BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
___________________ Trần Thị Ngọc Diệp DẠY HỌC MỞ ĐẦU VỀ CHỨNG MINH TRONG
HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC CƠ SỞ - MỘT TIỂU ĐỒ ÁN
DIDACTIC VỀ ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN


HS : Học sinh
GV : Giáo viên
SGK : Sách giáo khoa
SGV : Sách giáo viên
HHGN : Hình học ghi nhận
HHSD : Hình học suy diễn
THCS : Trung học cơ sở
CĐSP : Cao đẳng sư phạm
DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Thống kê cách tiếp cận các khái niệm ở bậc tiểu học 9
Bảng 1.2. Thống kê các cách đưa vào tính chất, quy tắc 18

nghiên cứu của Trần Thị Thanh Hương (2002) và của Trần Thị Tuyết Dung (2002)
với các lí do sau đây
:
 Dù đã giảng dạy toán ở bậc THCS và THPT, nhưng đây là lần đầu tiên tôi
nghe nói đến các khái niệm «HHGN» và «HHSD», được đề cập trong hai luận văn
này.
Vậy, HHGN là gì? HHSD là gì? Chỉ có một mô tả khá ngắn gọn và sơ sài từ
hai luận văn này, đó là: HHGN là Hình học có được từ quan sát và thực nghiệm;
HHSD là Hình học có được từ suy luận và chứng minh.
Điều này không làm thỏa mãn trí tò mò và nhu cầu hiểu biết hơn của chúng
tôi!
 Nghiên cứu của Trần Thị Thanh Hương c
ho thấy trong chương trình và SGK
bậc THCS những năm 1990 không có sự nối khớp nào giữa hai loại Hình học nêu
trên. Chương trình đào tạo GV ở các trường CĐSP cũng không tính đến mối quan
hệ và sự nối khớp giữa chúng.
Còn nghiên cứu của Trần Thị Tuyết Dung lại chỉ ra rằng: chương trình và
SGK mới (2001) đã tính đến hoạt động chuyển tiếp giữa hai Hình học thông qua sự
nối khớp thực nghiệm
và suy luận. Nhưng sự nối khợp này có vị trí rất mờ nhạt.
Điều này dẫn tới hậu quả là GV phải dùng đến yếu tố quyền lực cá nhân để thuyết
phục HS chấp nhận «miễn cưỡng» việc dùng suy luận để khẳng định một mệnh đề
(điều m
à trước đây các em có quyền làm từ quan sát thực nghiệm, ghi nhận).

Như vậy, dạy học mở đầu về chứng minh ở trường THCS không thể không
tính đến HHGN đã tồn tại ở bậc tiểu học và có thể đang tồn tại ở cả bậc THCS,
cũng như mối quan hệ, sự ngắt quãng giữa chúng.
Nhưng, làm thế nào để GV ý thức được mối quan hệ nhân – quả giữa hai cấp
độ Hình học này? Câu hỏi này vẫn chưa được các tác giả của hai luận văn trên giải

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic
toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm của Lý thuyết nhân chủng học, Lý
thuyết tình huống và Hợp đồng didactic.
Lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm mấu chốt như tổ chức toán học,
mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức để phân
tích mối quan hệ thể chế với hai loại Hình học, từ đó tì
m ra đặc trưng cơ bản của
từng loại.
Lý thuyết tình huống với các khái niệm tình huống dạy học, biến didactic, đồ
án didactic để thiết kế tình huống dạy học, phân tích a priori và a posteriori tình
huống. Ngoài ra, khái niệm Hợp đồng didactic được sử dụng để giải thích các ứng
xử của HS trong tình huống thực nghiệm.
Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nê
u trên, chúng tôi
trình bày hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau:
Q1. HHGN và HHSD có đặc trưng chuyên biệt nào trong thể chế dạy học
Hình học ở Tiểu học và THCS? Cụ thể hơn, mối quan hệ thể chế với
các đối tượng chủ yếu của HHGN và HHSD có những đặc trưng gì?
Mối quan hệ giữa chúng như ra sao? Đặc biệt, suy luận và chứng
minh có đặc trưng chuyên biệt gì trong mỗi loại Hình học này?
Q2.
Thể chế dạy học Hình học ở trường phổ thông đã thực hiện bước
chuyển từ HHGN sang HHSD như thế nào? Thể chế đào tạo GV ở
trường CĐSP tính đến bước chuyển này ra sao?
Q3. Mối quan hệ thể chế ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân HS như thế
nào?

3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục
2. Từ đó, chúng tôi xác định phương pháp và nội dung nghiên cứu như sau:

Chương 1: HÌNH HỌC GHI NHẬN VÀ HÌNH HỌC SUY DIỄN
TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC HÌNH HỌC
Ở BẬC TIỂU HỌC VÀ THCS

1.1. Mục tiêu của chương
Mục tiêu của chương này là tổng hợp và phân tích các tài liệu nhằm làm rõ
các đặc trưng chủ yếu của HHGN và HHSD. Đồng thời tìm ra đặc trưng của suy
luận và chứng minh trong hai loại Hình học này.
Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn phân tích chương trình, SGK,
SGV Toán bậc tiểu học và THCS hiện hành và tổng hợp tài liệu [19], [36], [33],
[32], [20] nhằm tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi sau đây:
Q1. HHGN và HHSD có đặc trưng chuyên biệt nào trong thể chế dạy học
Hình học ở Tiểu học và THCS? Cụ thể hơn, mối quan hệ thể chế với
các đối tượng c
hủ yếu của HHGN và HHSD có những đặc trưng gì?
Mối quan hệ giữa chúng như ra sao? Đặc biệt, suy luận và chứng
minh có đặc trưng chuyên biệt gì trong mỗi loại Hình học này?
Q2. Thể chế dạy học Hình học ở trường phổ thông đã thực hiện bước
chuyển từ HHGN sang HHSD như thế nà
o? Thể chế đào tạo GV ở
trường CĐSP tính đến bước chuyển này ra sao?

1.2. Lược đồ phân tích
* Để làm rõ các đặc trưng của HHGN và HHSD, chúng tôi tiến hành phân tích
chương trình, SGK, SGV Toán bậc tiểu học và THCS nhằm tìm ra:
- Cách đưa vào các khái niệm.
- Cách đưa vào các tính chất, qui tắc, định lí (ở THCS) thuộc phạm vi Hình
học.
- Đặc trưng của các tổ chức toán học (nhất là kĩ thuật giải).
* Để làm rõ đặc trưng của suy luận và chứng minh trong hai loại Hình học này,

1.3.1. Đặc trưng của HHGN
Tài liệu [32], [20] đã chỉ ra rằng HHGN xuất hiện ở bậc tiểu học. Do đó, để
tìm đặc trưng của Hình học này, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình, SGK,
SGV Toán bậc tiểu học.

1.3.1.1. Khái niệm
Theo [33, tr.6], «Hình học bậc tiểu học hình thành cho HS những biểu tượng
về một số hình đơn giản và các đại lượng thông dụng».
Qua phân tích chương trình, SGK, SGV ở bậc tiểu học, chúng tôi nhận thấy
để tiếp cận một khái niệm ở bậc tiểu học có 3 cách sau đây:
Cách tiếp cận thứ nhất: tổng thể thông qua hình vẽ. Cách tiếp cận này
được sử dụng chủ yếu ở lớp 1,
2, «dựa trên trực giác HS nhận biết hình một cách
tổng thể» [33, tr.10]. HS được làm quen các khái niệm thông qua các hình vẽ, mô
hình, hình ảnh thực tế mà không theo tính chất về các yếu tố cạnh và góc, đồng thời
gán cho khái niệm một cái tên.
Chẳng hạn:
Để giới thiệu hình tam
giác, [21, tr.9] đưa ra một loạt hình tam
giác với độ lớn, màu sắc, hình dạng (tam
giác thường, vuông, đều), vị trí (nghiêng,
thẳng) khác nhau, cùng với những hình
ảnh thực tế có dạng hình tam giác (biển
báo gia
o thông, thước êke, lá cờ). Từ đó,
HS hình thành biểu tượng hình tam giác.
Ngoài ra, SGK còn đưa ra một số hình
ghép từ những hình tam giác (ngôi nhà,
con thuyền, chong chóng, cây thông, con
cá) giúp HS củng cố biểu tượng hình tam

[23, tr.23]
[25, tr.152]
Các
h tiếp cận thứ ba: hỗn hợp hai cách trên, nghĩa là vừa giới thiệu tổng
thể thông qua hình vẽ, vừa nêu đặc điểm về các yếu tố cạnh và góc. Cách tiếp cận
này xuất hiện ở lớp 4 và 5, tại thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên của khái niệm.
Chẳng hạn:
[27, tr.102]
đã giới thiệu hình bình hành
bằng cách:
Đầu tiên, «HS quan sát
hình vẽ để hình t
hành biểu
tượng về hình bình hành, GV
giới thiệu tên gọi hình bình

hành». Sau đó mới «nhận biết một số đặc điểm của hình bình hành» từ việc quan sát
hình vẽ trên giấy kẻ ô vuông và «đo độ dài các cạnh đối diện» [28, tr.182]. Như
vậy, khái niệm hình bình hành đã được tiếp cận theo cách hỗn hợp.
Đối với các khái niệm «hình khối» (hình không gian), [31, tr.82] đã viết:
«Thông qua việc quan sát «hình ảnh» các vật thật trong thực tế để hình thành khái
niệm «ban đầu» của hình khối»
. Chẳng hạn:
Từ hình ảnh bao diêm, viên gạch, khái quát thành
hình hộp chữ nhật.

Từ hình ảnh con súc sắc, khái
quát thành hình lập phương.
Qua bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy các cách tiếp cận khái niệm tiến
triển theo cấp lớp. Cách tiếp cận thứ nhất được sử dụng ở lớp 1 và 2, vì đây là các
khái niệm đơn giản, quen thuộc, dễ nhận dạng trong cuộc sống hàng ngày. Lên lớp
3, các khái niệm được tiếp cận theo cách thứ hai nhằm bổ sung thêm các yếu tố về
cạnh và góc của khái niệm. Ở lớp 4 và 5, các khái niệm mới được đưa vào,
HS
chưa từng có biểu tượng về nó nên tiếp cận theo cách thứ ba.
Các khái niệm hình vuông, hình tam giác, hình chữ nhật xuất hiện 2 lần,
hình tròn xuất hiện 3 lần ở bậc tiểu học. Tại thời điểm gặp gỡ đầu tiên (lớp 1, lớp
2), các khái niệm này được tiếp cận bằng cách thứ nhất (tổng thể thông qua hình
vẽ). Đến thời điểm gặp gỡ thứ ha
i (lớp 3, lớp 5), cách tiếp cận các khái niệm này đã
được tiến triển lên một bước là giới thiệu hình vẽ kèm theo các yếu tố về cạnh và
góc. Theo chúng tôi, đây là cách trình bày hợp lý, phù hợp với HS vì các khái niệm
hình vuông, hình tam giác, hình chữ nhật, hình tròn là các hình khá quen thuộc
trong cuộc sống hàng ngày và rất dễ nhận dạng (nhìn hình là có thể nhận dạng được
ngay). Do đó, ở các lớp 1 và 2, thể chế mong muốn HS
tiếp cận các khái niệm này

một cách tổng thể thông qua hình vẽ. Lên các lớp trên (lớp 3, lớp 5), HS được tạo
điều kiện gặp lại các khái niệm này nhằm tìm hiểu thêm về các yếu tố cạnh và góc.
Các khái niệm còn lại HS chỉ được gặp gỡ một lần (lớp 4 hoặc lớp 5), hầu
hết được tiếp cận theo cách thứ ba. Vì là lần gặp gỡ đầu tiên nên các khái niệm này
cần được tiếp cận một cách tổng thể thông qua hì
nh vẽ, đồng thời phải có mô tả các
yếu tố về cạnh và góc mới có thể nhận dạng một cách chính xác được. Chẳng hạn:
Nếu không mô tả các yếu tố về cạnh và góc, HS khó có thể phân biệt hình bình
hành và hình thoi.
Về cách tiếp cận khái niệm ở tiểu học, [33, tr.9] viết: «Ở bậc tiểu học, SGK
không nêu định nghĩa chính xác các khái niệm hình học như ở bậc THCS mà

ợc xây dựng
chặt chẽ, hệ thống.
 Với các đại lượng thông dụng, HS cũng hình thành các biểu tượng chủ yếu
dựa trên mô hình trực quan, thông qua việc so sánh hoặc qua các ví dụ cụ thể.
 Độ dài đoạn thẳng [21, tr.96]
Thông qua hai hình vẽ bên
trái (hai cây thước, hai đoạn
thẳng), «HS có biểu tượng về «dài
hơn – ngắn hơn», từ đó có biểu
tượng về độ dài đoạn thẳng thông
qua c
ác đặc tính «dài – ngắn»
của chúng» [22, tr.120].
«Từ các biểu tượng về «dài hơn – ngắn hơn», HS nhận ra rằng: mỗi đoạn
thẳng có một độ dài nhất định» [22, tr.121].
Như vậy, khái niệm độ dài đoạn thẳng không được định nghĩa, mà ẩn đằng
sau biểu tượng «dài hơn – ngắn hơn».
 Chu vi một hình [23, tr.130]

Chu vi của một hình đư
ợc giới
thiệu thông qua hai ví dụ cụ thể: Tính
tổng độ dài các cạnh một hình tam
giác và một hình tứ giác, rồi gán cho
kết quả vừa tìm được cái tên «chu vi».
Từ đó khái quát lên «Tổng độ
dài các cạnh của hình tam giác (hình

tứ giác) là chu vi của hình đó» [23, tr.30]. Đây được xem như là định nghĩa khái
niệm chu vi của hình tam giác (hình tứ giác), nhưng cũng như khái niệm các hình

Nhận xét
Trong HHGN, tất cả khái niệm đại lượng đều được tiếp cận bằng trực giác,
¾ khái niệm không được định nghĩa mà ẩn đằng sau các hoạt động so sánh, chỉ có
duy nhất khái niệm được «chu vi» định nghĩa nhờ khái quát lên từ hai ví dụ minh
hoạ (nhưng cũng không dùng thuật ngữ «định nghĩa»). Như vậy, HHGN chỉ giúp
HS làm quen và có biểu tượng về các đại lượng này.

1.3.1.2. Tính chất, qui tắc
 Các tính chất hình học đều được đưa ra dựa trên quan sát và đo đạc một
hình cụ thể, sau đó khái quát lên mà không chứng minh. Theo phân loại của Nicolas
Balacheff, đây là kiểu kiểm chứng «Thí nghiệm quyết đoán».
Chẳng hạn: Tính chất «hình chữ nhật có 4 góc vuông, có 2
cạnh dài bằng nhau và 2 cạnh ngắn bằng nhau» ([25, tr.84])
được rút ra nhờ quan sát và đo đạc.
Biểu tượng hình chữ nhật đã đư
ợc hình thành ở lớp 2, lên lớp 3 tính chất
hình chữ nhật được phát hiện khi quan sát và đo đạc hình chữ nhật ABCD được vẽ
trên giấy kẻ ô vuông: «Lấy êke kiểm tra 4 góc đỉnh A, B, C, D đều là góc vuông»,
«Lấy thước đo chiều dài 4 cạnh để thấy: 2 cạnh dài có độ dài bằng nhau: AB = CD,
2 cạnh ngắn có độ dài bằng nhau: AD = BC», «Từ đó kết luận: hình chữ nhật có 4
góc vuông, có 2 cạnh dài bằng nhau và 2 cạnh ngắn bằng nhau» [26, tr.152].
Tính chất «hình thang có
một cặp cạnh đối diện song
song» ([29, tr.91]) đư
ợc nhận ra
nhờ quan sát.
Sau khi cho HS hình thành biểu tượng hình thang qua hình vẽ cái thang,
«yêu cầu HS quan sát mô hình lắp ghép và hình vẽ hình thang ABCD trong SGK để
tự phát hiện đặc điểm của hình thang: Hình thang ABCD có hai cạnh AB và DC
song song với nhau». Từ đó khái quát lên thành tính chất hình thang «HS tự nêu

chu vi hình tròn thông qua một
thực nghiệm cho hình tròn có
bán kính 2cm lăn một vòng
trên thước. «Độ dài của một đường tròn gọi là chu vi của hì
nh tròn đó». Từ đó, tìm
được chu vi của hình tròn bán kính 2cm (đường kính 4cm) trong khoảng 12,5cm
đến 12,6cm. Ngoài ra, «Trong toán học, người ta có thể tính chu vi hình tròn có
đường
kính 4cm bằng cách nhân đường kính 4cm với số 3,14:
4
3,14 = 12,56 (cm)»
Từ đó, SGK nêu quy tắc chung: «Muốn tính chu vi của hình tròn, ta lấy đường kính
nhân với số 3,14.

C = d3,14 (C hu vi hình tròn, d là đường kính hình tròn).
Hoặc:
là c
Muốn tính chu vi của hình tròn, ta lấy 2 lần bán kính nhân với số 3,14.
C = r
2

3,14 (C là chu vi hình tròn, r là bán kính hình tròn)».
 h di
ành quy
tắc tổn
tính di
hai: cắt ghép để đưa hình cần tính về hình đã biết cách tính (hình
chữ nh
tính di


lấy bán kính nhân với bán kính rồi nhân với số 3,14.
S = r
r3,14 (S là diện tích hình
Cách thứ tư được sử
dụng d

Các
h thứ năm: suy luậ
trường
ương là các hình vuông bằng nhau nên: Diện tích
xung q
ệu quy tắc tính t
hể tích hình hộp chữ nhật,
hình lậ
nhất,
thông qua nhiệm vụ tính thể tích hình hộp c
hữ nhật có chiều dài 20cm, chiều rộng
16cm và chiều cao 10cm ([29, tr.120]).
uy nhất 1 lần ở lớp 5
([25, tr.109]
) khi tính diện tích
xung quanh, diện tích toàn
phần của hình hộp chữ nhật.
Đây là cách tiếp cận hỗn hợp
của cách 1 và cách 2.
và quan sát
Suy
luận
Công
nhận
Tính ch ất 4 / 10 6 / 10
Quy tắc 1/ 14 6 / 14 4 / 14 2 /14 1 / 14
5 / 24 2 / 24 6 / 24 6 / 24 4 / 24 1 / 24 Tổng
2 25% 16,67% 8,33%` 4,17%
cộng
0,83% 25%

Nhậ
Tron
n xé
g H nh à các c đượ o h à
quan sát, đo đạc, tính toán một hình cụ thể, cắt ghép một hình tổng quát về hình
quen t u đó khái quát lên thành tính chất, quy tắc chung của hình. Theo
phân lo

nhận thấy có một số
chức toán học chính như sau:
t
HGN, tí chất v quy tắ c đưa và ầu hết l dựa trên
huộc, rồi sa
ại của Nicolas Balacheff, các tính chất và quy tắc này được kiểm chứng theo
kiểu «Thí nghiệm quyết đoán» và «Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong
óc». Thể chế mong muốn HS tiếp cận the
o cách này là vì «muốn giữ tính ổn định,
kế thừa những nội dung đã học, giúp HS dễ dàng tiếp thu» [31, tr.86].

cố về nhận dạng và nêu tên gọi các hình»
[24, tr.145], «Khi chữa b
HS trả lời, chẳng hạn: a) Hình tam
Hình tứ giác; c) Hình tứ giác; d) Hình
vuông; e) Hình chữ nhật; f) Hình vuông
(đây là hình vuông đặt lệch đi)» [24, tr.146].
Do đó, chúng tôi dự đoán bài tập này chỉ
yêu cầu HS gọi đúng tên hình mà không cần
giải thích gì thêm.
Kỹ thuật 1.2 được sử dụng ở l
để nhận dạng h
Công nghệ 1.2: khái niệm
hình
Ví dụ:
ớp 3, 4, 5 (
7 lần). Ở các lớp này, HS phải sử
ình.
kèm theo tính chất của nó.
dụng tính c
hất của hình

θ
«HS tự nhận biết trước hết bằng trực
. Trong các hình đã cho có:
nh chữ nhật;
[25, tr.84], bài tập 1.
giác, sau đó dùn
g êke để kiểm tra lại
4 góc
MN

các tính
chất của hình, HS còn phải có khả năng tưởng tượng không gian.
Công nghệ
θ
1.2: khái niệm hình kèm theo các tính chất của nó.
Ví dụ:
[29, tr.112], bài tập 2. Dựa vào hướng dẫn của [30, tr.190]:
«Củng cố biểu tượng về hình lập phương
ng (chỉ có hình
h hình lập
và diện tíc
h xung quanh, diện tích toàn
phần của hình lập phươ
3, hình 4 là gấp được thàn
phương)», chúng tôi dự đoán HS sẽ dựa
vào biểu tượng hình khai triển của hình
lập phương ([29, tr.108]) để trả lời là

gấp được, các hình còn lại có thể HS sẽ
gấp thử trong óc hoặc cắt giấy và gấp
thật xem có được hay không.

Bảng 1.3. Bảng thống kê số lượng

1.1
bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1
1.2 1.3
Lớp 1 1
Lớp 2 1
Lớp 3 2

Trích đoạn và kĩ thuật suy luận

---