[Type text]
http://nuy.vn
Vì đặc tính xung h(n) hữu hạn, nên bộ lọc FIR luôn ổn định, có nghĩa là tất cả các điểm cực của hàm hệ thống
H(z) nằm trong đường tròn đơn vị |z| = 1 . Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR :
)(
1
0
).().()(
ωθωωω
jj
n
njj
eeAenhe
N
H
−
−
=
−
==
∑
Trong chương này chỉ nghiên cứu các bộ lọc số FIR có pha tuyến tính :
αωωθ β
−=)(
[5.2-1]
Trong đó
α
và
β
là các hằng số, và
α

π
) hoặc (0
≤

ω

≤
2
π
).
Mặt khác, nếu bộ lọc số có đặc tính xung h(n) là dãy thực thì theo tính chất của biến đổi Fourier có :
)()(
ωω
jj
ee
HH
−
=

và :
)()(
ωθωθ
−−=
Như vậy, H(e
j
ω
) là hàm chẵn và đối xứng, còn
θ
(
ω

αω
5.2.1a Trường hợp
β
= 0 ,
θ
(
ω
) = -
αω
Khai triển công thức Euler, biểu diễn đặc tính tần số dưới dạng :
[ ]
).sin().cos().().()(
ωαωα
ωαωωω
jeAeeAe
jjjj
H
+==
−
).sin().().cos().()(
ωαωα
ωωω
jjj
ejAeAeH +=
[5.2-3]
Mặt khác có :
[ ]
∑∑
−
=

nnhjnnhe
H
ωω
ω
[5.2-4]
Từ [5.2-3] và [5.2-4] có :
∑
−
=
=
1
0
).cos().().cos().(
N
n
j
nnheA
ωωα
ω

∑
−
=
=
1
0
).sin().().sin().(
N
n
j

∑
−
=
−
=
+
=
1
1
1
1
).cos().()(
).sin().(
).(
0
N
N
n
n
nnhh
nnh
tg
ω
ω
ωα
Từ đây có 2 trường hợp,
α
= 0 là bộ lọc pha không, và
α


nnhh
nnhh
tg
ω
ωω
ω
205
[Type text]
http://nuy.vn
Tức là h(n)
≠
0 khi n = 0, và h(n) = 0 với mọi n
≠
0. Bộ lọc như vậy không có ý nghĩ thực tế và không thể thực
hiện được, vì tín hiệu truyền qua bộ lọc luôn bị giữ trễ, cho dù thời gian giữ trễ là rất nhỏ.
Trường hợp
α

≠
0 :
0
1
0
1
0
).cos().(
).sin().(
).cos(
).sin(
).(

).sin().().cos().cos().().sin(
NN
nn
nnhnnh
ωωαωωα
Vậy :
0
1
0
1
0
).sin().().cos().cos().().sin(
=−
∑∑
−
=
−
=
NN
nn
nnhnnh
ωωαωωα
Tiếp tục biến đổi lượng giác sẽ nhận được phương trình :

0
1
0
)(sin).(
=−
∑

β
= 0 và N chẵn, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2.
Ví dụ 5.5 : Bộ lọc FIR pha tuyến tính có
θ
(
ω
) = -
α
.
ω
, với N = 5 và h(0) = -1 h(1) = 1 , h(2) = 2 . Tìm α và vẽ đặc tính
xung h(n) của bộ lọc.
Giải : Vì
β
= 0 và N lẻ nên đây là bộ lọc số
FIR pha tuyến tính loại 1.
Theo [5.2-6] có :
2
2
15
2
1
=
−
=
−
=
N
α
Theo [5.2-7] có :

=
−
=
−
=
N
α

Theo [5.2-7] có :
)()()( 314 nhnhnh −=−−=
Vậy :
103
)()( −== hh
112 )()( == hh
Đặc tính xung h(n) có trục đối xứng tại n
=
α
= 1,5, đồ thị h(n) ở hình 5.11.
Hình 5.11 : h(n) của bộ lọc
FIR pha tuyến tính loại 2.
Nhận xét : - Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có đặc tính xung h(n) đối xứng giống như các bộ lọc số lý
tưởng.
- Tâm đối xứng của h(n) tại điểm n =
α
. Nếu N lẻ thì
α
là số nguyên và trục đối xứng của h(n) trùng với mẫu tại
n = (N - 1)/2 . Còn nếu N chẵn thì
α
là số thập phân và trục đối xứng nằm giữa hai mẫu tại n = [(N/2) - 1] và n = (N/2).

0
)(sin)(
=−+
∑
−
=
N
n
nh
ωα
π
β
[5.2-8]
Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại :
2
1−
=
N
α
;
2
π
β
±=
[5.2-9]
và :
)()( 1 nhnh N −−−=
với
),(
10

2
17
2
1
=
−
=
−
=
N
α

Theo [5.2-10] có :
)6()()( 17 nhnhnh −−=−−−=
Vậy :
10)()6( =−= hh
5,01)()5( =−= hh
5,12)()4( −=−= hh
0)3( =h
Đặc tính xung h(n) có tâm phản đối
xứng tại n = α = 3 , đồ thị h(n) trên
hình 5.12. Hình 5.12 : h(n) của bộ lọc
FIR pha tuyến tính loại 3.
Ví dụ 5.8 : Cho bộ lọc FIR pha tuyến tính có
θ
(
ω

Đặc tính xung h(n) có tâm phản đối xứng tại n
= 1,5 , đồ thị h(n) ở hình 5.13.
Hình 5.13 : h(n) của bộ lọc
FIR pha tuyến tính loại 4.
Nhận xét : - Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 có đặc tính xung h(n) phản đối xứng.
- Tâm phản đối xứng của h(n) tại điểm n =
α
. Nếu N lẻ thì
α
là số nguyên và tâm phản đối xứng của h(n) trùng
với mẫu tại n = (N - 1)/2 và tại đó h(n) = 0. Còn nếu N chẵn thì
α
là số thập phân và tâm phản đối xứng nằm giữa hai mẫu
tại n = [(N/2) - 1] và n = (N/2).
Như vậy. có bốn loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính
θ
(
ω
) =
β
-
αω
:
- Bộ lọc loại 1 :
β
= 0 , N lẻ, đặc tính xung h(n) đối xứng.
- Bộ lọc loại 2 :
β
= 0 , N chẵn, đặc tính xung h(n) đối xứng.
- Bộ lọc loại 3 :

jj
n
njj
eeAenhe
N
H
−
−
=
−
==
∑
).()()(
1
0
Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :
207
2 3
n
h ( n )
- 1 , 5
5
1 , 5
- 0 , 5
6 7
0 , 5
- 1
1
0
h ( n )




+








=
∑∑
−
+
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
1
1
2
1

−=
=>
)(
1
mn
N
−
−=
,
khi






+=
−
1
2
1N
n
thì






−














+








=
∑∑
−
−
=
−−−
−
−

N
H
ω
ω
ωω
Đảo chiều chỉ số và đổi lại biến của thành phần thứ 3 theo n :








−+














+

2
1
0
)()()( 1
2
1
N
N
N
N
n
nj
j
n
njj
enhehenhe N
N
H
ω
ω
ωω
Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có
)()(
1
nhnh
N
−=
−
, nên :
[ ]

njnj
j
j
eenhehe
N
H
ωω
ω
ω
[5.2-11]
Trong đó :
[ ]








+=+






−
−
−

ωω
Hay :
[ ]












−
−
=+






−
−
−−−−
neee
N
N










−
−
+






=
−
2
1
1
2
1
0
2
1
.cos)()(
2























−
−
+










−=
−
nm
N
2
1
=>






−=
−
mn
N
2
1
,
khi
0
=
n
thì








−
−
−
=
















−
−
+


Đổi biến m trở về n, đảo cận của tổng và thêm cos(
ω
.0) = 1 vào số hạng đầu :
( ) ( )






−
−
−
=














−
−

ω
ωω
Hay :
αωω
ω
ω
ω
jj
N
j
n
j
eeAennae
N
H
−






−
−
−
=
=




và






−
−
= nhna
N
2
1
.2
)(
khi
1
≥
n
[5.2-13]
Từ [5.2-12] , đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 :
∑
−
=
=
2
1
0
).cos()()(
N

Nhận xét : Vì cos(0) = 1 nên bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 không thể dùng để làm bộ lọc có H(e
j
ω
) = 0 tại
ω
= 0 ,
đó là các bộ lọc thông cao và dải thông [trừ khi bộ lọc có đặc tính xung với
002/1 )()(
==−
ah N
].
Ví dụ 5.9 : Hãy xác định các đặc tính tần số
θ
(
ω
) và H(e
j
ω
) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 ở ví dụ 5.5. Đồ thị
đặc tính xung h(n) của bộ lọc cho trên hình 5.14. Vẽ đặc tính biên độ tần số H(e
j
ω
) của bộ lọc đã cho.
Giải : Đặc tính pha theo [5.2-15]:
2
2
15
2
1
=





−
=
hha
N
21.21
2
1
.21
)()( ==






−
−
= hha
N
;
( )
20.222.22
)()( −==−= hha
Theo giá trị các hệ số nhận được :
)cos()cos()( 2222
ωω

−
−
=
−
==
∑
).()()(
1
0
Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần :
∑∑
−
=
−
−
=
−
+=
1
2
1
2
0
)()()(
N
N
N
n
nj
n










−=
∑
2
1
2
1
.)(cos)()(
12
2
N
N
j
n
j
ennbe
H
ω
ω
ω
[5.2-16]
Với các hệ số :

j
nnbe
H
ω
ω
[5.2-18]
Với các hệ số b(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo [5.2-17].
Đặc tính pha :
2
1
2
1
)(
−
=⇒






−
−=−=
NN
αωαωωθ
[5.2-19]
209
h ( n )
10 3
- 1- 1