử
dụng đạo hàm để giải
Cụ thể : điều kiện
4
x

đặt
( ) 9 4 5
f x x x


Ta có :
Năm học : 2012 - 2013 15
Nhng mặt khác, nếu thầy giáo biết rằng học sinh đã dự đoán đúng, thì
cũng không nên nói ngay là "Em đã dự đoán đúng!" thay vào đó, thầy có thể
nói: "Em có thể kiểm tra lại dự đoán của mình thêm một lần nữa không? bằng
việc tiếp tục thử thêm một trờng hợp nữa chẳng hạn!".
Ví dụ : Giải phơng trình

2
4 5 1
x x x


Gợi mở cho học sinh cách dự đoán , suy luận và giải quyết vấn đề
+) Nếu dùng phơng pháp nâng luỹ thừa thì vế trái là bậc 4 đầy đủ
+) Nếu đặt ẩn phụ thì ta u tiên lựa chọn cho cách đặt một ẩn phụ hay hai
ẩn phụ
Đặt
1 2;( 2)
x y y

( Vì vế trái chứa
2 2
4 5 ( 2) 1
x x x


để đa về hệ )
Ta có

yxx
xyy

Với y= x ta có :
2 2
4 5 3 5 0
x x x x x

PT vô nghiệm
Với y=-x-5 ta có
2 2
4 5 5 5 10 0
x x x x x

PT Vô nghiệm
Kết luận : phơng trình vô nghiệm
3.4.3 Quan điểm 3: Làm cho học sinh ý thức đợc ý nghĩa của hoạt động
dự đoán và suy luận có thể dẫn đến những sai lầm
Qua phân tích ở các phần trên, chúng ta thấy đợc vai trò của dự đoán,
suy luận có lý trong dạy Toán và học Toán. Tuy nhiên, cha hẳn học sinh đã ý
thức đợc điều này, và do đó họ cũng không biết tiến hành hoạt động dự đoán,
suy luận có lý trong những tình huống là thích hợp.
Rất nhiều bài toán đợc đa ra để minh họa cho tầm quan trọng của dự đoán,
suy luận . Trong những ví dụ đó, SKKN cũng không quên bình luận những
khiếm khuyết, sai lầm của HS khi giải Toán, mà nguyên nhân chủ yếu của
những khiếm khuyết, sai lầm đó là do thiếu kỹ năng dự đoán,suy luận thiếu chặt
chẽ . Thầy biết đặt mình vào vị trí học sinh, hình dung và bình luận các sai lầm
mà học sinh thờng mắc phải,
Ví dụ : Giải :
2 2

t t
t
t
t
t



















2
2
2
2 3 0
16 5 10 1 81
2 16 0

sinh biết cái sai của họ
Đó là với
1 17 1
x x


thì
2
7 2 0
x x

điều đó đồng nghĩa với việc
2 2
5 10 1 0 7 2
x x x x


nên
1 17 1 17
x x
là nghiệm đúng
Vậy lời giải đúng là gì
Trên cơ sở sai lầm của học sinh thầy giáo nên đa ra cách giải chính xác
nhất
Lời giải 1 . Đặt
2
5 10 1, 0
t x x t

khi đó




















16 18
16
36
36
t
t
t
t

2
2
36
4 9
5 36 0
4
5
0
0
0
t
t t
t t
t
t
t
t
t













năng dự đoán, suy luận của mình .
* Hiện thực hóa đợc hoạt động dự đoán, suy luận có lý trong quá trình tìm
kiếm lời giải các bài toán.Từ đó có thể tìm và giải quyết các bài toán hay

4.Kim nghim
a. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm s phạm đợc tiến hành tại trờng THPT Nguyễn Hoàng , Hà
trung , Thanh hoá .
+ Lớp thực nghiệm: 10C
1
do thầy giáo Nguyễn Thiên Lãng phụ trách giảng
dạy
+ Lớp đối chứng: 10C
3
do cô giáo Nguyễn Thị Tình phụ trách giảng dạy
Thời gian thực nghiệm đợc tiến hành vào khoảng từ tháng 9 đến tháng 11
năm 2012.
b. Nội dung thực nghiệm
Thực nghiệm đợc tiến hành trong Chủ đề Phơng trình và bất phơng
trình quy về bậc hai cho nội dung dạy học tự chọn . Sau khi dạy thực nghiệm,
chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Sau đây là nội dung đề kiểm tra:
Đề kiểm tra (thời gian 45 phút)
Câu I: Giải bất phơng trình

2
7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x

Câu II: Giải phơng trình
a.
2

bài
Lớp
TN
(10C1)
0 0

0 0 3 5 1
0
1
0
9

7

6

50
Lớp
ĐC
(10C3)
0 0

1 3 6 8 1
3
9 6

3

1


- Đã làm sáng tỏ đợc các con đờng để tập luyện cho học sinh dự đoán,
suy luận (đặc biệt hóa, khái quát hóa, tơng tự hóa, quy nạp);
- Đã đề xuất đợc xu hớng dạy học phù hợp với việc tập luyện cho học
sinh dự đoán, suy luận; cụ thể là hai cấp độ: Thuyết trình phát hiện và giải
quyết vấn đề; Đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua việc rèn
luyện khả năng dự đoán, suy luận, và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp
giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ ;
- Đã đề xuất đợc các Quan điểm s phạm nhằm tập luyện cho học sinh rèn
luyện khả năng dự đoán, suy luận, và giải quyết vấn đề trong các phơng pháp
giải phơng trình ;
- Đã tổ chức thực nghiệm s phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của
những giải pháp đã đề xuất.
Nh vậy, có thể khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đã đợc thực hiện,
Nhiệm vụ của SKKN đã hoàn thành và thực nghiệm là chấp nhận đợc.

Xác nhận của thủ trởng
đơn vị
Thanh Hóa, ngày 5 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết,đợc nâng cấp từ loại C năm 2009 -
2010 ,không sao chép nội dung của ngời
khác.
Ngời viết Nguyễn Văn Trung