Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
Sáng kiến kinh nghiệm
Một số kinh nghiệm về phơng pháp giải
hệ phơng trình bậc hai hi ẩn
PHN M UTớnh cp thit ca ti, tỡnh hỡnh nghiờn cu, mc ớch v nhim v ca
sỏng kin kinh nghim, i tng v phm vi nghiờn cu.
- Trong chơng trình toán 10 một nội dung kiến thức rất quan trọng và rất
khó, đó là hệ phơng trình bậc hai hai ẩn. Đối với học sinh đại trà, trung bình yếu
gặp rất nhiều khó khăn khi làm bài kiểm tra cuối chơng, thi tốt nghiệp cũng nh
thi Đại học, Cao đẳng. Vấn đề cấp thiết đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu và
nắm đợc phơng pháp giải hệ phơng trình bậc hai hai ẩn, biết vận dụng vào bài
tập thi cuối kỳ cũng nh ôn thi Đại học, Cao đẳng.
- Qua nhiều năm giảng dạy với đối tợng học sinh của trờng THPT số I Bắc
Hà, tôi đã nghiên cứu và rút ra một số kinh nghiệm giảng dạy phơng pháp giải hệ
phơng trình bậc hai hai ẩn để học sinh hiểu rõ và biết làm bài tập.
Biện pháp thực hiện:
- Nghiên cứu các tài liêụ, các sách tham khảo.
- Giới thiệu khoảng 8 tiết khi học xong chơng phơng trình Hệ phơng
trình - Đại số 10.

1
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà

22
5
5
xyxy
xy
+
+=


+=


Giải:
Đặt S = x+y, P = x.y có hệ
2
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
22
55
25 2(5)5
3
5
2
2
5
3
5
5
10
SP P S
SP S S



+=
=




=




=



2
1
320
2
t
tt
t
=

+=

=


()30xy x y
+
+=


+
=

5
6
11
S
P
SP

Đặt S = x+y, P = x.y
Hệ đã cho tơng đơng với
.30
6
5
SP
S
P

=



=
+=

=+


a) Giải hệ khi m = -3
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
3
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
Giải:

Đặt S = x+y, P = x.y có hệ



2(1)
.1(2)
SPm
SP m
+=+
=+

11
.2 2
SP S
SP P
+= =



a) Với m = -3 có hệ
=

(2) 1
(2) 1
(2) 10()
mPPm
mPPm
Pm P
P
Pm
+ = +
+ =+
+ + =
=



=+

22
3
4(1)4
m
SPm
m

+ Với S = 1, P = -2 suy ra x và y la nghiệm phơng trình

Trờng hợp này hệ có 2 nghiệm: (-1;2), (2;-1)
+ Với S = -2, P = 1 suy ra x và y la nghiệm phơng trình
12


= + = =
Vậy với m = 3 ; m = -5 hoặc
3
4
m
=
thì hệ có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4:
Giải hệ phơng trình:
22
2
2(1 )
()4
x
ya
xy

+
=+


+=



a) Giải hệ khi a = 1
4
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
b) Tìm m để hệ có đúng 2 nghiệm
Giải:




=

=






+ Với S = 2, P = 0 hệ có hai nghiệm (0;2), (2;0)
+ Với S =-2, P = 0 hệ có hai nghiệm (0;-2), (-2;0)
Vậy hệ có 4 nghiệm (0;2), (2;0), (0;-2), (-2;0)
b) Giả sử hệ có nghiệm
00
(; )
x
y các cặp số
00
(; )
x
y

;
00
(;)
y
x ,

00
(; ) y
00
(;)=
x
y

x
00
(;
,
)
x
y
00
) = (;
y
x

00x
y=
0
0
0
x



Vậy a = 0 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5:
Giải hệ phơng trình:
22
4422
7
21
xyxy
xyxy

++=


+
+=



Giải:

Hệ này là hệ đối xứng loại 1:
Hệ đã cho tơng đơng với
{
2
22222
()
() 21(2)
xy xy
xy xy
+

1
2
2
1
320
2
t
tt
t
=

++=

=


Vậy
2
SS=
+ Với S = 3, P = 2 suy ra x và y là nghiệm phơng trình
2

Hệ có 2 nghiệm (1;2) và (2;1)
+ Với S = -3, P = 2 suy ra x và y là nghiệm phơng trình

Hệ có 2 nghiệm (-1;-2) và (-2;-1)
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (1;2), (2;1), (-1;-2) và (-2;-1)
2. Hệ phơng trình đối xứng loại 2

Phân tích cho học sinh nắm chắc dạng tổng quát của hệ phơng trình đối

0
xy xy yx
22
22
()( 4)
0
40
x
yx xy y x y
xy
xy
= +
x xyy
xxyy

++=





3
22
3
0
73
40
73
xy
xx

Hai hệ phơng trình cơ bản giải đợc nghiệm
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:

3
3
5
5
x
xy
=
+


y
yx
=
+


33
22
22
5( )
()( )()
0
40
xy xyyx

Trừ từng vế hệ phơng trình ta đợc:
x




Trong đó x, y là ẩn, còn laiij là hệ số:
Phơng pháp giải: Quy đồng hệ số ở vế phải sau đó trừ từng vế hệ phơng
trình tìm đợc rồi đặt x = ky (Biệm luận
0y

)
Ví dụ1:
Giải hệ phơng trình
22

++=
22
23 9(1)
2 2 2(2)
xxyy
xxyy


++=


Giải:

Hệ trên tơng đơng với:
22
22
22

y

=






++=


=




Từ
33
88
x
x
y
y
= = Thay vào (2) ta đợc:
7
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
2
2
222


Hệ có 2 nghiệm
3 17 3 17 8 17
;
17 17 17





8 17
;;
17

Từ
1
2
2
x
y
x
y

== 2 thay
y
x
=

22
2

Với k = 1 có hệ
22
2
22
2
22
41
34
416 4 4
34
4133 0
3
4
xxyy
yxy
xxyy
yxy
xxyy
xy
y
x

+=


=





y
yyy ===

Trờng hợp này hệ có 2 nghiệm (1;4) và (-1;-4)
8
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
b) Trong trờng hợp tổng quát từ phơng trình (2) . Vậy 0y
2
4
3
y
x
y

=
thay vào phơng trình (1) rút ngọn đợc:
(
)
42
9 4 16 0ykyy14
+
=
2
0y >

Với mọi k phơng trình luôn có nghiệm từ đó tìm đợc y. Do đó hệ đã cho
có nghiệm với mọi k.
Phơng pháp giải hệ phơng trình bậc 2 hai ẩn chủ yếu bằng cách biến đổi
tơng đơng đa về hệ cơ bản hoặc đặt ẩn phụ đa về hệ cơ bản. Tất cả các hệ
phơng trình đã nói trên đều coi nh hệ cơ bản mà học sinh phải nắm chắc phơng

6
1
1
5
y
yy
y
xx
y
x



+=


+=





+=
2
2
25
xx
y
y
xx

5120
.6
2
v
v
u
uv
u
u
v
v
vv
v




=

=
=
2
vu

=




=





=
=



hoặc
1
2
1
x
y

=



=


Vậy nghiệm của hệ phơng trình (1;2) và
1
;1
2




x

++=


yy


+
+=



Đặt
x
1
;
ux v
y
y
=+ =
22 2
5
12
77 7
13 7 13 0 20
u
uv v u v u
uv u u uu
Ta có hệ phơng trình


+ Với u = -5; v = 12 Ta có hệ phơng trình
1
5x

12
y
x
y
+
=




=



+ Với u = 4; v = 3 Ta có hệ phơng trình
1
4x
y

3
x
y
+
=


của các phơng trình trong hệ phơng trình cho y ta đợc:
2
1
()4
x
yx

+
++=
2
1
(2)1
y
x
yx
y

+

+ =





10
Tổ: Toán Tin GV: V Hi Anh - Trờng THPT số 1 Bắc Hà
Đặt
2
1

Hệ đã cho tơng đơng với
2
1
1
3
x
y
xy

+
=



+
=


Đến đây giải hệ bằng phơng pháp thế
Phần kết luận
Qua thực tế giảng dạy lớp 10 A1 và ôn thi Đại học, Cao đẳng cho học sinh
lớp 12A1 khi vận dụng các phơng pháp trên trong phần này. Tôi nhận thấy học
sinh tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng, học sinh hứng thú học tập và nắm đợc
phơng pháp giải các bài toán về hệ phơng trình bậc hai hai ẩn. Cụ thể qua bài
khảo sát lần hai số học sinh đạt điểm trung bình trở lên là 80%.
Trên đây là một vài kinh nghiệm của tôi về phgơng pháp giảng dạy phần hệ
phơng trình bậc hai hai ẩn với mục tiêu học sinh nắm đợc kiến thức cơ bản và
biết vận dụng vào giải bài tậpk. Rất mong đợc sự đóng góp của các đồng chí đồng
nghiệp về bài viết của tôi.