S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào
chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Ta biết sự ra đời của
số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân
môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công
thức
01
iπ
e =+
). Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi
người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức
nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán
để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức
với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên
có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ.
Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và
giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức
trong SGK còn nhiều hạn chế. Giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong
quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học
để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết. Một trong các vấn đề
tôi xây dựng là dạng toán “Ứng dụng số phức để tính tổng của các
k
n
C
” trên cơ sở
khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton.
Để nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này có tính thực tiễn trong công tác giảng

n
C
2
x
1
n
xC
0
n
C +++++
2- Các tính chất của số phức dùng trong đề tài:
* Hai số phức z = x + iy, w = x
/
+ iy
/
bằng nhau khi và chỉ khi x = x
/
và y = y
/
* z = r(cosϕ + isinϕ) ⇒ z
n
= [r(cosϕ + isinϕ)]
n
= r
n
(cosnϕ + isinnϕ)
* Giải phương trình: x
3
– 1 = 0
Ta được các nghiệm là x

2
1
2
ε +−=⇒
và
ε
có các tính chất sau:
1)
ε
+
2
ε
= -1
2)
1
3
ε =
3)
1
3k
ε =

4)
ε
13k
ε =
+
5)
2
ε

n
, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta
chọn là x = i). So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách
tính.
* Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là
6
π
±
,
4
π
±
,
3
π
±
). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai
cách tính.
* Khai triển (1 + x)
n
, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số
phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của
cùng một số phức trong hai cách tính.
* Khai triển (1 + x)
n
, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị. Cộng vế theo
vế các đẳng thức thu được. Suy ra giá trị của tổng cần tìm.
Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một
trong các cách trên. Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các
k

C
0
2009
C +−++−+−
- 3 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
B =
2009
2009
C
2007
2009
C
2005
2009
C
7
2009
C
5
2009
C
3
2009
C
1
2009

=
2009
2009
C
2009
i
2008
2009
C
2008
i
2
2009
C
2
i
1
2009
iC
0
2009
C +++++
= (
2008
2009
C
2006
2009
C
2004

2009
C
1
2009
C CC −+−−+−+−
)i
Mặt khác:
=−=−+−=−























2
i
2
2
2009
)2(
4
π
isin
4
π
cos
2009
)2( −=−=−














So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i )
2009

2009
C
2005
2009
C
7
2009
C
5
2009
C
3
2009
C
1
2009
C −+−−+−+−
= - 2
1004
Ví dụ 2:
Tính tổng: C =






−+−−+−
50
50

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
=+−++−=+−














50
50
C
50
)3(i
49
50
C
49
)3(i
2

48
50
C
48
)3(
46
50
C
46
)3(
4
50
C
4
)3(
2
50
C
2
)3(
0
50
C
50
2
1
C
+
i
49


−++−+−
Mặt khác:
2
3
i
2
1
3
100π
isin
3
100π
cos
50
3
2π
isin
3
2π
cos
50
i
2
3
2
1
−−=+=+=+−



















So sánh phần thực của
50
i
2
3
2
1








50
C
50
2
1
−=−+−−+−






Ví dụ 3:
Tính tổng: D =
20
20
C
18
20
3C
16
20
C
2
3
6
20
C
7
3

20
C
18
)3(
1
20
C
19
)3i(
0
20
C
20
)3(
20
i3 +−−−−+=+
=
= (
20
20
C
18
20
3C
16
20
C
2
3
6

20
C3
17
20
C
3
)3(
3
20
C
17
)3(
1
20
C
19
)3(
Mặt khác:
( )
=+=+=+=+











i
2
3
20
2
20
i3
i3
19
2
19
2i
2
3
2
1
20
2
3
4π
isin
3
4π
cos
20
2 −−=−−=+=





2
3
6
20
C
7
3
4
20
C
8
3
2
20
C
9
3
0
20
C
10
3 +−++−+−
= - 2
19
Dạng 2: Khai triển (1 + x)
n
, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những
số phức thích hợp
Ví dụ 1:
Tính tổng: D =

26C
8
30
8C
6
30
6C
4
30
4C
2
30
2C +−++−+−
Giải:
(1 + x)
30
=
30
30
C
30
x
29
30
C
29
x
28
30
C

28
x29
28
30
C
27
x28
3
30
C
2
x3
2
30
xC2
1
30
C ++++++
Cho x = i ta có:
30(1 + i)
29
= (
29
30
29C
27
30
27C
25
30

4
30
4C
2
30
2C +−++−+−
)i
Mặt khác:
30(1 + i)
29
=
( ) ( )
=+=+












4
29π
isin
4
29π




So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)
29
trong hai cách tính trên ta có:
D =
29
30
29C
27
30
27C
25
30
25C
7
30
7C
5
30
5C
3
30
3C
1
30
C +−++−+−
= - 15.2
15

Ví dụ 2:
Tính tổng S =
20
20
C
10
20.3
18
20
C
9
18.3
6
20
C
3
6.3
4
20
C
2
4.3
2
20
2.3C −+−+−
Giải:
Xét khai triển:
(1 +
3
x)

20
19
x)3(13 +
=
=
20
20
C
19
x
10
3.20
19
20
C
18
x
19
)3.(19
3
20
C
2
x
3
)3.(3
2
20
xC3.2
1

5
35.
3
20
C
3
33.
1
20
C3
i
20
20
C
10
20.3
18
20
C
9
18.3
6
20
C
3
6.3
4
20
C
2


19
3
π
isin
3
π
cos
19
.2320.
19
i
2
3
2
1
19
.2320
i
19
30.2
19
.2310.i
2
3
2
1
19
.2320.
3

20.3
18
20
C
9
18.3
6
20
C
3
6.3
4
20
C
2
4.3
2
20
2.3C −+−+−
= 30.2
19
Ví dụ 3:
Tính các tổng sau: M =
14
15
15C
12
15
13C
6

- 7 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)
15
=
15
15
C
15
x
14
15
C
14
x
13
15
C
13
x
3
15
C
3
x

3
15
C
4
x
2
15
C
3
x
1
15
C
2
x
0
15
xC +++++++
Đạo hàm hai vế ta có:
(1 + x)
15
+ 15x(1 + x)
14
=
15
15
C
15
x16
14

=






−++−+−
14
15
15C
12
15
13C
6
15
7C
4
15
5C
2
15
3C
0
15
C
+
+



( ) ( )
=+++












14
4
π
isin
4
π
cos
14
215i.
15
4
π
isin
4
π
cos

15
2
4
14π
isin
4
14π
cosi
7
15.2
4
15π
isin
4
15π
cos
15
2
i
7
2
8
7.2i
7
2
7
14.2
7
15.2i
7

15
15
16C
13
15
14C
7
15
8C
5
15
6C
3
15
4C
1
15
2C −++−+−
= -2
7
Dạng 3: Khai triển (1 + x)
n
, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị
Để tiện cho việc theo dõi sự biến đổi và các phép tính tôi đưa lại các vấn đề về căn bậc
ba của đơn vị (đã trình bày trong phần I của đề tài):
- 8 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C


i
2
3
2
1
2
ε +−=⇒
và
ε
có các tính chất sau:
1)
ε
+
2
ε
= -1
2)
1
3
ε =
3)
1
3k
ε =

4)
ε
13k
ε =

20
C +++++++
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)
20
=
20
20
C
20
x
19
20
C
19
x
18
20
C
18
x
3
20
C
3
x
2
20
C

0
20
C +++++++
(1)
Cho x =
ε
ta có:
(1 +
ε
)
20
=
20
20
C
2
ε
19
20
εC
18
20
C
3
20
C
2
20
C
2

ε
18
20
C
3
20
C
2
20
εC
1
20
C
2
ε
0
20
C +++++++
(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
2
20
+ (1 +
ε
)
20
+(1 +
2
ε
)


Ví dụ 2:
Tính tổng T =
19
20
C
16
20
C
13k
20
C
7
20
C
4
20
C
1
20
C +++
+
++++
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)
20
=
20
20

2
ta có:
x
2
(1 + x)
20
=
20
20
C
22
x
19
20
C
21
x
18
20
C
20
x
3
20
C
5
x
2
20
C

C
1
20
C
0
20
C +++++++
(1)
Cho x =
ε
ta có:
2
ε
(1 +
ε
)
20
=
2
ε
20
20
εC
19
20
C
18
20
C
2

ε
20
20
C
2
ε
19
20
C
18
20
εC
3
20
εC
2
20
C
2
ε
1
20
C
0
20
C +++++++
(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta có:
2
20

ε
)
20
=
1
21
ε =
- 10 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
Do vậy: 3T = 2
20
+ 2. Hay: T =
3
2
20
2 +
Ví dụ 3:
Tính tổng: P =
18
20
18C
15
20
15C
3k
20
3kC

20
C
3
x
2
20
C
2
x
1
20
xC
0
20
C +++++++
Đạo hàm hai vế ta có:
20(1 + x)
19
=
20
20
C
19
x20
19
20
C
18
x19
18

18
20
C
18
x18
3
20
C
3
x3
2
20
C
2
x2
1
20
xC ++++++
Cho x = 1 ta được:
20.2
19
=
20
20
C20
19
20
C19
18
20

20
εC19
18
20
C81
4
20
εC4
3
20
3C
2
20
C
2
ε2
1
20
εC ++++++
(2)
Cho x =
2
ε
ta có:
20
ε
2
(1 +
ε
2

(3)
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có:
20[2
19
+
ε
(1 +
ε
)
19
+
ε
2
(1 +
ε
2
)
19
] = 3P -
0
20
C
Mặt khác:
ε
(1 +
ε
)
19
=
1

20
– 39 . Suy ra P =
13
3
20
10.2
−
III- MỘT SỐ BÀI TẬP:
1- Tính các tổng sau:
( ) ( ) ( ) ( )
29
30
C
29
329
27
30
C
27
327
5
30
C
5
35
3
30
C
3
33

Hướng dẫn: Xét khai triển:
( )
30
x31+
. Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực,
phần ảo của hai số phức.
ĐS: A
1
=
29
.2315
; A
2
= - 45.2
29
2- Tính các tổng sau:
24
25
23.24C
22
25
21.22C
8
25
7.8C
6
25
5.6C
4
25

2
B −++−+−+=
Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)
25
. Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i. So sánh
phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau.
ĐS: B
1
= 75.2
14
– 1; B
2
= –25(1 + 3.2
14
)
3- Tính các tổng sau:
20
20
21C
18
20
19C
16
20
17C
6
20
7C
4
20

2
C −+−+−+−=
Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)
20
. Nhân hai vế với x. Đạo hàm hai vế. Cho x = i.
ĐS: C
1
= - 11.2
10
; C
2
= - 10.2
10
4- Tính các tổng sau:
99
100
C
2
99
97
100
C
2
97
95
100
C
2
95
7

100
98
100
C
2
98
96
100
C
2
96
8
100
C
2
8
6
100
C
2
6
4
100
C
2
4
2
100
C
2

25
2C +++++
Hướng dẫn: Xét khai triển của (1 + x)
25
. Đạo hàm hai vế. Sau đó nhân hai vế với x
2
. Cho
x lần lượt bằng 1,
2
εε,
(ba căn bậc ba của 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được ta
tìm được E.
ĐS: E =
3
1)
24
25(2 −
6 – Tính các tổng sau:
40
40
C
2
40
37
40
C
2
37
10
40

C
2
11
8
40
C
2
8
5
40
C
2
5
2
40
C
2
2
2
F ++++++=
39
40
C
2
39
36
40
C
2
36

nhận được.
Làm thế nào để có F
2
, F
3
mong độc giả cùng tìm tòi một chút !
ĐS:
3
1)
38
40.41(2
1
F
−
=
3
1)
38
39.40(21)
39
40(2
2
F
−++
=
3
12)
38
39.40(21)
39

40
C
1
G +++++++=
40
40
41C
37
40
38C
34
40
35C
10
40
11C
7
40
8C
4
40
5C
1
40
C2
2
G +++++++=
38
40
39C

3
mong độc giả cùng tìm tòi một chút !
ĐS: G
1
= 7.2
40
+ 13; G
2
= 7.2
40
– 27; G
3
= 7.2
40
+ 28.
- 14 -