Phương trình mặt phẳng trong không gian

83

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG:
1.
Hai véctơ
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
, , ; ; ;
u a a a v b b b
= =


là một cặp véc tơ chỉ phương (VTCP)
của mặt phẳng (
α
)
⇔

, 0
u v
≠

 
; không cùng phương và các giá của chúng
song song hoặc nằm trên mặt phẳng (
α
)
2.

.
Nếu
(
)
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b

=


=




là một cặp VTCP của mp(
α
) thì VTPT là:
[ ]
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1
1 2
, ; ;
a a a a
a a

1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b

=


=




là:
( )
0 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 2
0 3 1 3 2
,
x x a t b t
y y a t b t t t
z z a t b t
= + +



= + + ∈



0, B
≠
0, C
≠
0 thì (
α
):
0
By Cz D
+ + =
sẽ song song hoặc chứa với trục
x
’O
x
.
Nếu A
≠
0, B
=
0, C
≠
0 thì (
α
):
0
Ax Cz D
+ + =
sẽ song song hoặc chứa với trục
y
’O

x
0
,
y
0
,
z
0
) với cặp VTCP
(
)
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b

=


=




hay VTPT
[ ]
2 3 3 1 1 2

(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , ; , , ; , ,
A x y z B x y z C x y z
không thẳng hàng có VTPT là:
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
, , ,
y y z z z z x x x x y y
n AB AC
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −
 
 
= =
 
 
− − − − − −
 
 


nên phương trình là:
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

3. Phương trình chùm mặt phẳng:
Cho 2 mặt phẳng cắt nhau
(
)
(
)
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
: 0; : 0
a x b y c z d a x b y c z d
α + + + = α + + + =
với
(
)
(
)
(
)
1 2
∆ = α α
∩
.
Mặt phẳng (
α
) chứa (
∆
) là
(
)
(
)

α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
có VTPT
(
)
2 2 2 2
, ,
n A B C
=

.
Nếu
1 2
,
n n
 
không cùng phương thì (
α
1
) cắt (
α
2
).
Nếu
1 2

) ≡ (
α
2
)
www.VNMATH.com
Phương trình mặt phẳng trong không gian

85

IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Góc giữa 2 mặt phẳng (
α
1
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
là
ϕ
(0
≤

α
2
).
V. KHOẢNG CÁCH
1.
Khoảng cách từ M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) đến mặt phẳng (
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
là:
( )
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C

−
1) và vuông góc
với đường thẳng xác định bởi 2 điểm B(
−
1; 0;
−
4), C(0;
−
2;
−
1).

Mp(
α
) đi qua A nhận
( )
1; 2; 3
BC = −

làm VTPT nên phương trình mp(
α
) là:
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1 3 1 0
x y z

HD:

( )
1;3; 5
AB
= −

,
(
)
1;1;2
n
β
=

. Do mp(
α
) đi qua A, B và
(
)
(
)
α ⊥ β
nên (
α
)
nhận
,
b
AB n

)
(
)
11 2 7 1 2 4 0 11 7 2 21 0
x y z x y z
− − + − − = ⇔ − − − =
.
Bài 3.

Lập phương trình mp(
α
) đi qua A(1; 0; 5) và // mp(
γ
):
2 17 0
x y z
− + − =
.
Lập phương trình mp(
β
) đi qua 3 điểm B(1;
−
2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0)
và tính góc nhọn
ϕ
tạo bởi 2 mp(
α
) và (
β
).

c c
⋅ − + + = ⇔ = −

⇒
PT (
α
):
2 7 0
x y z
− + − =

www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

86


mp(
β
) nhận 2 véc tơ
( ) ( )
0; 2; 1 , 1;3; 1
BC BD
= − = − −
 
làm cặp VTCP nên có
VTPT là:
( )
2 1 1 0 0 2
; ; 1;1; 2

n n
β
⋅ − ⋅ + ⋅
π
ϕ = = = = ⇒ ϕ = = °
+ + + +
 

Bài 4.

Viết PT mặt phẳng chứa đường thẳng (
∆
):
2 0
3 2 3 0
x z
x y z
− =



− + − =



và vuông góc với mặt phẳng (P):
2 5 0
x y z
− + + =


(
)
3 ; 2 ; 2
u m n n n m
= + − −


Mặt phẳng (P) có VPPT
(
)
1; 2;1
v = −

nên để (
α
)
⊥
(P) thì
0
u v
⋅ =
 

(
)
(
)
(
)
1 3 2 2 1 2 0

x y z
+ − =
một góc 60
°
.
HD:
Mặt phẳng (P) chứa O
z

⇒
(P) có dạng:
0
mx ny
+ =
(
2 2
0
m n
+ >
)
⇒
VTPT
(
)
; ; 0
u m n
=

. Mặt phẳng (
α


(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
4 4 4 10 2 3 8 3 0
m mn n m n m mn n
⇔ + + = + ⇔ + − =

Cho
1
n
=

⇒

2
1
3 8 3 0 3
3
m m m m
+ − = ⇔ = − ∨ =
.
Vậy
(
)
: 3 0

+ + + =
qua M, N suy ra:
0;3 0
C D A D
+ = + =

⇒

3 ; 3
C A D A
= = −
. Mặt phẳng (O
xy
) có VTPT là
(
)
0;0;1
suy ra
2 2 2
2 2 2 2 2
3
1
cos 60 36 10
2
10
C A
A A B
A B C A B
= ° ⇔ = ⇔ = +
+ + +

+ + − =

Bài 7.
Cho A(
a
; 0;
a
), B(0;
b
; 0), C(0; 0;
c
) với
a
,
b
,
c
là 3 số dương thay đổi
luôn luôn thỏa mãn
2 2 2
3
a b c
+ + =
. Xác định
a
,
b
,
c
sao cho khoảng cách từ O

1 1 1 1 1
9 3
3 3
a b c
a b c
 
= + + + + ≥ ⋅ =
 
 

2
1 1
3
3
d d⇒ ≤ ⇒ ≤
. Với
1
a b c
= = =
thì
1
Max
3
d =

Bài 8.

Cho chùm mặt phẳng
(
)

Với mọi
m
, (P
m
) luôn đi qua đường thẳng cố định (d):
2 1 0
1 0
x y z
x y z
+ + + =



+ + + =




Mặt phẳng
2 1 0
x y z
+ + + =
có VTPT:
(
)
2;1;1
u =

và
1 0

]
2
2
1 0 0
1
,
2
0 1 1
OM a
d O d
a
⋅
+ +
= = =
+ +






(
)
(
)
(
)
(
)
: 2 1 1 1 0

0
) thì
( ) ( ) ( )
1 2
3
0 2 2 1 1 1 1 0 4 6 0
2
n n m m m m m
−
⋅ = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ =
 

www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

88

Bài 9.

Cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2;
−
1). Viết phương trình mặt
phẳng (ABC). CMR: O
∈
(ABC) và OABC là một hình chữ nhật.
Cho S(9; 0; 0). Tính thể tích chóp S.OABC. Viết phương trình mặt
phẳng chứa AB và đi qua trung điểm OS.
HD:



O(0; 0; 0) và
5.0 4.0 2.0 0
− + =
nên O
∈
(ABC).
Ta có:
( )
0;1; 2
OA =

,
( )
2; 2; 1
OC
= −


OC AB
⇒ =
 

0.2 1.2 2.1 0
OA OC
⋅ = + − =
 
suy ra OABC là hình chữ nhật.

Gọi H là hình chiều của S lên (OABC) suy ra
1 1


( )
( )
1 1
9 5 1 4 2 2 45 15
3 3
V
= − − ⋅ − − = − =


Trung điểm của OS là
(
)
9
;0;0
2
M

⇒

(
)
9
; 1; 2
2
AM
= − −


⇒

P x y z Q x y z
− + + = + − − =
nếu biết khoảng cách từ
gốc tọa độ O đến
α
bằng 3.
Giải

Mặt phẳng
(
)
α
thuộc chùm tạo bởi (P) và (Q) nên có phương trình dạng:
( ) ( )
(
)
2 2
3 7 36 2 15 0 0
m x y z n x y z m n
− + + + + − − = + >

(
)
(
)
(
)
2 3 7 36 15 0
m n x n m y m n z m n
⇔ + + − + − + − =

n m n m n m n m
⇔ − − = ⇔ = ∨ =

+ Cho
n
=
m
= 1 thì nhận được
(
)
1
: 3 2 6 21 0
x y z
α − + + =

+ Cho
m
= 19,
n
= 85 ta có
(
)
2
: 189 28 48 591 0
x y z
α + + − =
.
Bài 11.
Lập phương trình mặt phẳng
(


Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2 0 1 ; 5 0 2
A A B D B A B C D∈ α ⇒ − + = ∈ α ⇒ + + + =

Mặt khác:
( )
( )
2 2 2
7 7
1
,
2
6 3 6 3
d M C D A B C
α = ⇔ + = + +

( )
(
)
( )
2

)
1
: 5 1 0
x y z
α + − − =

+ Chọn A = 5, B = 17
⇒
C = 19, D = –27 thì
(
)
2
: 5 17 19 27 0
x y z
α − + − =

VII. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
Bài 1.

Viết PT mp(
α
) chứa gốc tọa độ O và vuông góc với
(
)
: 7 0
P x y z
− + − =
,
(
)


+ + − =



và vuông góc với mặt phẳng (P):
2 3 0
x y z
+ + − =

www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

90

Bài 4.

Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết PT mp(ABC).
Tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC). Viết PT mặt phẳng:
a.
Qua O, A và // BC; Qua C, A và
⊥
(
α
):
2 3 1 0
x y z
− + + =
.
b.


Cho 2 mặt phẳng
(
)
: 2 3 1 0
x y z
α − + + =
,
(
)
: 5 0
x y z
β + − + =
và điểm
M(1; 0; 5). Tính khoảng cách từ M đến mp(
α
).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến (d) của (
α
) và (
β
)
đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q):
3 1 0
x y
− + =
.
Bài 7.

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(1; 1; 3), B(

a
; 0), D(0; 0;
d
) với
a
,
d
> 0. Gọi A’, B’
là hình chiếu của O lên DA, DB. Viết phương trình mặt phẳng chứa 2
đường OA’, OB’. Chứng minh mặt phẳng đó vuông góc CD.
Tính
d
theo
a
để số đo góc

45
A OB
′ ′
= °
.
Bài 10.

Tìm trên O
y
các điểm cách đều 2 mặt phẳng
(
)
(
)

)
0;0;
3
a
S
.
Xác định A, B và trung điểm E của OA. Viết phương trình mặt phẳng
(P) chứa SE và song song với O
x
. Tính
(
)
,
d O P
từ đó suy ra
(
)
;
d Ox SE

www.VNMATH.com