ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ THỊ BÍCH HẢO
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
TUYẾN TÍNH
TRÊN THANG THỜI GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ THỊ BÍCH HẢO
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
TUYẾN TÍNH
TRÊN THANG THỜI GIAN
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS. TS. NGUYỄN HỮU DƯ
HÀ NỘI - 2011
Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU 5
1 Kiến thức chuẩn bị 8
1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Mặt phẳng phức Hilger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Hàm mũ thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Sự ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên
thang thời gian 22

giả nghiên cứu một cách sâu rộng và tương đối đầy đủ. Và từ đó nhiều kết
quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được "chuyển dịch"
sang thang thời gian. Chẳng hạn về phương trình động lực trên thang thời
gian, đã có những kết quả rất sâu sắc về sự ổn định, tính dao động, bài
toán giá trị biên,
Việc phát triển lý thuyết về phương trình động lực trên thang thời gian,
dẫn đến các kết quả tổng quát và khi đó có thể áp dụng cho các thang
thời gian hỗn hợp của các trường hợp liên tục và rời rạc.
Ta biết rằng, có nhiều kết quả của phương trình vi phân được thực hiện
khá dễ dàng và tự nhiên cho phương trình sai phân. Tuy nhiên có những
kết quả dễ dàng trình bày cho phương trình vi phân lại không hề đơn
giản cho sai phân và ngược lại. Việc nghiên cứu phương trình động lực
trên thang thời gian cho ta một cái nhìn sáng sủa để khắc phục tính không
nhất quán này giữa phương trình vi phân liệc tục và phương trình sai phân
rời rạc. Ngoài ra, điều đó cũng tránh được một kết quả được chứng minh
hai lần, một lần cho phương trình vi phân và một lần khác cho phương
trình sai phân.
Ta có thể lấy thang thời gian là tập các số thực, kết quả tổng quát thu
5
được sẽ tương tự với kết quả trong phương trình vi phân. Nếu lấy thang
thời gian là tập các số nguyên, kết quả tổng quát thu được sẽ tương tự với
kết quả trong phương trình sai phân. Tuy nhiên, các thang thời gian có
cấu trúc phong phú nên kết quả thu được là tổng quát và hay hơn nhiều
kết quả trên tập các số thực và trên tập các số nguyên. Do vậy, đặc trưng
cơ bản của thang thời gian đó là thống nhất và mở rộng.
Trong luận án của mình vào năm 1892, Lyapunov đã đưa ra hai phương
pháp để phân tích tính ổn định của các phương trình vi phân. Từ đó,
phương pháp trực tiếp của Lyapunov đã trở thành một công cụ được sử
dụng rộng rãi nhất để xem xét tính ổn định của các phương trình vi phân
cũng như các phương trình sai phân tuyến tính và phi tuyến. Sự tinh tế

Nhân đây, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS. TS
Nguyễn Hữu Dư về sự nghiêm túc và nhiệt tình của thầy, tôi cũng gửi lời
cảm ơn nhóm seminar Toán Giải tích, trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội
về những gợi mở và đóng góp quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực
hiện luận văn.
Hà Nội 12-2011
Vũ Thị Bích Hảo
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Những định nghĩa và định lý dưới đây có thể xem như một giới thiệu
tổng quan về thang thời gian, ta có thể tham khảo trong [1].
1.1 Một số khái niệm cơ bản
Thang thời gian (time scale) là một tập con đóng tuỳ ý khác rỗng của
tập các số thực R, ký hiệu là T. Ta giả sử xuyên suốt rằng thang thời gian
T có một tôpô mà nó được cảm sinh từ tôpô trên tập các số thực R với
tôpô tiêu chuẩn.
Thí dụ:
(a) R; Z; [0; 1] ∪ [2; 3] là những thang thời gian.
(b) Q, R\Q không là thang thời gian vì không đóng.
Định nghĩa 1.1. Cho T là một thang thời gian, với mỗi t ∈ T, ta có các
định nghĩa sau:
(i) Toán tử nhảy tiến (forward jump): σ : T → T
σ(t) := inf{s ∈ T, s > t}.
(ii) Toán tử nhảy lùi (backward jump): ρ : T → T
ρ(t) := sup{s ∈ T, s < t}.
Ngoài ra,
8
• Một điểm t ∈ T được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu
σ(t) > t; điểm cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t; điểm cô lập

; +∞)} thoả mãn:
1. Phát biểu S(t
0
) là đúng,
2. Nếu t ∈ [t
0
; ∞) là điểm cô lập phải và S(t) đúng thì S(σ(t)) cũng
đúng,
3. Nếu t ∈ [t
0
; ∞) là điểm trù mật phải và S(t) là đúng thì tồn tại một
lân cận U của t sao cho S(s) là đúng với mọi s ∈ U ∩ (t; ∞),
4. Nếu t ∈ (t
0
; ∞) là điểm trù mật trái và S(s) là đúng với mọi s ∈ [t
0
; t)
thì S(t) là đúng.
Khi đó, S(t) là đúng với mọi t ∈ [t
0
; ∞).
9
1.2 Tính khả vi
Định nghĩa 1.2. Xét hàm số f : T → R. ∆- đạo hàm (còn gọi là đạo
hàm Hilger) của f tại t ∈ T
k
là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f
∆
(t),
nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại lân cận U của t sao cho

∆
(t) = lim
s→t
f(t) − f(s)
t − s
.
4. Nếu f là khả vi tại t thì f(σ(t)) = f(t) + µ(t)f
∆
(t).
Nhận xét 1.1.
Ta xét hai trường hợp T = R và T = Z.
1. Nếu T = R thì hàm f : R → R là ∆-khả vi tại t khi và chỉ khi f khả
vi theo nghĩa thông thường tại t và
f
∆
(t) = f

(t) = lim
s→t
f(t) − f(s)
t − s
.
2. Nếu T = Z thì mọi hàm f : Z → R đều là ∆-khả vi tại t ∈ Z và ta có
f
∆
(t) = f(t + 1) − f(t) = ∆f(t),
ở đây ∆ là toán tử sai phân tiến thông thường.
10
Sau đây ta ký hiệu:
f

; . . . ; f
σ
n
= (f
σ
n−1
)
σ
.
Định lý 1.3. Cho f và g là các hàm khả vi tại t ∈ T
k
. Khi đó
1. Hàm tổng f + g : T → R khả vi tại t và (f + g)
∆
(t) = f
∆
(t) + g
∆
(t).
2. Với hằng số α tuỳ ý, hàm αf : T → R khả vi tại t và
(αf)
∆
(t) = αf
∆
(t).
3. Hàm tích fg : T → R khả vi tại t và
(fg)
∆
(t) = f
∆

σ
(t) = 0 thì
f
g
khả vi tại t và
(
f
g
)
∆
(t) = −
f
∆
(t)g(t) − f(t)g
∆
(t)
g(t)g
σ
(t)
.
1.3 Tích phân
Định nghĩa 1.3. Với K = R hay C,
• Hàm p : T → K được gọi là hồi quy (regressive) nếu 1 + µ(t)p(t) = 0
với mọi t ∈ T
k
. Ta ký hiệu,
R = {p : T → K : 1 + µ(t)p(t) = 0 ∀t ∈ T
k
},
R

gọi là rd-liên tục nếu thoả mãn các điều kiện sau:
(i) f liên tục tại mỗi điểm (t, x) với t là trù mật phải hay t = max T,
(ii) Các giới hạn f(t
−
, x) := lim
(s,y)→(t,x),s<t
f(s, y) và lim
y→∞
f(t, y) tồn
tại tại mỗi điểm (t, x) với t là trù mật trái.
Ta ký hiệu:
C
rd
(T, K) = {f : T → K, f là rd-liên tục},
C
1
rd
(T, K) = {f : T → K, f là khả vi và f
∆
∈ C
rd
(T, K)}.
Định lý 1.4. Tập hợp C
rd
R(T, C) tất cả các hàm rd-liên tục và hồi quy
trên T cùng với phép toán ⊕ xác định bởi p ⊕ q := p + q + µpq lập thành
một nhóm Abel.
Phần tử khả nghịch của phần tử q của nhóm này là q =
−q
1+µq

(t)
với mọi t ∈ D thì
|f(s) − f(r)|  g(s) − g(r),
với mọi r, s ∈ T, r  s.
Hệ quả 1.0.1. Cho f, g : T → R là tiền khả vi với miền khả vi D.
1. Nếu f
∆
(t)  0 ∀t ∈ D thì f(t)  f(s) với mọi t, s ∈ T, t  s.
2. Nếu U là khoảng compact với các điểm mút là r, s ∈ T thì
|f(s) − f(r)| 

sup
t∈U
k
∩D


f
∆
(t)



|s − r| .
3. Nếu f
∆
(t) = 0 với mọi t ∈ D thì f là hàm hằng.
4. Nếu f
∆
(t) = g

0
∈ T thì F (t) =

t
t
0
f(τ )∆τ, t ∈ T là một nguyên hàm của f.
(ii) Nếu f ∈ C
rd
và t ∈ T
k
thì

σ(t)
t
f(τ )∆τ = f(t)µ(t).
(iii) Giả sử a, b ∈ T và f ∈ C
rd
ta có
(a)Nếu T = R thì

b
a
f(t)∆t =

b
a
f(t)dt (tích phân Riemann thông
thường).
(b)Nếu [a; b] chỉ gồm những điểm rời rạc thì

a
f(t)∆t =

















b
h
−1

t=
a
h
f(hk)h nếu a < b,
0 nếu a = b,
−
a

g(t)∆t.
3.

b
a
αf(t)∆t = α

b
a
f(t)∆t.
4.

b
a
f(t)∆t = −

a
b
f(t)∆t.
5.

b
a
f(t)∆t =

c
a
f(t)∆t +

b

a
a
f(t)∆t = 0.
9. Nếu |f(t)|  g(t) với mọi t ∈ [a; b) thì |

b
a
f(t)∆t| 

b
a
g(t)∆t.
10. Nếu f(t)  0 với mọi t ∈ [a; b) thì

b
a
f(t)∆t  0.
Định nghĩa 1.7. Cho a ∈ T, sup T = ∞ và f là rd-liên tục trên [a; ∞).
Tích phân suy rộng của hàm f liên tục trên [a; ∞) được định nghĩa như
sau

∞
a
f(t)∆t := lim
b→∞

b
a
f(t)∆t.
Định lý 1.11. Cho f : R → R là khả vi liên tục và g : T → R là ∆-khả

(theo nghĩa thông thường). Ta có,

b
a
f(t)∆t =

b
a
f(t)dt +

i∈I
a,b

σ(t
i
)
t
i
(f(t
i
) − f(t))dt.
Áp dụng Định lý 1.12 ta tính được:
1.

b
a
t
n
∆t =
b


µ(t
i
).
2.

b
a
1
t
∆t = ln
b
a
+

i∈I
a,b

µ(t
i
)
t
i
− ln
σ(t
i
)
t
i


i
1 − n
} ở đây
0 /∈ [a; b], n ∈ N, n = 1.
4.

b
a
α
t
∆t =
1
ln α



α
b
− α
a
+

i∈I
a,b
α
t
i
(µ(t
i
) ln α + 1 − α

+
µ(t
i
)
2
] sin
αµ(t
i
)
2
}, với mọi α = 0.
16
6.

b
a
sin αt∆t =
1
α
{cos αa − cos αb +

i∈I
a,b
αµ(t
i
) sin αt
i
−2

i∈I

(f ◦ V
−1
)(s)

∆s, với a, b ∈ T.
1.4 Mặt phẳng phức Hilger
Định nghĩa 1.8. Cho h > 0, khi đó ta định nghĩa:
1. Tập các số phức Hilger (Hilger complex numbers):
C
h
:= {z ∈ C : z =
−1
h
}.
2. Trục thực Hilger (Hilger real axis):
R
h
:= {z ∈ R : z >
−1
h
}.
3. Trục luân phiên Hilger (Hilger alternating axis):
A
h
:= {z ∈ R : z <
−1
h
}.
4. Đường tròn ảo Hilger (Hilger imaginary circle):
I

Arg(zh + 1)
h
, z ∈ C
h
.
ở đó Arg(z) là góc giá trị chính của z (tức là, −π < Arg(z)  π).
17
8. Ta định nghĩa dải (strip) Z
h
:= {z ∈ C :
π
h
< Im(z) 
π
h
} khi h > 0
và Z
0
:= C khi h = 0.
Định nghĩa 1.9. Phép biến đổi trụ (cylinder transformation):
ξ : C
h
→ Z
h
xác định bởi:
ξ
h
(z) =
1
h

∆
= p(t)x (1.5.1)
với điều kiện ban đầu x(t
0
) = 1 có nghiệm duy nhất.
Khi đó, ta gọi nghiệm của (1.5.1) là hàm mũ e
p
(·, t
0
). Sử dụng phép
biến đổi trụ ở trên, ta có
e
p
(t, s) = exp


t
s
ξ
µ(τ)
(p(τ))∆τ

, ∀t, s ∈ T.
Định lý 1.15. Hàm e
p
(t, t
0
) có các tính chất sau:
1. Nếu p ∈ R thì e
p

(t, s) = e

t
s
p(τ)dτ
.
Ngoài ra, nếu p là hàm hằng thì e
p
(t, s) = e
p(t−s)
.
18
6. Nêú T = hZ, h > 0 thì e
p
(t, s) =
t−1

τ=s
(1 + hp(τ)).
Ngoài ra, nếu p là hằng thì
e
p
(t, s) = (1 + hp)
t−s
h
.
Định nghĩa 1.10. Nếu p ∈ R và f : T → R là rd-liên tục, thì phương
trình động lực
y
∆

n
là hàm rd-liên
tục.
2. Cho t
0
∈ T và giả sử A(·) là hồi quy. Khi đó phương trình ma trận
Y
∆
(t) = A(t)Y (t), Y (t
0
) = I (1.5.4)
có nghiệm duy nhất xác định trên T, gọi là ma trận chuyển (transition
matrix) và được ký hiệu là Φ
A
(t, t
0
).
3. Khi A(t) ≡ A là ma trận hằng thì thay vì viết Φ
A
(t, t
0
) ta viết e
A
(t, t
0
)
(hàm mũ ma trận).
Định lý 1.17. Giả sử A, B ∈ R là những hàm ma trận xác định trên T,
(i) Khi đó, tính chất nửa nhóm
Φ

Định lý 1.18. (Công thức biến thiên hằng số) Cho t
0
∈ T, khi đó hệ hồi
quy (1.5.3) với điều kiện ban đầu y(t
0
) = y
0
∈ R
n
có nghiệm duy nhất
y : T → R
n
được cho bởi
y(t) = Φ
A
(t, t
0
)y
0
+

t
t
0
Φ
A
(t, σ(τ ))f(τ)∆τ. (1.5.5)
1.6 Bất đẳng thức Gronwall
Định lý 1.19. (Bất đẳng thức Gronwall) Cho u, a, b ∈ C
rd

0
thì u(t)  a(t) + L

t
t
0
e
L
(t, σ(s))a(s)∆s với mọi t  t
0
.
2. Với u, b ∈ C
rd
(T, R), b(t)  0 với mọi t ∈ T. Khi đó, nếu
u(t)  u
0
+

t
t
0
b(s)u(s)∆s với mọi t  t
0
,
thì
u(t)  u
0
e
b
(t, t

t
0
a
∆
(s)e
b
(t, σ(s))∆s với mọi t  t
0
.
21
Chương 2
Sự ổn định của hệ phương trình
động lực tuyến tính trên thang thời
gian
2.1 Khái niệm về ổn định
2.1.1 Các định nghĩa về ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính
trên thang thời gian
Đầu tiên, ta nhắc lại các khái niệm sau
• Chuẩn Euclid của n × 1-véc tơ x(t) được xác định bởi:
x(t) =

x
T
(t)x(t).
• Chuẩn cảm sinh của một m × n-ma trận A được xác định bởi:
A = max
x=1
Ax =

max

0
, t
0
∈ T. (2.1.1)
Giả sử với mỗi t
0
∈ T, bài toán giá trị ban đầu (2.1.1) có nghiệm duy
nhất x(t) = x(t, t
0
, x
0
) với t  t
0
. Khi đó, ta có các định nghĩa:
Định nghĩa 2.1. Hệ phương trình động lực tuyến tính (2.1.1) được gọi là
ổn định nếu với mỗi t
0
∈ T, tồn tại hằng số γ = γ(t
0
), nghiệm của nó
thoả mãn
x(t)  γ x(t
0
) , t  t
0
. (2.1.2)
Nếu γ không phụ thuộc vào t
0
thì (2.1.1) được gọi là ổn định đều.
Trong định nghĩa tiếp theo, ta chỉ ra rằng tính ổn định không chỉ liên

với x(t
0
) bất kỳ, nghiệm tương ứng thoả mãn
x(t)  δ x(t
0
) , t  t
0
+ T. (2.1.4)
23
2.1.2 Các định lý về ổn định
Bây giờ ta sẽ nghiên cứu các đặc trưng của tính ổn định đều và ổn định
mũ đều của hệ (2.1.1) thông qua ma trận chuyển. Đặc biệt, Định lý 2.4
cho ta mối quan hệ giữa sự ổn định tiệm cận đều và ổn định mũ đều.
Định lý 2.1. Phương trình (2.1.1) ổn định đều nếu và chỉ nếu tồn tại số
γ > 0 sao cho
Φ
A
(t, t
0
)  γ,
với mọi t, t
0
∈ T và t  t
0
.
Chứng minh. Giả sử hệ (2.1.1) ổn định đều. Khi đó, tồn tại số γ > 0 sao
cho với t
0
và x(t
0

a
 = Φ
A
(t
a
, t
0
) .
Vì thế, giá trị ban đầu x(t
0
) = x
a
cho ta nghiệm của (2.1.1) tại thời điểm
t
a
thoả mãn
x(t
a
) = Φ
A
(t
a
, t
0
)x
a
 = Φ
A
(t
a

với mọi t  t
0
và t, t
0
∈ T.
Bây giờ giả sử tồn tại γ sao cho Φ
A
(t, t
0
)  γ với mọi t  t
0
và t,
t
0
∈ T. Với bất kỳ t
0
, x(t
0
) = x
0
, nghiệm của (2.1.1) thoả mãn
x(t) = Φ
A
(t, t
0
)x
0
  Φ
A
(t, t

0
và x
0
= x(t
0
), nghiệm của
(2.1.1) thoả mãn
x(t)  x
0
 γe
−λ
(t, t
0
), với mọi t  t
0
,
Vì thế, với t
0
và t
a
 t
0
bất kỳ, gọi x
a
là véctơ sao cho
x
a
 = 1, Φ
A
(t

A
(t
a
, t
0
)x
a
 = Φ
A
(t
a
, t
0
) x
a
  x
a
 γe
−λ
(t
a
, t
0
).
Do x
a
 = 1 và −λ ∈ R
+
, ta có Φ
A

A
(t, t
0
)  γe
−λ
(t, t
0
)
với mọi t, t
0
∈ T.
Với t
0
và x(t
0
) = x
0
bất kỳ, nghiệm của (2.1.1) thoả mãn
x(t)  Φ
A
(t, t
0
)x
0
  Φ
A
(t, t
0
) x
0