Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Ví dụ 1: Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn
2
0 1 2
2 2 2 121

2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
+ + + + =
+ +

Lời giải:
Xét khai triển
0 1 2 2
(1 )
n n n
n n n n
x C C x C x C x
+ = + + + +
Lấy tích phân 2 vế cận từ 0 đến 2, ta được:
1 2 3 1


Vậy n = 4.

Ví dụ 2: Chứng minh:
0 1 2 1
2 3 ( 1) ( 2)2
n n
n n n n
C C C n C n
−
+ + + + + = + , với n nguyên dương.
Lời giải:
Ta có :
0 1 2 2 3 3
(1 ) (1)
n n n
n n n n n
x x xC xC x xC x xC x C x+ = + + + + +
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được:
1 0 1 2 2
(1 ) (1 ) 2 3 ( 1) (2)
n n n n
n n n n
x nx x C C C x n C x
−
+ + + = + + + + +
Thay x = 1 vào (2) ta được điểu cần chứng minh.

Ví dụ 3: Tính tổng S =
0 1 2 2010 2011

∫
=
( )
1
0 2 1 3 2 4 2010 2012 2011 2013
2011 2011 2011 2011 2011
0

C x C x C x C x C x dx
− + − + −
∫

=
1
0 3 1 4 2 5 2010 2013 2011 2014
2011 2011 2011 2011 2011
0
1 1 1 1 1

3 4 5 2013 2014
C x C x C x C x C x
 
− + − + −
 
 

=
0 1 2 2010 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 1 1 1 1

∫
=
1
2013 2012 2011
0
( 2 )
t t t dt
− +
∫

=
1
2014 2013 2012
0
2
2014 2013 2012
t t t
 
− +
 
 
=
1 2 1
2014 2013 2012
− +
=
1
2013.2014.1006
(1)
01. NHỊ THỨC NIU-TƠN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Lấy tích phân hai vế của (1) ta có:
2 2
1 1
0 0
0 0
2 2
(1 )
(1 )
0 0
1 1
n k
n n
n k k k
n n
k k
x x
x dx C x C
n k
+ +
= =
+
+ = ⇔ =
+ +
∑ ∑
∫ ∫

ờ
i gi
ả
i:
Xét khai tri
ể
n
( ) ( )
( )
1 1
0 1 2 2 0 1 2 2
0 0
1 1
n n
n n n n
n n n n n n n n
x C C x C x C x x dx C C x C x C x dx
+ = + + + + ⇒ + = + + + +
∫ ∫
⋯ ⋯
( )
1
1
1
0 1 2 2 3 1
0
0
1
1 1 1
1 2 3 1

1 1 10
2 1 1023 2 1024 2 1 10 9
n n
n n
+ +
⇒ − = ⇔ = = ⇔ + = ⇔ =Ví dụ 6: Tính tổng:
2 1 2 2 2 3 2 2010 2 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 2 3 2010 2011S C C C C C= + + + + +
Lời giải:
Ta có
( )
2011
0 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1
x C C x C x C x C x
+ = + + + + +⋯ (1)
L
ấ
y
đạ
o hàm hai v
ế
(1) ta
đượ
c:

1 2 2 2 2 3 2 2010 2011
2011 2011 2011 2011
2011 1 2010 1 2 3 2011x x x C xC x C x C+ + + = + + + +⋯ (3)
Thay x = 1 vào ta
đượ
c
(
)
2010 2009 2 1 2 2 2 3 2 2011
2011 2011 2011 2011
2011 2 2010.2 1 C 2 C 3 C 2011 C+ = + + +
V
ậ
y
2009
2011.2012.2
S =Ví dụ 7:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ

ố

nguyên d
ươ
ng th
ỏ
a mãn:
(
)
1 2 3 1
2 3 1 64
n n
n n n n n
C C C n C nC n
−
+ + + + − + =
⋯

L
ờ
i gi
ả
i:
Xét khai tri
ể
n
( )
0 1 2 2 1 1
1
n

C C C n C nC n
− −
+ + + + − + =
⋯

1 1
64 2 64 2 7
n n
n n
− −
⇔ = ⇔ = ⇔ =

( )
7
7
7
7
4 4
0
1 1
2 2
k
k
k
k
x C x
x x
−
=
   

2 2
2 4
k k
k
−
− = ⇔ =

Suy ra h
ệ
s
ố
ch
ứ
a
2
x
là
2
7
1 21
4 4
C =
Ví dụ 8:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a

− + + − =
+
+

Lời giải:
Ta có
1
1 1
1
0 0
0
(1 ) 1
(1 ) (1 ) (1 )
1 1
n
n n
x
x dx x d x
n n
+
−
− = − − − = − =
+ +
∫ ∫

Mặt khác,
0 1 2 2
(1 ) ( 1)
n n n n
n n n n

0 0
2 2 2
. .2 .
k
n
k
k k k k
k k
x x C x C x
x x x
−
− −
= =
     
+ = + = =
     
     
∑ ∑

S
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
20
x

ứ

là:
7 5
12
.2 25344
C =
Ví dụ 9:
Cho
đẳ
ng th
ứ
c
1 2 3 2 1 2 8
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
n n n n n
n n n n n
C C C C C
+ + + −
+ + + + +
+ + + + + = −
.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển
(
)
3 4
1
n
x x x

2
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C
+ + − + + + + −
+ + + + + + + + + +
⇒ = + + + + + + + + + + +
2 1 2 2 8
2 2 2 2 1 2 2 4
n n n
S S n
+
⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
.
(
)
( )
(
)
4
4
4
3 4 3 3
1 (1 ) (1 ) 1 1
n
x x x x x x x x
 
⇒ − + − = − + − = − +
 


, bi
ế
t r
ằ
ng n
là s
ố
nguyên d
ươ
ng th
ỏ
a mãn:
2 3 1
0 1 2
2 2 2 6560
2
2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
+
+ + + + =
+ +
⋯

L
ờ
i gi

= + + + +
⇒
= + + + +
 
+ +
 
⋯ ⋯
(1)
M
ặ
t khác
1
2
1
0
1 3 1
(1 )
1 1
n
n
I x
n n
+
+
−
= + =
+ +
(2)
T
ừ

−
= ⇔ = ⇒ =
+ +

Ta có khai tri
ể
n
( )
7
14 3
7 7
7
4
7 7
4 4
0 0
1 1 1
22 2
k
k
k
k k
k
x C x C x
x x
−
−
   
+ = =
   

y h
ệ
s
ố
c
ầ
n tìm là
2
7
2
1 21
4
2
C =

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Niutơn của
7
4
1
n
x
x
 
+
 
 
, biết rằng

6
trong khai triển
( )
7
2
1 1
x x
 
+ +
 
thành đa thức.
Bài 4: Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
( )
8
2
1 1
x x
 
+ −
 
thành đa thức.
Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
khi khai triển (1 + 2x + 3x
2
)
10
.

= − +
 
 
 