Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê i

Lời cảm ơn

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS
Trương Minh Đức cùng Thầy giáo Trần Viết Điền, người đã tận tình hướng dẫn
cho em trong quá trình thực hiện bài tiểu luận.

Em xin chân thành cám ơn các Thầy cô giáo đã giảng dạy, đóng góp ý kiến
trong suốt thời gian học tập và thực hiện bài tiểu luận của em tại Khoa Vật Lý.

Em xin cảm ơn các bạn đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt thời
gian vừa qua.

Em xin chân thành cám ơn các cán bộ của Trung Tâm Thông Tin Trường
Đại Học Sư Phạm đã tạo điều kiện cho em trong quá trình tìm kiếm tài liệu.
Sinh viên

Trương Ngọc Quê

Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê ii

Mục Lục

Lời cảm ơn i

SVTH: Trương Ngọc Quê iii

2.2.2. Bài tập 2: 22
2.2.3. Bài tập 3: 23
2.2.4. Bài tập 4: 24
2.2.5. Bài tập 5: 25
2.2.6. Bài tập 6: 26
2.2.7. Bài tập 7: 28
2.2.8. Bài tập 8. 30
Phần III: Kết Luận 33
Tài Liệu Tham Khảo 34
Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê 3 PHẦN I : MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Với sự phát triển hiện nay của nhiều ngành khoa học chúng ta có thể dần
khám phá ra những điều bí ẩn tồn tại trong thế giới tự nhiên. Một trong những
ngành khoa học ngày càng phát triển đó là vật lý. Trong ngành vật lý học có rất
nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải những vấn đề của thế giới mà các
ngành khoa học khác không thể giải thích rõ ràng được. Một trong các công cụ
chủ yếu của vật lý học là thuyết lượng tử mà cơ bản nhất là cơ học lượng tử.
Cơ học lượng tử được hình thành vào nửa đầu thế kỷ 20 do Max Planck,
Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born,
John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli và một số người khác tạo nên.
Một số vấn đề cơ bản của lý thuyết này vẫn được nghiên cứu cho đến ngày nay.
Cơ học lượng tử là một bộ phận trong cơ học lý thuyết.

mỗi sinh viên học tập tốt học phần cơ học lượng tử cần có hệ thống kiến thức và
hệ thống bài tập cơ bản phục vụ. Nhằm đáp ứng một phần nhỏ mục đích trên thì
em xin chọn vấn đề “xây dựng hệ thống bài tập hỗ trợ cho việc học tập chương
Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” làm đề tài nghiên cứu.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
- Hệ thống hóa cơ sở lý thuyết.
- Xây dựng được các ví dụ bài tập minh họa cho từng phần cơ bản trong
chương “sự phụ thuộc đại lượng động lực theo thời gian”.
- Nghiên cứu để mở rộng kiến thức, rèn luyện phương pháp giải bài tập,
phương pháp nghiên cứu khoa học.
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian”.
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
Xây dựng được một số ví dụ và bài tập liên quan minh họa cho từng phần
cơ bản trong chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian”.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Phương pháp chủ yếu là phương pháp lý thuyết.
VI. BỐ CỤC TIỂU LUẬN.
Tiểu luận gồm 3 phần:
- Phần 1: Phần mở đầu:
Gồm: Lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, nhiệm
vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu.
- Phần 2: Phần nội dung:
Gồm 2 chương:
 Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
 Chương 2: Ví dụ và bài tập.
- Phần 3: Phần kết luận.
Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền


lên trạng thái



. Kết quả thu được của một phép đo chính là một
trong các trị riêng (phổ trị riêng) của toán tử 

. Phổ trị riêng này có thể gián
đoạn hoặc liên tục. điều này sẽ tương ứng với hay phương trình trị riêng của
toán tử 

như sau:





, đối với trường hợp phổ trị riêng gián đoạn,





, đối với trường hợp phổ trị riêng liên tục,
trong đó



hoặc


1.2. Đạo hàm của toán tử theo thời gian.
Ta sẽ tìm đạo hàm theo thời gian của toán tử 

. Muốn vậy, ta chấp nhận
mệnh đề sau:
Đạo hàm của trị trung bình của đại lượng động lực A bằng trung bình của
đạo hàm của đại lượng động lực A theo thời gian, nghĩa là:






Trước hết ta tính đạo hàm theo thời gian của trị trung bình của A:














  































Thay vào (1.2), ta được:




  
















Do tính chất Hermite của toán tử 

nên ta có thể biến đổi tích vô
hướng thứ hai trong (1.4) như sau:





















Hay:
















GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê 7

So sánh (1.6) với (1.7) và sử dụng (1.1) ta được:















 





Phương trình (1.8) chính là biểu thức đạo hàm theo thời gian của toán tử


. Phương trình này còn gọi là phương trình chuyển động Heisenberg. Đối với

và được gọi là móc Poisson lượng tử. Lúc đó (1.8) trở thành:















Trong trường hợp đại lượng động lực A không phụ thuộc tường minh vào
thời gian, nghĩa là thì đạo hàm của toán tử 

theo thời gian chỉ đơn giản bằng móc
Poison lượng tử của toán tử 

và 

, khi đó (1.9) có dạng đơn giản:














Từ phương trình này ta có thể tìm được phương trình chuyển động trong
cơ học cổ điển. Thật vậy, cho A = x, ta được:





















. Nếu các
đại lượng động lực đang xét là toạ độ và xung lượng của hạt (không phụ thuộc
Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê 8

tường minh vào thời gian) thì ta sẽ được các phương trình chuyển động như
sau:




















Từ hai phương trình này ta có thể tìm được các phương trình diễn tả sự












Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý Erenfest. Theo (1.1) ta có:





















Tính giao hoán tử













 

 hay







 








 














 







Thay vào phương trình (1.20), ta được:









Tính giao hoán tử














 




, ta được







Tương tự, thay biểu thức đạo hàm của toán tử 

vào (1.20), ta được:






























Điều kiện (1.27) cho ta



.
Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê 10

Theo phương trình chuyển động Heisenberg ta có:













Để (1.28) được nghiệm đúng thì:
























Khai triển một trạng thái bất kỳ theo các hàm riêng ta được:


















Xác suất đo giá trị 

là: 





















.
Dạng của toán tử 


có thể được xác định như sau: Theo định nghĩa của toán tử
tịnh tiến thì:

















 

 



 















 


  











  


















Vì toán tử xung lượng của hệ có dạng:









Vậy ta kết luận rằng tính đồng nhất của không gian liên quan đến sự bảo
toàn xung lượng.
1.5.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng
Định luật này liên quan đến tính đẳng hướng của không gian. Vì không
gian là đẳng hướng nên tính chất vật lý của một hệ không đổi theo mọi phương.
Về mặt vật lý, điều đó có nghĩa là Hamil- tonian của hệ giao hoán với toán tử
quay một góc nhỏ 

.

Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê 12

Gọi 


là toán tử quay thì:













 



 





























, nên:





 











 












Vì toán tử mômen xung lượng của hệ có dạng:
























nên 



Thực hiện khai triển: 



  


. Từ đó, toán tử 



có dạng:





  




Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê 13

Vì toán tử 



Toán tử Hamilton của một hệ kín bất kỳ là bất biến đối với phép biến đổi
nghịch đảo. Tính bất biến này cũng đúng cho một hệ ở trong trường ngoài đối
xứng xuyên tâm, nếu tâm đối xứng là tâm của trường. Như vậy ta có:







Ta xác định trị riêng của toán tử nghịch đảo. Muốn vậy, ta hãy tác dụng
toán tử 

lên cả 2 vế của phương trình (1.41):
























hoặc











Ta gọi hàm sóng trong trường hợp đầu là hàm chẵn và trường hợp sau là
hàm lẻ.Từ hệ thức






, ta đi đến kết luận là tính chẵn lẻ của hàm sóng là



,
(3) Phân phối đối với phép cộng:



 


















,
(4) Phân phối đối với phép nhân:




  








  









Các hệ thức giao hoán sau đây:
(a)







(b)





(e)












(f)
















2.1. Các ví dụ
2.1.1. Ví dụ 1 (Ví dụ cho mục 1.2):
Chứng minh rằng đạo hàm theo thời gian của tổng và tích của hai toán tử
cũng tuân theo quy luật giống như đạo hàm của tổng và tích của hai số thông
thường.
Lời giải:
Sử dụng hệ thức đạo hàm của tổng hai toán tử theo thời gian, ta có:





 







 







SVTH: Trương Ngọc Quê 15

Sử dụng công thức tính đạo hàm theo thời gian của hai toán tử 

và 

, ta
có:

































 









 












 

  

 









 











 






















Từ (1) và (2) (hoặc (3)) ta có thể suy ra hệ thức cần chứng minh là:





 














Ta cần chứng minh rằng:














 













 















Cách khác là đi từ:
Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê 16




 























 

















 





 





 













 





2.1.2. Ví dụ 2 (Ví dụ mục 1.3)
Một hạt dao động điều hòa có điện tích q > 0 và khối lượng m, đặt trong
một điện trường 

.
a) Tính 



và  

.
b) Giải phương trình cho  

, từ đó tìm  khi biết 









,và các hệ
thức giao hoán,ta có: trong đó Hamiltonian có dạng:











 

 






Do đó:


























  





SVTH: Trương Ngọc Quê 17






















b) Đạo hàm theo thời gian biểu thức  

và sử dụng biểu thức 



,




















  ,
với A là hằng số được xác định từ điều kiện đầu, Vì 





nên ta được
 , từ đó :

























Với 

























































, suy ra xung
lượng là tích phân chuyển động.











Tính















,














 


 



 




hãy xét đối với bình phương momen xung lượn có phải là một đại lượng bảo
toàn hay không?
Lời giải:
Một đại lượng độnglực A được gọi là bảo toàn khi thỏa mãn điều kiện sau
đây:





















 


 



 




























 



 
























































 











 













Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê 19




























 































 






 






 
























































 



 














 






 






 








Suy ra:




























































 













 




































 





  

















 








 





  







2.1.5. Ví dụ 5
Hạt chuyển động trong một trường thế năng phụ thuộc vào x hay 
hãy tìm trong các đại lượng động lực sau đại lượng nào là tích phân chuyển
động: năng lượng, các hình chiếu của xung lượng, các hình chiếu của momen
xung lượng và bình phương momen xung lượng.
Lời giải:
Do các đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên
ta chỉ cần tính các giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán tử Hamilton là
được.
Cụ thể cần tính các giao hoán tử sau đây:






,






,








,








Toán tử Hamilton có dạng như sau: 







 





Áp dụng các tính chất của toán tử và các hệ thức giao hoán, ta có:

































 







 

























 


































 






































 

























 










 












 
















 






Còn với 


, tính như sau:






















































 






















 





















 






 






















 








 





  





 











Do đó, ta thấy rằng :








Như vậy, các đại lượng sau là tích phân chuyển động: năng lượng, hình
chiếu của xung lượng lên trục y, lên trục z, và hình chiếu momen xung lượng lên
Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê 22

trục x.
2.2. Bài tập
2.2.1. Bài tập1:
Chứng minh trị trung bình của đạo hàm theo thời gian của một đại lượng
vật lý không phụ thuộc tường minh vào thời gian trong trạng thái dừng của phổ
gián đoạn thì bằng 0.
Lời giải:

Gọi A là đại lượng vật lý đang xét, ta có trị trung bình của đạo hàm theo
thời gian của A là:






 




Áp dụng tính chất hermite của toán tử 

rồi áp dụng phương trình trị riêng
của toán tử 

: 







, ta được:

























  












 




























Lời giải:







 




Do đó:
Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê 23















































Như vậy:
















 b)Ta có:









































 









 









 

 



c)Ta có:



 
































 


























2.2.3. Bài tập 3:

tọa độ cầu, trong đó các toán tử 







có dạng:
Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử
GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê 24








 

























Phần góc của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu có dạng:






















































































 




trong đó 

là thế vecto, m là khối lượng của hạt.
(a) Tìm toán tử vận tốc của hạt.
(b) Thiết lập hệ thức giao hoán giữa các toán tử thành phần.
Lời giải:
Toán tử Hamilton của hạt mang điện chuyển động trong từ trường có dạng:







