ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ TÂM HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TRÊN
THANG THỜI GIAN
Thái Nguyên – 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
I CAM ĐOAN
2
LƠ
̀
I CA
̉
M ƠN
.TS. -
n tình
1.3. Phép toán tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.- nguyên hàm. . . . . . . . 17
1.3.2. Nguyên hàm. . . . . . . . .18
1.. . . . . . . . .19
Chương 2 MÔ
̣
T SÔ
́
TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN
2.1. 20
2.2.1 23
2.2.228
2.3 .36
2. 36
2.3.2. 38
2.4 41
2.4 4
2.4BIBO cho 2
2.3.3. Tính BIBO 45
Kết luận 53
Tài liệu tham khảo 54 5
, C X Y
X
vào
.Y
(
rd
C
, )X
X
1
(
rd
C
, )X
6
MƠ
̉
ĐÂ
̀
U
Hilger trong
Ông [6]
Nghiên (xem [2],
[3])
(xem [2], [3], [4], [5],
[7]) do
quát
7
theo [2], [3].
rình bày các
gian theo [4], [5] [7].
tính
.
gian (time scale).
.
Ví dụ 1.1.1
, , , , 2;5 , 6;7 ,
=
0,
2 ,2 1
kk
kk
, \ , 0;1
.
:
( ): sup{ts
:
}st
toán
.
Quy ước:
inf sup
(t
max t
thì
()tt
);
sup inf
(t
min t
thì
()tt
t
(right-
()tt
.
t
trái (left-
()tt
.
t
( ) ( )t t t
.
t
(right-
( ) .tt
t
,
( ) 1tt
t
.
( ) ( ) 1t t t
t
.
t
3) =
:
2
n
n
Ta có
1
),
11
( ) 0 .
22
t
Suy ra
0t
4) Cho
0h
h
=
h
{ : } { , 3 , 2 , ,0, ,2 ,3 , }hn n h h h h h h
.
2h
, ta có 10
( ) 2, ( ) 2, ( ) 2 0.t t h t t t h t t t h t h
t
21tk
thì
( ) 2 2t t t
và
()tt
nên
t
2tk
thì
( ) 2t t k
và
( ) 2 1t k t
nên
t
.
0t
t
,
0t
1.2 Phép tính vi phân
1.2.1 Định nghĩa hàm chính quy
Định nghĩa 1.4
:f
.
1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục
Định nghĩa 1.5 Hàm
:f
-
-
rd
0
t
0
( ) ;tt
0
00
lim ( ) ( ) .
tt
t t t
0
t
0
( ) ;tt
4)
f
-
f
5)
f
:g
-
fg
1.2.3 Định nghĩa đạo hàm
sau:
k
=
\sup
cho tr
U
t
(
( , )U t t
0
) sao cho
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )f t f s f t t s t s
v
.sU
Nhận xét
Δ
( ( )) ( ) ( ) ( )
()
f σ t f s f t σ t s
) trên
k
nó
t
k
.
Ví dụ 1.2.2
thì
( ) ( )f t f t
2)
thì
( ) ( 1) ( )f t f t f t
k
. V
0
,
sU
ta có:
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0. ( ) 0 ( ) .f t f s f t t s f t f s t s c c t s
( ) 0ft
t
k
.
4)
:f
,
( ) 1ft
t
k
.
5
:f
và
2
( ) .f t t
( ) ( )f t t t
t
k
.
=
thì
( ) .tt
( ) 2 ( ).f t t f t
13
()t
.
1.2.4 Tính chất của đạo hàm
Định lý 1.2.1
:f
t
k
và
( ( )) ( )
()
()
f t f t
ft
t
.
t
k
f
t
k
thì
( ( )) ( ) ( ) ( )f t f t t f t
.
Chứng minh
1)
f
t
k
(0;1)
1
1 ( ) 2 ( ) .f t t
Ta có
(0;1)
1 2 ( ) ( )t f t
.
f
t
k
.
2)
f
c tai
t
k
và
t
cô
f
ta có:
( ( )) ( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
f t f s f t f t
sU
t s t t
( ( )) ( )
( ( )) ( ) . ( ) ( ) .
()
f t f t
f t f s t s t s s U
t
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )f t f s f t t s t s s U
.
Vì
()tt
nên ta có:
( ) ( ) ( )f t f s f t t s t s s U
.
Ta có
( ) ( )
( ) , ,
f t f s
f t s U s t
ts
()tt
ta có:
( ( )) ( )
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
()
f t f t
f t f t t f t t f t
t
Nhận xét 1.2.1 2.1 ta có: 15
t
là
f
t
f
là
-
t
và
)()1()( tftftf
-
f
.t
Định lý 1.2.2
:f
và
:g
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).fg t f t g t f t g t f t g t f t g t
3
( ) ( ( )) 0f t f t
thì
1
f
là
-
t
k
và
1 ( )
( ) .
( ) ( ( ))
ft
t
f f t f t
.
Chứng minh
,fg
t
k
.
1) Cho
0
,
12
,UU
t
ta có:
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )
2
f t f s f t t s t s
1
.sU
f g t f g s f t g t t s
f t f s f t t s g t g s g t t s
f t f s f t t s g t g s g t t s
t s t s
ts
fg
t
và
()f g f g
:
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )f t f s f t t s t s
1
sU( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )g t g s g t t s t s
2
sU
Và theo 1 1.2.1 ta có:
( ) ( )f t f s
3
sU
1 2 3
+
( ( ) ) ( ) ( ) ( )t s g t f s f t
( ) ( ( )) ( ) ( )t s g t t s f t
( ) ( ) ( )t s t s g t
17
( ) ( ( )) ( ) ( )t s g t f t g t
3) 4).
Định lí 1.2.3 (
-Mean Value Theorem, Theorem 1.67, [2B]) Cho
:f
và
:g
,
.D
:f
và
:g
.D
2..
U
,rs
,
( ) ( ) sup ( ) .
k
t U D
f s f r f t s r
2)
( ) 0ft
C
.
1.3 Phép toán tích phân
1.3.1 Tồn tại tiền nguyên hàm 18
Định lý 1.3.1 (Theorem 1.70, Theorem 8.13, [2])
:f
là hàm chính
-
F
D
k
sao cho
( ) ( )F t f t
.tD
t
.
k
Định lý 1.3.2 (Theorem 1.74, [2])
rd
-
,
0
t
thì hàm
F
0
( ): ( )
t
t
F t f
f
F
.D
( ) ( )F t f t
t
k
(
.t
Cho
0.
U
t
( ) ( )f s f t
.sU
0
( ): ( ) ( )( )h F f t t
sup ( ) .
s D U
hs
.1,
rU
ta có
00
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ( )( )F t F r f t t r h t f t t t h r f t r t f t t r
( ) ( )h t h r
sup ( )
s D U
h s t r
.tr
t
1t
()t
t
1t
)(t
0
1
f
là rd-
f
f
)(tf
()ft
b
a
b
a
ttgtf
afgbfg
ttgtf
)())(()(
))(())((
)()()(
:
=
thì
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
afgbfg
tgtf
b
at
b
at
20
Chương 2
MÔ
̣
T SÔ
́
TI
́
NH CHÂ
́
1 ,1
:.
ij
i m j n
Aa
:A
nm
,
,nm
( ): ( ) .A t A t
(delta
differentiable)
()
ij
at
( ): ( ).
ij
A t a t
Định ly
́
2.1.1 (Theorem 5.2, [2], p. 189)
()At
t
k
,
t
k
,
1)
;A B A B
2)
AA
.
1 1 1 1
AB A AB B B A AB B B
BB
.
()At
y (regressive)
( ) ( )I t A t
( ),Bt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B t A t B t t A t B t
t
.
-
t
k
. (2.1.1)
0ft
t
k
()
.
()xt
k
(2.1.1)
(2.1.1).
Định ly
́
2.1.3 (Theorem 5.8, [2], p. 190)
.A
(.)f
là
nn
-
.x
0
tt
.A
i
.
2.1.3 suy ra, n
00
,,X A t X X t X
0
X
,nn
(
nn
).
.A
thì
0
,
A
tt
0
,tt
k
At
giao hoán
0
t
t
A s s
A
0
- .
1.
, , , ,
A A A
t t s s
st
2.
, , .
AA
t s I t A t t s
3.
,
A
ts
h
>0 và
A
23
, , .
ts
h
AA
t s e t s I hA
Định lí 2.1.2 Cho
:A
k
mm
và
:f
k
m
là rd-
0
tt
. (2.1.4)
2.2 Tính điều khiển được của hệ động lực trên thang thời gian
2.2.1 Hệ động lực không dừng có điều khiển
Cho
( ) ,
nn
At
()
nm
Bt
-
,
( ) .
m
ut
Ta
0
)
()ut
trên
0
,
f
tt
( ) .
ff
x t x
=
=
).
Copyright: Tài liệu đại học ©