Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore | Biên soạn: Cao Văn Tú
1
Website: chembooks.vn ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 3

Biên soạn: Cao Văn Tú
Lớp: CNTT_K12D
Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.

Cấu trúc đề thi: Gồm 6 câu
Câu 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính.
Câu 2: Giải phương trình vi phân có biến số phân ly.
Câu 3: Giải phương trình vi phân toàn phần.
Câu 4: Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên.
Câu 5: Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.
Câu 6: Giải hệ phương trình vi phân.
Thời gian làm bài: 90 phút.

DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

A. Lý thuyết, phương pháp giải.
Dạng phương trình:
   
'y p x y q x
(1)
Cách giải:







B. Bài tập ví dụ.
Giải phương trình:
2
. ' arctanx y y x x
(*)
Hướng dẫn: Phương trình (*) tương đương với phương trình
 
' arctan 0
y
y x x x
x
  

+ Ta có:
 
1
; ( ) arctanp x q x x x
x
  
.
+ Tính:
11
xx
( ) x ( ) x
Đặt:
2
2
2
arctan
1
arctan arctan ln 1
1
12
dx
ux
du
x
D x x dx x x x
x
dv dx
x
vx





      





Giải phương trình:
2
1
'1y
y


Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
22
1 1 1
1 x x x
1
x1
1
x 1 arctan
11
dy y y dy y dy
dy d d d
y
d y y y y
y
y dy
d C dy x C y y x C
yy


00
?; ?xy
thuộc tập xác định của
   
, ; ,P x y Q x y
. Khi đó tích phân
tổng quát của phương trình là:
       
0 0 0 0
00
, x , , x ,
yy
xx
x y x y
P x y d Q x y dy C hay P x y d Q x y dy C   
   

B. Bài tập ví dụ.
Giải phương trình:
 
4 3 2 2
lnx 2x x 3x 0x y d y dy  

Hướng dẫn:
Ta có:
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore | Biên soạn: Cao Văn Tú
3

y
x
x y d y dy C  

(1) . Xét:
 
4
1
1
ln x
x
I x x d


Đặt:
3
x
4
3
32
1
1
1
4x
1
. 4 x
1
33
lnxd
x

y
y
x
x y dy C x x y C x x y C              

.

DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ BIẾN THIÊN

A. Lý thuyết, phương pháp giải.
Dạng phương trình:
12
" ( ) ' ( ) ( )y p x y p x y f x  

Cách giải:
+ Bước 1: Xác định
1
( ); ( ) ?p x f x 

+ Bước 2: Tính:
1
( ) x
21
2
1
?; x ?
p x d
A
A e y y d
y

*?
' ' ' ' ( )
'
x
C x d
Cx
C y C y
y
C y C y f x
Cx
C x d











   
  







x 1 1
1; x
3x 3x
p x d
Ad
A e e y y d x x
yx



        



.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
2
12
1
3x
y C x C

  



Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore | Biên soạn: Cao Văn Tú

2
1
32
2
1
1
' ' 0
1
cos x
' cos
3x
3
3
1
cos x
' cos
'.2x ' cos
3x
sin
3
sin 3 cos 6 sin 6cos
C x C
C xd
Cx
C x xd
C x x
C C x x
x
C
C x x x x x x x





2
* cos 2sin cosy x x x x
x
    
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
2
12
12
* cos 2sin cos
3x
y y y C x C x x x x
x

       


.
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

A. Lý thuyết, phương pháp giải.
Dạng phương trình:
12
" ' ( )y a y a y f x  

Các giải:


    



.
+ Phương trình có nghiệm kép:
 
1 2 1 2
kx
k k k y C xC e    
.
 Trường hợp 1:
( ) ( ).
x
m
f x P x e



Xác định:
?; ( ) ?
m
Px


bậc bằng m.
()
m
Px


. Đồng nhất
hai vế suy ra nghiệm cần tìm.


là nghiệm của phương trình đặc trưng
* . . ( )
Sx
m
y x e Q x


. Đồng nhất hai
vế suy ra nghiệm cần tìm.
(Với

là nghiệm đơn
1S
;

là nghiệm kép
2S
)

Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore | Biên soạn: Cao Văn Tú
5
Website: chembooks.vn

0 ( ) ; ( )
SS
S H x A R x B   


1 ( ) ; ( )
SS
S H x Ax B R x Cx D     

-
i


không là nghiệm của phương trình đặc trưng :
 
* . ( )cos ( )sin
x
SS
y e H x x R x x




-
i


là nghiệm của phương trình đặc trưng:
 
* . . ( )cos ( )sin

PTĐT:
2
12
10 25 0 5k k k k      

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
5x
12
()y C xC e



Ta có:
5x
( ) 4. ; 5f x e


  ( ) 4
m
Px
bậc 0
()
m
Q x A

5





Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
5x 2 5x
12
* ( ) 2xy y y C xC e e

    
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
" cosy y x x

Hướng dẫn:
PTĐT:
2
0 0; 1
ki
k k a b
ki


     




Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
 
12

S
S
H x Ax B
S
R x Cx D






.
Suy ra
i


= i là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng.
 
0
* . cos ( )sin
x
y xe Ax B x Cx D x    



   
 
'
0
22

4
0
2 2 0
C
A
BC
D
BC








  





  



2
11
* cos sin
44




  



  



Cách giải:
+ Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:
11 12 13
1
21 22 23 2
3
31 32 33
0
a k a a
kk
a a k a k k
kk
a a a k




   


0
a k p a p a p
a p a k p a p p p p a a a
a p a p a k p
   


     


   


 Với
2
kk
ta có hệ phương trình:
 
 
 
 
11 2 1 12 2 13 3
21 1 22 2 2 23 3 1 2 3 1 2 3
31 1 32 2 33 2 3
0
0 ( , , ) , ,
0
a k p a p a p
a p a k p a p p p p b b b
a p a p a k p



   


+ Bước 3: Bảng nghiệm cơ bản:

k
1 2 3
( , , )p p p

x
y
z
1
kk

 
1 2 3
,,b b b

1
1
kt
ae

1
2
kt
ae


 
1 2 3
,,d d d

3
1
kt
de

3
2
kt
de

3
3
kt
deVậy nghiệm của hệ phương trình là:
3
12
3
12
3
12
1 1 2 1 3 1
1 2 2 2 3 2

dt
dz
xy
dt

  



  







Hướng dẫn giải:
Phương trình đặc trưng:
32
2 1 1 1
1 2 1 0 6 11 6 0 3
1 1 2 2
kk
k k k k k
kk
  


         


. Chọn
 
3 1 2 3
1 ( , , ) 1,1,1p p p p  
.
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore | Biên soạn: Cao Văn Tú
8
Website: chembooks.vn + Với k = 1 ta có hệ :
1 2 3
21
1 2 3
1 2 3 2 3
1 2 3
0
2 0 0
0
0
0
p p p
pp
p p p
p p p p p
p p p

pp
p p p
p p p p p
p p p
   

  


    
  
   


  

.
Chọn
 
3 1 2 3
1 ( , , ) 1, 0,1p p p p  

+ Bảng nghiệm cơ bản:
k
1 2 3
( , , )p p p

x
y
z


3t
e

0
3t
e

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
23
13
2
12
23
1 2 3
tt
tt
t t t
x C e C e
y C e C e
z Ce C e C e






  

.


ĐỀ 01

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CNTT&TT

Mã đề thi: 256
Đề thi gồm có 6 câu
ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN
Môn: PHUONG TRINH VI PHAN Hệ: DHCQ
Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:
Giải phương trình vi phân:
2
'cos 1y x y

Câu 2:
Giải phương trình vi phân:
dx + (x + 1) dy = 0xy

Câu 3:
Giải phương trình vi phân:
   
2 3 2
3x x 2 3x .y d y y dy  

Câu 4:
Giải phương trình
2x

dt
dz
xy
dt









  

 Hết
Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu, không ghi vào đề thi
CB coi thi không giải thích gì thêm và nộp lại đề thi cho phòng chức năng theo qui chế của Bộ
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |
11
dy x
d
xx




Câu 3:
Giải phương trình vi phân:
 
2
2 2x x 2e d 0
xx
e y d y y   

Câu 4:
Giải phương trình
222
2x 2 1
"'
111
y y y
xxx
  

, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
thuần nhất tương ứng là
1
.yx



  

 Hết
Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu, không ghi vào đề thi
CB coi thi không giải thích gì thêm và nộp lại đề thi cho phòng chức năng theo qui chế của Bộ Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore | Biên soạn: Cao Văn Tú
11
Website: chembooks.vn BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN


n
n






1
1
)(
1


 Cedxe
xx


 C
a
a
dxa
x
x
ln


 Cxdxx sin.cos
;


2
2

C
a
x
xa
dx



arcsin
22




C
a
x
a
xa
dx
arctan
1
22


 Cudu


n
n





 
1
).1(
11




Ce
a
dxe
baxbax
1
;
C
u
a
dua
u
u


ln

;

 C
u
dx
u
u 1'
2







C
xa
xa
a
xa
dx
ln
2
1
22




Caxx

 
'
1
xx





'
2
11
xx





 
'
1
x
2x
 
'
1'
u u .u

xx
a a lna

 
'
u u '
e e .u

 
'
u ' u
a u .a lna

 
'
1
ln x
x


 
'
a
1
log x
xlna
 

sin cos
cos sin
1
tan 1 tan
cos
1
cot 1 cot
sin
xx
xx
xx
x
xx
x


  
     
 
 
 
 
 
'
'
'
'