SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
MỤC LỤC
MỤC Nội Dung Trang
1 Mục lục 1
2 1. ĐẶT VẤN ĐẾ 2
3 1.1 Lý do chọn đề tài : 2
4 1.2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 2
5 1.3 phương pháp nghiên cứu: 2
6 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3
7 2.1 Thực trạng của vấn đề 3
8 2.2 Cơ sở lí luận của vấn đề 3
9 2.3 các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 3
10 Phần I: Giới hạn dãy số 3
11 A. Kiến thức cơ bản 3
12 B. Phương pháp giải toán 4
13 C. Các ví dụ 5
14 Bài tập tự giải 7
15 Phần II: Giới hạn hàm số 7
16 A. Kiến thức cơ bản 7
17 B. Phương pháp giải toán 8
18 C. Các ví dụ 9
19 Bài tập tự giải 12
20 Phần III: Hàm số liên tục 15
21 A. Kiến thức cơ bản 15
22 B. Phương pháp giải toán 16
23 C. Các ví dụ 17
24 Bài tập tự giải 21
25 Phần ba: Kết luận 24
26 Kiến nghị 24
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
1

giữa các phần với nhau, phân loại và đưa ra phương pháp cho từng loại
2.3 các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Dãy số có giới hạn 0:
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới hạn 0 nếu với mổi số dương
nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi,
đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đói.
Kí hiệu:
( )
lim 0u
n
=
hoặc
lim 0
n
u
=
hoặc
0
n
u
→
b) Một vài giới hạn đặc biệt

1
lim
k

|
≤
v
n
với mọi n và lim v
n
=0 thì lim
u
n
=0
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
a) Định nghĩa :Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là số thực L nếu
( )
lim 0.
n
u L− =
Kí hiệu:
( )
lim 0u
n
=
hoặc
lim 0
n
u
=
hoặc
0

Định lý 1: Nếu lim(u
n
)=L , lim(v
n
)=M thì:
a)
( )
± = ±
lim
n n
u v L M
b)
( )
=
lim . .
n n
u v L M
c)
( )
= ≠lim , 0
n
n
u
L
M
v M
c) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với
<
1q
:

→ +∞
Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là
−∞
nếu với mổi số âm bất kỳ, mọi số hạng
của
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: lim(u
n
)=
−∞
hay limu
n
=
−∞
hay u
n

→ −∞
b) Một vài giới hạn đặc biệt
limn
k
=
+∞
(k
∈
*
N
) lim

∞
+
∞
+
∞
–
∞
–
∞
–
∞
+
∞
–
∞
–
∞
–
∞
+
∞
tính chất 2: Nếu
n
ulim = ±∞
và
n
v Llim 0= ≠
thì
n n
u vlim( )

n
u Llim 0= ≠
,
n
vlim 0=
và
n
v 0>
hoặc
n
v 0<
kể từ một số hạng
nào đó
trở đi thì
n
n
u
v
lim
được cho trong bảng sau:
L
n
v
n
n
u
v
lim
+ +
+

( )
0
0
lim
n
a
u
b
=
.
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì rút n
k
ra đơn giản và đi đến kết quả :
lim(u
n
)=0.
o Nếu k = bậc P > bậc Q, rút n
k
ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(u
n
)=
∞
.
2. Giới hạn của dãy số dạng:
( )
( )
n
f n
u
g n

1) dự đoán
2
lim
n
=
1
0
kiểm chứng:
với số dương
1
100
ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều
có |u
n
|<
1
100
với số dương
1
10000
ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng trong dãy số
đều có |u
n
|<
1
10000
2) dự đoán
lim
=
3

1) u
n
=
2
1
n
+1 2) u
n
=
1
n
giải
1)
2
lim
n
+ ≠
1
1 0
Vì với số dương
1
2
ta thấy mọi số hạng trong dãy số đều có |u
n
|>
1
2
2)
lim
− ≠

4)
lim
3
1
n
5)
lim
 
 ÷
 
1
2
n
6)
lim
 
 ÷
 
3
4
n
Giải
1) và 2) là những dãy số có dạng u
n
=
1
k
n
nên có giới hạn là o
3) và 4) là những dãy số có dạng u

4
n
Giải
1)
lim(
+ =
1
3) 3
n
vì
lim
 
+ − = =
 
 
1 1
( 3) 3 lim 0
n n
Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về 3 khi n tăng
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
9
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
2)
lim(
− =−
3
1
4) 4
n
vì

3
1 1
n
n
3)
lim
2
n
4)
lim
+
+
2
3
1
1
n
n
5)
lim
+
1
3
n
6)
lim
−
1
3
n

lim
+
+
= =
+
+
2
3
3 2.0
3
1
1 0
1
n
n
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
10
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
5)
lim
+ = + =
1
3 0 3 3
n
6)
lim
− = − =
1
3 0 3 3
n

lim
=
+
2
1
0
1n
2)
<
+
3 3
sin 1
1
n
n n
và
lim
=
3
1
0
n
suy ra
lim
=
+
3
sin
0
1

>1000
với số dương 1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng trong dãy số đều
có u
n
>1000000
2) dự đoán
( )
lim
− =−∞
n
kiểm chứng:
với số âm -100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có u
n
<-
100
với số âm -1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 1001 mọi số hạng trong dãy số đều có
u
n
< -1000000
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định
nghĩa dãy số có giới hạn vô cực, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định
nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn
vô cực
Bài 8. Xác định giới hạn của các dãy số sau?
1)
4
limn
2)
lim
3

q
với q>1 nên có giới hạn là
+∞
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một
vài dãy số có giới hạn vô cực đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số
có giới hạn vô cực đặc biệt
Bài 9. Tìm giới hạn các dãy số sau.
1)
( )
lim
3
3.n
2)
( )
lim
+
3 2
n n
3)
lim
+
4 2
1
n n
4)
lim
 
 ÷
 
1

4 2
1
0
n n
4)
lim
=+∞
 
 ÷
 
1
2
3
n
5)
lim
=−∞
 
−
 ÷
 
1
2
3
n
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
13
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các
tính chất của giới hạn vô cực giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận

1 2
n
n
 
+
 ÷
−
 
6)
3
2
lim
n 1
n
 
 ÷
+
 
Giải
1.
2
2 2
2
2
2
2
2
2 5
2 5
n 3+ +

n +1 + 4n 1+4 5
n
lim = lim =lim = =
2
3n - 2 3 3
2
3 -
3 -
n
n
 
 ÷
 ÷
 
 
 ÷
 
n
n
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
14
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
3.
(
)
(
)
(
)
2 2

 ÷
 ÷
 
n
4)
2
2 2
2
2
2 2
1 1
n
1
n n
lim lim lim 0
1 1
n 1
n 1 1
n n
   
 ÷  ÷
 
   
= = =
 ÷
+
   
 
+ +
 ÷  ÷

 
−
 ÷
 ÷
 
 
6)
3
2
3
1
lim lim
1 1
n 1
n
n n
 
 ÷
 
= = +∞
 ÷
 ÷
+
 
 ÷
+
 
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn
dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học
sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng

4)lim n +1 - n -1 ; 5)lim( n +n - n +1 ); )lim n -1( n+2 - n );
PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa giới hạn của hàm số:
Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm : Giả sử
a b( ; )
là một khoảng
chứa điểm
x
0
và f là một hàm số xác định trên tập
a b x
0
( ; ) \{ }
. Ta nói hàm số f có giới
hạn là số thực L khi x dần tới
x
0
(hoặc tại điểm
x
0
) nếu với mọi dãy số
n
x( )
trong tập
a b x
0
( ; ) \{ }
mà
n

n
xlim = +∞
, ta đều có:
n
f x Llim ( ) =
Ta viết:
x
f x Llim ( )
→+∞
=
Các giới hạn khác được định nghĩa tương tự.
Định nghĩa giới hạn bên phải, bên trái:
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
16
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
x b
0
( ; )

x R
0
( )∈
. Ta nói hàm số f có giới hạn bên
phải là số thực L khi x dần tới
x
0
(hoặc tại điểm
x
0

→
=
Nhận xét:
•

− +
→
→ →
= ⇔ = =
0
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x
x x x x
f x L f x f x L
2. Một số hàm số có giới hạn đặc biệt:
Với
x R
0
∀ ∈
, ta có: a)
x x
c c
0
lim
→
=
(c: hằng số) b)
x x
x x

1
lim 0
→+∞
=
;
k
x
x
1
lim 0
→−∞
=
3. Một số định lí về giới hạn
a) Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1: Giả sử
x x
f x L
0
lim ( )
→
=

x x
g x M
0
lim ( )
→
=
(L, M
∈

cf x cL
0
lim ( )
→
 
=
 
d)
x x
f x L
g x M
0
( )
lim
( )
→
=
(M
≠
0 )
Định lí 2: Giả sử
x x
f x L
0
lim ( )
→
=
a)
x x
f x L

lim ( )
→
=
b) Một số định lí về giới hạn vô cực
Định lí: Nếu
x x
f x
0
lim ( )
→
= +∞
thì
x x
f x
0
1
lim 0
( )
→
=
Qui tắc 1: Nếu
x x
f x
0
lim ( )
→
= ±∞
và
x x
g x L

+
–
∞
–
∞
–
+
∞
Qui tắc 2: Nếu
x x
f x L
0
lim ( ) 0
→
= ≠

x x
g x
0
lim ( ) 0
→
=
và
g x( ) 0>
hoặc
g x( ) 0<
với
x J x
0
\{ }∀ ∈

SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
1. Giới hạn của hàm số dạng:
( )
( )
0
lim
0
x a
f x
g x
→
 
 ÷
 
Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì phân tích ra thừa số.
Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức
liên hợp.
Sau đó rút gọn tử, mẩu
2. Giới hạn của hàm số dạng:
( )
( )
lim
x
f x
g x
→∞
∞
 
 ÷
∞

Nhân trọn f(x) và g(x) để đưa về 3 dạng trên
C. CÁC VÍ DỤ:
Bài 1. Tìm giới hạn các hàm số sau:
1)
2
x -1
lim(x +1)
→
2)
2
3
1
x 1
x
lim
x
→
+
+
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
19
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
3)
( )
2
3
1
x 1
lim
x

→
2) xét hàm số f(x)=
2
3
1
x
x
+
+
. Với mọi dãy số (x
n
), x
n
≠
-1 với mọi n và limx
n
=1,
ta có f(x
n
)=
2
3
1
n
n
x
x
+
+
suy ra lim f(x

n
≠
1 với mọi n và limx
n
=1,
ta có f(x
n
)=
2
3
( 1)
n
x −
. vì lim3=3, lim(x
n
-1)
2
=0 và (x
n
-1)
2
>0 với mọi n suy ra
limf(x
n
)= +
∞
Vậy
( )
2
3

Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định
nghĩa giới hạn hàm số, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
20
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
thời giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính chất hàm số và tính
chất dãy số
Bài 2. Xác định giới hạn của các dãy số sau?
1)
→
3
lim4
x
2)
→−
3
lim
x
x
3)
→+∞
4
lim
x
x
4)
→+∞
5
lim
x

=
3
lim4 4
x
2)
→−
=−
3
lim 3
x
x
3)
→+∞
=+∞
4
lim
x
x
4)
→+∞
=+∞
5
lim
x
x
5)
→−∞
=+∞
4
lim

2
3
1
x 1
x
lim
x
→
+
+
2)
( )
3
x
lim x x
→+∞
+
3)
( ) ( )
2
2 3 4
x
lim x x
→
− −
Giải
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
21
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
1)

Bài 4. Tìm giới hạn các hàm số sau.
1)
2
x 2
x - 3x+ 2
lim
x - 2
→
2)
x 3
x+1 - 2
lim
3x - 3
→
3)
3x-1
lim
2x 1
x→−∞
 
 ÷
+
 
4)
2
2x x 3
lim
x x 1
x→+∞
 

+
2
x 2
x
lim x - 2
x -4
→
Giải
1) dạng
0
0

( ) ( )
( )
2
x 2 x 2 x 2
x - 2 x -1
x - 3x+ 2
lim = lim = lim x -1 = 2 -1= 1
x - 2 x - 2
→ → →
.Chia tử và mẫu cho (x-2).
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
22
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
2) dạng
0
0

( ) ( ) ( )

   
− −
 ÷  ÷
 
   
= = =
 ÷
+
   
 
+ +
 ÷  ÷
   
4) dạng
∞
∞
2
2 2
2
2
2 2
x x x
2 x 3 1 3
x 2
x x x
2x x 3
lim lim lim 0
1 1 1 1
x x 1
x 1 1

lim lim lim 0
2 1 2 1
2x 1
x
x xx x
→−∞ →−∞ →−∞
   
− −
 ÷  ÷
 
   
= = =
 ÷
+
   
 
+ +
 ÷  ÷
   
6) dạng
∞ − ∞
( )
3 2 3
3
2 1
lim 2 1 lim (1 )
x
x
x x x
x x

x 2
x
lim x - 2
x - 4
+ +
→ →
→
− −
= = =
− +
Lưu ý : Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn
dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học
sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Tính các gới hạn
Bài 1: (Tính trực tiếp)
1.
2
x -1
lim(x +2x+1)
→
2.
x 1
lim(x+ 2 x +1)
→
3.
( )
2
x 3
lim 3- 4x

x
2
x -1 x - 3 x - 3x+2
1)lim ; 2)lim ; )lim ;
x -1 x +2x -15
x - 2
x -1 x - x 8x -1
4)lim ; 5)lim ; )lim ;
x +2x - 3 6x - 5x+1
x -1
→ → →
→ →
→
Bài 3: (Tìm giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc
hai)
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
24
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
2
x 0 x 1 x 7
2
2
x 1 x 6 x 2
x+4 - 2 x+3 -2 2 - x - 2
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;
x x -1 x - 49
x - 2x -1 x - 2 - 2 x +5 - 3

5 4 2
2
x + x + x
2
2 2
x x x
-6x +7x -4x+3 x+ x +1 x+ x + x
1) lim ; 2) lim ; ) lim ;
8x - 5x +2x -1
2x+ x+1
3x - x +1
4x -1 2x + x -1 5x+3 1- x
4) lim ; ) lim ; ) lim ;
1- x
4x +3 x x -1
→ ∞ → ∞ → − ∞
→ −∞ → −∞ → − ∞
3
5 6
Bài 7: (Tính giới hạn dạng
∞ − ∞
của hàm số)
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)

x + x
→ → →
→ → →
Bài 9: (Tính giới hạn dạng
0.∞
của hàm số)
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
25