TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa: F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên D nếu
F’(x) = f(x), ∀ x ∈ D
2. Các tính chất:
1) (
∫
dxxf )(
)’ = f(x)
2)
∫
dxxaf )(
= a
∫
dxxf )(

3)
∫ ∫∫
+=+
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([(
4)
∫ ∫
+=⇒+=
CuFduufCxFdxxf )()()()(

3. Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp:
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp tương ứng
(dưới đây u = u(x))

a
a
dxa
x
x
ln
(0 < a ≠ 1)
∫
+=
Cxxdx sincos
∫
+−=
Cxxdx cossin
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫
∫

a
a
dua
u
u
ln
(0 < a ≠ 1)
∫
+=
Cuudu sincos
∫
+−=
Cuudu cossin
2
1
tan
cos
du u C
u
= +
∫
2
1
cot
sin
du u C
u
= − +
∫
Hệ quả:

1∫
++=+
C)baxsin(
a
1
dx)baxcos(
∫
++−=+
C)baxcos(
a
1
dx)baxsin(
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
∫
+=
++
Ce
a
1
dxe
baxbax
∫
+=
+
+
C

I. Định nghĩa tích phân:
∫
−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(
II. Các tính chất:
(1)
∫
=
a
a
dxxf 0)(
(2)
∫ ∫
−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
(3)
∫ ∫
=
b
a
b
a

≥
b
a
dxxf 0)(
(7) f(x)
≥
g(x),
∀
x
∈
[a; b]
⇒
∫ ∫
≥
b
a
b
a
xgdxxf )()(
(8) m
≤
f(x)
≤
M ,
∀
x
∈
[a; b]
⇒
∫

β
α
dttutufdxxfI
a
a
)(')]([)(
Các dạng toán thường gặp :
Bài toán 1:
2 2
I a x dx
β
α
= −
∫
Đặt x = asint, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 
 
Bài toán 2:
2 2
1
I dx
a x
β

π π
 
−
 ÷
 
Bài toán 4:
2 2
1
I dx
a x
β
α
=
+
∫
Đặt x = atant, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
Bài toán 5:
2
1
' ' '
I dx

−
 ÷
 
2. Đổi biến dạng 2:
Dạng : Tính tích phân:
( ). '
b
a
I f u u dx=
∫

+ Đặt t = u(x)
⇒
dt = u’(x)dx
+ Đổi cận: x = a
⇒
t =
α
và x = b
⇒
t =
β

( )I f t dt
β
α
⇒ =
∫
2. Phương pháp tích phân từng phần:
a) Công thức vi phân:

=
=
)(
)('
)(
)(
xGv
dxxfdu
dxxgdv
xfu
+ Khi đó:

∫∫
−==
b
a
b
a
b
a
vduvudxxgxfI .)().(

∫
−=
b
a
b
a
dxxfxGxGxf )(')()().(
c) Một số dạng toán áp dụng thuật toán tích phân từng phần:

∫PP: Đặt u = e
x
và dv =
xsin
xcos
dx và thực hiện hai lần tích phân từng phần.
Dạng 3:
∫
=
b
a
xdxxPI ln).(
PP: Đặt u = lnx và dv = P(x).
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 4- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
I. Tích phân hàm phân thức mẫu bậc nhất:
Dạng 1: A =
dx
bax
∫
+
β
α
1


+
∫
PP:
Cách 1: Ta thực hiện phép chia đa thức để viết tích phân về dạng:
( )
( ( ) )
ax ax
f x c
B dx g x dx
b b
β β
α α
= = +
+ +
∫ ∫
Cách 2: Đổi biến bằng cách đặt t = ax + b
Dạng 3: C =
dx
bax
k
∫
+
β
α
)(
1
( k ≠ 1)
PP:
Cách 1:
∫∫∫

.
1
(ax )
k
a k
b
β
α
−
−
+
Cách 2: Đổi biến bằng cách đặt: t = ax + b
II. Tích phân hàm phân thức mẫu là tam thức bậc hai:
TH1: Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x = x
1
và x = x
2
.
Dạng 1:
1
( )( )
dx
x a x b
β
α
+ +
∫


xx
B
xx
A
a
dx
xxxxa
nmx
dx
cbxax
nmx
∫∫∫
−
+
−
=
−−
+
=
++
+
β
α
β
α
β
α
)(
1
))((


TH2: Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm kép x = x
0
.
Bằng cách viết lại: ax
2
+ bx + c = a(x - x
0
)
2
. Ta có:

2
( )f x
I dx
ax bx c
β
α
=
+ +
∫

2
0
1 ( )
( )
f x
dx

+
∫

Đặt x = atant, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
Bài toán 2:
2
1
' ' '
I dx
a x b x c
β
α
=
+ +
∫

Ta viết lại :
2 2
1 1
'
( )

dx
cbxax
M
cbxax
cbxaxd
dx
cbxax
nmx
∫∫∫
++
+
++
++
=
++
+
β
α
β
α
β
α
22
2
2
)(

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 6- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Dạng 3:

β
α
= +
∫
Biểu thức
( , )
n
f x ax b+
chỉ chứa các lũy thừa của x và các lũy thừa của
n
ax b+
PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t =
n
ax b+
2. Dưới căn thức là biểu thức có bậc lớn hơn một:
Dạng :
1
( , ).
nk k k
I f x ax b x dx
β
α
−
= +
∫
Biểu thức
( , )
nk k
f x ax b+
chỉ chứa các lũy thừa của x

PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t =
mn k
ax b+
II. Một số bài toán đặc biệt cần nhớ:
Bài toán 1:
2 2
I a x dx
β
α
= −
∫

PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 
 
Bài toán 2:
2 2
1
I dx
a x
β
α
=

π π
 
−
 ÷
 
Bài toán 4: I =
∫
+
β
α
dx
kx
2
1
PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt
kxxt
++=
2
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 8- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài toán 5: I =
∫
++
β
α
dx
cbxax
2
1
, với a > 0.

2
2
x
du dx
u x k
x k
dv dx
v x

=

 
= +
⇒
+
 
=



=


2
2 2
2
2 2
2
x
I x kdx x x k dx

x k
α
β
α
α
β
α
α
α
= + − +
+
⇒ = + +
+
∫
∫
Bài toán 7: I =
2
ax bx cdx
β
α
+ +
∫
Ta viết lại:
2 2
( )ax bx cdx a x m ndx
β β
α α
+ + = + +
∫ ∫
Đặt t = x + m đưa tích phân về bài toán 6.

++=+
C)baxsin(
a
1
dx)baxcos(
∫
+−=
Cxxdx cossin
∫
++−=+
C)baxcos(
a
1
dx)baxsin(
∫
+=
Ctgx
x
dx
2
cos
∫
++=
+
C)bax(tg
a
1
)bax(cos
dx
2

cos

Phương pháp:
+ Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc:
2
2cos1
sin
2
x
x
−
=
và
2
2cos1
cos
2
x
x
+
=

+ Nếu n lẻ thì:
•
Tích phân I ta biến đổi:
sin
n
ax = sin
2k
ax.sinax = (1 – cos

α
∫
Phương pháp:
Dùng các công thức sau biến đổi từ tích sang tổng:
[ ]
)cos()cos(
2
1
coscos bababa
++−=

[ ]
)cos()cos(
2
1
sinsin bababa
+−−=
[ ]
)sin()sin(
2
1
cossin bababa
++−=

sau đó áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 10- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Một số công thức giúp hạ bậc các biểu thức lượng giác:

3 3

2
1
(t anx).
os
f dx
c x
β
α
∫
PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = tanx
Bài toán 4:
2
1
(cot x).
sin
f dx
x
β
α
∫
PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = cotx
Bài toán 5:
(sin 2x,sinx cos )(sinx cos )f x x dx
β
α
+ −
∫
PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx + cosx và sin2x = t
2
- 1

III. Phương pháp tích phân từng phần:
Bài toán 1:
sin
( ).
cos
b
a
x
I p x dx
x
=
∫
PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = P(x) và dv =
sinx
cos
dx
x

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 11- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài toán 4:
sin
.
cos
b
x
a
x
I e dx
x

α
+
=
∫
PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = ax + b và dv =
2
1
cos x
dx

IV. Một số dạng toán đặc biệt cần nhớ:
Bài toán 1: I =
∫
β
α
xdxx
mn
cossin
J=
∫
β
α
dx
x
x
m
n
cos
sin
Phương pháp:

x
β
α
+
∫
PP: Viết lại:
I =
2 2
cos( ) cos( )
1 1
4 4
cos sinx
cos( ) cos ( ) 1 sin ( )
4 4 4
x x
dx dx dx dx
x
x x x
β β β β
α α α α
π π
π π π
− −
= = =
+
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫
sau đó đổi biến t = sin
( )
4

1
cos x
dx
β
α
∫
PP: Viết lại:
I =
2
4 2
1 1
(1 tan )
cos x cos x
dx x dx
β β
α α
= +
∫ ∫
sau đó đổi biến t = tanx
Bài toán 5:
4
1
sin x
dx
β
α
∫
PP: Viết lại:
I =
2

= + = +
∫ ∫ ∫
sau đó đổi biến t = tanx
Bài toán 7:
sin cos
'sin 'cos '
a x b x c
dx
a x b x c
β
α
+ +
+ +
∫
PP: Đổi biến đặt : t = tan
2
x
, sinx =
2
1
2
t
t
+
và cosx =
2
2
1
1
t

aln
a
.
m
1
dxa
nmx
nmx
2. Phương pháp đổi biến:
Bài toán 1:
1
( ).
x x
I f e e dx
β
α
=
∫
PP: Đổi biến t = e
x
.
Bài toán 2:
ax
2
( , ).
ax ax
I f e e c e dx
β
α
= +



=
=
dxedv
xfu
x
)(
tính tích phân từng phần.
Bài toán 2 : I =
∫
β
α
xdxe
x
sin.

PP: Đặt



=
=
dxedv
xu
x
sin
tính tích phân từng phần hai lần để tìm I.
Bài toán 3 I =
∫

1
1
(ln , ln ).
n
I f x a x b dx
x
β
α
= +
∫
PP: Đổi biến t =
ln
n
a x b+
Bài toán 3:
1
1
ln
(ln ).
k
k
x
I f x dx
x
β
α
−
=
∫
PP: Đổi biến t = ln

α
dxbax
k
)(ln
Đặt



=
+=
dxdv
baxu
k
)(ln
tính tích phân từng phần k lần.
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 15- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
A. TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP:
BÀI TOÁN 1: Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng: x = a, x = b.

| ( ) |
b
a
S f x dx=
∫
Để tính tích phân này, ta thực hiện:
+ Tìm nghiệm x

a
dxxfdxyV
22
)]([
ππ
BÀI TOÁN 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay
sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong
(C): y = f(x) và y = g(x) khi xoay quanh trục Ox.
+ Tìm nghiệm x
1
và x
2
của phương
trình f(x) = g(x)
+ Thể tích khối trụ tròn xoay xác định
bởi công thức:
[ ] [ ]
2
1
2 2
( ) ( )
x
x
V f x g x dx
π
= −
∫
BÀI TOÁN 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): x = f(y), y =
a, y = bvà trục Oy khi xoay quanh trục Oy. Xác định bởi công thức: