ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ PHƯƠNG GIANG

GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH
KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ PHƯƠNG GIANG

GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH
KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:


2

1

0.1

Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

0.2

Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.3

Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.4

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.5


8

1.3.2

Tính quan sát được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Một số chuẩn của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4


ii

2

Giá trị kỳ dị Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.2

Chuẩn trong không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . .

13


21

2.2.2

Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Thuật toán chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3.1

Thuật toán chặt cân bằng đối với hệ tối thiểu . . . . . . . . . .

23

2.3.2

Thuật toán chặt cân bằng đối với hệ không tối thiểu . . . . . .

24

2.2

2.3

3


Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cám ơn và các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, ngày 17 tháng 04 năm 2015
Học viên

Lê Thị Phương Giang


iv

TÓM TẮT NỘI DUNG

Rất nhiều hiện tượng, thiết bị được mô hình hóa bằng toán học dưới dạng một hệ
điều khiển. Do đòi hỏi của tính chính xác, cỡ của vectơ trạng thái, được gọi là bậc của
mô hình, thường là từ 104 trở lên. Việc này gây khó khăn cho mô phỏng vì máy tính
phải làm việc với hệ cỡ lớn hay hệ bậc cao. Do đó yêu cầu đặt ra là phải thay thế hệ
cỡ lớn bằng một hệ cỡ nhỏ hơn theo nghĩa nào đó.
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp Chặt cân bằng, một
phương pháp hữu hiệu để giảm bậc của hệ điều khiển. Chúng tôi phân tích kỹ càng ý
tưởng của phương pháp xuất phát từ ý nghĩa vật lý, cũng như việc trình bày nó dưới
ngôn ngữ toán học. Thêm vào đó, để thuận tiện cho việc lập trình, thuật toán của
phương pháp cũng được đưa ra. Cuối cùng, để lấy minh họa cho phương pháp, chúng
tôi lấy ví dụ với những dữ liệu thực tế.


v



tập các số thực âm

Rn×r

tập các ma trận thực cỡ n × r

AT

ma trận chuyển của ma trận A

x˙

đạo hàm của x theo biến t

Re(s)

là phần thực của số phức s

Λ(A)

tập hợp các giá trị kì dị của ma trận A

Im

ảnh của một ma trận/ánh xạ tuyến tính

Ker

nhân của một ma trận/ánh xạ tuyến tính

27

Sai số tuyệt đối của mô hình Eady: ngưỡng sai số 10−3 (a) và ngưỡng
sai số 10−5 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

27

28

Sai số tương đối của mô hình Eady: ngưỡng sai số 10−3 (a) và ngưỡng
sai số 10−5 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28


2

Mở đầu
0.1

Lý do chọn đề tài

Ngày nay, mô phỏng số là khâu rất quan trọng giúp các nhà sản xuất tạo ra sản
phẩm. Bước này giúp các nhà thiết kế tạo ra mẫu sản phẩm thỏa mãn các yêu cầu của
nhà sản suất. Ngoài ra, việc mô phỏng thay thế cho các thí nghiệm thực tế thường đắt
tiền và kéo dài sẽ giúp hạ giá thành và tiết kiệm thời gian.
Trong bước đầu tiên của một mô phỏng, người ta phải tìm một mô hình toán học
mô tả hoạt động của thiết bị, hoặc một thành phần đơn lẻ của nó. Việc hình thành

là tốc độ tính toán tương ứng đầu vào - đầu ra rất chậm. Từ đó người ta muốn xấp xỉ
hệ động lực bậc N ban đầu bởi một hệ động lực bậc n, với n

N . Xấp xỉ được hiểu

theo nghĩa: với mọi đầu vào giống nhau, đầu ra của hai hệ động lực xấp xỉ bằng nhau.
Đương nhiên với bậc n nhỏ hơn nhiều lần, thời gian mô phỏng sẽ được rút ngắn rất
nhiều. Công việc này gọi là giảm bậc của hệ động lực.
Việc giảm bậc hệ của động lực rất quan trọng cả về mặt lý thuyết và ứng dụng thực
tế. Có rất nhiều công trình đã viết về vấn đề này và nhiều phương pháp đã được tìm
ra. Nổi bật hơn cả là ba phương pháp: phân tích trực giao chính (Proper Orthogonal
Decomposition), Chặt cân bằng (Balanced Truncation) và phương pháp không gian
con Krylov (Krylov Subspace Methods). Trong ba phương pháp giảm bậc ở trên thì
phương pháp Chặt cân bằng là phương pháp hữu hiệu hơn cả. Nó được thể hiện ở hai
khía cạnh. Thứ nhất, nó cho chúng ta một chặn trên sai số tiên nghiệm (a priori error
bound). Thứ hai, nó bảo toàn tính ổn định của hệ ban đầu nếu hệ ban đầu ổn định. Do
vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài "Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không
phụ thuộc thời gian bằng phương pháp Chặt cân bằng" để nghiên cứu.

0.2

Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu về phương pháp giảm bậc của hệ
điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian. Phương pháp được đề cập ở đây là
phương pháp Chặt cân bằng.


4



Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Sơ lược về hệ điều khiển

Trong luận văn này, chúng tôi xét hệ điều khiển tuyến tính, liên tục theo thời gian
và ô-tô-nôm
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t),

(1.1)

y(t) = Cx(t) + Du(t).

Ý nghĩa của các đại lượng như sau:
• t ∈ (0, +∞): biến thời gian,
• u(t) ∈ Rm : đầu vào hay hàm điều khiển,
• y(t) ∈ Rl : đầu ra,
• x(t): vectơ trạng thái,
• A ∈ RN ×N : ma trận động lực,
• B ∈ RN ×m : ma trận đầu vào,
• C ∈ Rl×N : ma trận đầu ra,
• D ∈ Rl×m : ma trận ghép cặp đầu vào - đầu ra.

Ở đây A, B, C, D là các ma trận hằng, nghĩa là chúng không phụ thuộc vào thời gian
t.

tương ứng một hàm đầu vào là một hàm đầu ra. Giả sử T = R+ , t0 = 0, x0 = 0, khi đó
đầu ra của (1.1) tương ứng với đầu vào u(.) là
t

CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ.

y(t) = Du(t) +
0

Nhắc lại hàm delta Dirac là một hàm suy rộng thỏa mãn

 +∞ nếu x = 0,
δ(x) =
0
nếu x = 0,
và
+∞

δ(x)dx = 1.
−∞

Đầu ra y(t) có thể được viết lại như sau
t

t

CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ

Dδ(t − τ )u(τ )dτ +


0

(1.2)

= (G ∗ u)(t),

trong đó ∗ là ký hiệu tích chập và G(t) = Dδ(t) + CeAt B. Theo đó G(t) chính là phản
ứng của hệ điều khiển với xung δ . Ta định nghĩa
L : Lq (R+ , Rm ) −→ Lq (R+ , Rl ), 1 ≤ q ≤ ∞
t

CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ,

u −→ y(t) = Du(t) +
0

trong đó Lq (R+ , Rm ) := {f : R+ −→ Rn , (

1

||f (t)||qq dt) q < ∞}. L được gọi là ánh
R+

xạ đầu vào - đầu ra của hệ điều khiển trong miền thời gian.
Định nghĩa 1.1. Cho f (t) ∈ L1 (R+ , Rl ), biến đổi Laplace của f (t) là
+∞

f (t)e−st dt, s ∈ C.

fˆ(s) = (L, f ) :=

8
do đó
yˆ(s) = (D + C(sI − A)−1 B)ˆ
u(s) =: H(s)ˆ
u(s).

(1.5)

ˆ
So sánh (1.4) và (1.5), ta có G(s)
≡ H(s) = D + C(sI − A)−1 B.

1.3

Tính đạt được và tính quan sát được

1.3.1

Tính đạt được

Định nghĩa 1.2.

• Xét hệ (1.1), trạng thái x ∈ X gọi là đạt được từ 0 nếu tồn tại

một điều khiển u(t) có năng lượng hữu hạn, thời gian t hữu hạn sao cho
x = ϕ(t; t0 , 0, u(.)).
• Không gian đạt được là tập hợp các trạng thái đạt được, kí hiệu là X r .
• Hệ điều khiển được gọi là đạt được nếu X r = X .
• Ma trận có vô số cột
R(A, B) := [B


Định lí 1.2.

• X r = ImR(A, B).

• AX r ⊂ X r .
• Hệ điều khiển là đạt được nếu rank(R(A, B)) = N.
• X r là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ.

Theo Định lý (1.1) và (1.2) ta có ∀x ∈ X r , ∀t ∈ R+ , ∃ξ ∈ Rn sao cho
(1.6)

x = P(t)ξ.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình trạng thái
t

eA(t−τ ) Bu(τ )dτ

x=
0
t

T

eAτ BB T eA τ ξdτ.

=
0


T

eAs BB T eA s ξds

x=
0

= P(t)ξ.

Điều vừa chứng minh chỉ ra rằng muốn đạt được x tại t ta cần biến điều khiển
T

u = B T eA

(t−τ )

ξ.

(1.7)


10
Người ta đã chỉ ra, xem [1], u có năng lượng nhỏ nhất trong các điều khiển đưa trạng
thái 0 đến x, tức là
||u||2 ≤ ||u||2 , ∀u(t) ∈ L2 (R+ , Rm ),

thỏa mãn
x = ϕ(t; 0, 0, u(.)).

Nếu hệ đạt được, rank(P(T )) = N thì P(t)) khả nghịch và


Định nghĩa 1.4.

• Trạng thái x ∈ X của hệ điều khiển được gọi là không quan sát

được nếu y(t) = Cϕ(t; 0, x, 0) = 0, ∀t ≥ 0.
• X uo ⊂ X là tập các trạng thái không quan sát được. Khi đó hệ được gọi là quan

sát được nếu X uo = {0}.
• Ma trận vô hạn cột
O(A, C) = [C T

AT C T

(AT )2 C T

được gọi là ma trận quan sát được của hệ điều khiển.
• Gramian quan sát được tại t ∈ R+ là
t

T

eA τ C T CeAτ dτ.

Q(t) =
0

...]T




0

Gramian quan sát được là
∞

T

eA τ C T CeAτ dτ.

Q :=

(1.9)

0

Định lí 1.3. Gramian đạt được P và Gramian quan sát được Q của hệ điều khiển là
nghiệm của phương trình Lyapunov
AP + PAT + BB T = 0,

(1.10)

AT Q + QA + C T C = 0.

(1.11)


12
Nhận xét 1.2. P, Q là các ma trận đối xứng, nửa xác định dương. Nếu hệ điều khiển
là đạt được và quan sát được thì P, Q tương ứng là các ma trận xác định dương. Trong

1.4.1

Một số chuẩn của hệ động lực
Giá trị kỳ dị Hankel

Định nghĩa 1.7. Toán tử Hankel là toán tử đầu vào đầu ra được hạn chế
H : L2 (R− , Rm ) −→ L2 (R+ , Rl )


13
0

CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ.

u− −→ y(t) =
−∞

Định nghĩa 1.8. Giá trị kỳ dị của H, kí hiệu σ(H) gọi là giá trị kỳ dị Hankel của hệ
điều khiển.
Người ta chỉ ra giá trị kỳ dị Hankel của hệ đạt được và quan sát được là căn bậc
hai của giá trị riêng khác không của tích hai Gramian đạt được và quan sát được. Cụ
thể là
σi (Σ) =

1.4.2

(1.14)

λi (PQ), i = 1, ..., m



supz∈C+ ||F (z)||S,p , p = +∞
Trong trường hợp p = 2 và p = ∞
+∞
a>0

1

trace(F ∗ (α − iβ)F (α + iβ))dβ) 2 ,

||F ||H2 = (sup
−∞

||F ||H∞ = sup σmax (F (z)).
z∈C+

Nhận xét 1.4. Áp dụng Định lý Modul cực đại ta có
+∞

1

trace(F ∗ (−iβ)F (iβ))dβ) 2 ,

||F ||H2 = (
−∞

||F ||H∞ = sup σmax (F (iβ)).
β∈R




αi Vi ,
i=1

năng lượng cần thiết để đạt được x¯ là
N
T

x¯ P

−1

N
T

αi V i ) P

x¯ = (
i=1

−1

(

αj Vj )
j=1


15
N


(
j=1

i=1

N

N
−1

T

αi Vi ) V ∆

=(

αj )

(
j=1

i=1
N

N

αj d−1
j )


i=1

Biểu thức này đã chỉ ra những trạng thái mà có thành phần chính nằm trong không gian
con sinh bởi những vectơ riêng tương ứng với những giá trị riêng lớn có năng lượng
đạt được nhỏ hơn, tức dễ đạt được. Ngược lại, những trạng thái mà có thành phần
chính nằm trong không gian con sinh bởi những vectơ riêng tương ứng với những giá
trị riêng nhỏ năng lượng đạt được lớn hơn, tức là khó đạt được.
Tương tự như vậy, ta có năng lượng quan sát được tại x¯ là x¯T Q¯
x. Khi đó
Q = V ∆V T ,

trong đó V là ma trận trực giao, các cột Vi là những vectơ riêng của Q và
∆ = diag(d1 , ..., dN ), d1 ≥ ... ≥ dN > 0,

là ma trận chéo trong đó các phần tử chéo là giá trị riêng của Q. Năng lượng cần thiết
để quan sát được tại x¯ là
N
T

N
T

x¯ Q¯
x=(

αi Vi ) Q(
i=1

αj Vj )
j=1


i=1

N

N
T

αj )

αi Vi ) V ∆(

=(

j=1

i=1

N

N
T

α j dj )

αi Vi ) V (

=(

j=1

Những phân tích trên cung cấp một cách hiệu quả để định lượng mức độ đạt được
và mức độ quan sát được. Không gian con gồm các trạng thái dễ dàng đạt được và dễ
dàng quan sát được đóng vai trò quan trọng trong các hoạt động của hệ, những không
gian con khác không có nhiều vai trò và ít quan trọng hơn. Chúng là ứng cử viên tốt
để được cắt bỏ để làm cho bậc của hệ nhỏ hơn mà không ảnh hưởng đáng kể đến hoạt
động của hệ.
Tuy nhiên, vấn đề là mức độ đạt được, và mức độ quan sát được của không gian
con là hai khái niệm độc lập. Theo đó, hoàn toàn có thể xảy ra tình huống, một không
gian con khó để đạt được (thích hợp để cắt bỏ) nhưng lại dễ quan sát được (thích hợp
để được giữ lại) và ngược lại. Ta có thể thấy nó qua ví dụ sau đây, xét hệ (1.1) với các


17
ma trận được cho bởi

A=

−2 −3
1





,

b=

1



0.5

1

1

2.5


.

Giá trị riêng và vectơ riêng của P , làm tròn đến bốn chữ số thập phân, là




V =

−0.5257 −0.8507
−0.8507

,

D=

0.5257

0.0729



,

1

φ−1 = Λ 2 K T U −1

(2.3)