ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN VĂN LỘC
GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN
TUYẾN TÍNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN
SỬ DỤNG PHÂN TÍCH TRỰC GIAO
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN VĂN LỘC
GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN
TUYẾN TÍNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN
SỬ DỤNG PHÂN TÍCH TRỰC GIAO
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THANH SƠN
Thái Nguyên - 2015
i
Mục lục
Tóm tắt nội dung iii
Lời cảm ơn iv
Danh sách ký hiệu v
Mở đầu 1
0.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Luận văn này sẽ trình bày chi tiết phương pháp giảm bậc của hệ điều khiển tuyến
tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp phân tích trực giao (Proper Or-
thogonal Decomposition). Ngoài ra chúng tôi cũng phân tích mối quan hệ của nó với
phương pháp Chặt cân bằng. Hai ví dụ số được trình bày để minh họa cho phương
pháp.
iv
Lời cảm ơn
Trước tiên tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thanh Sơn - Giảng
viên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người thầy đã
hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin được gửi lời cám ơn chân thành đến các thầy, cô đã và đang tham gia
giảng dạy tại trường Đại học Khoa học Thái Nguyên. Các thầy cô đã nhiệt tình giảng
dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học tại trường.
Đồng thời, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người
thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và viết luận văn.
Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tím hiểu, song bản luận văn không
thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong muốn nhận được những
góp ý để luận văn này được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, 2015 Nguyễn Văn Lộc
Học viên Cao học Toán K7A,
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
v
Danh sách ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng
dưới đây:
R
+
tập các số thực dương
R
−

r = 30 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Sai số tuyệt đối của mô hình Eady: bậc giảm r = 20 (a) và bậc giảm
r = 40 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Sai số tương đối của mô hình Eady: bậc giảm r = 20 (a) và bậc giảm
r = 40 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
vii
Danh sách bảng
1
Mở đầu
0.1 Lý do chọn đề tài
Trong thực tiễn hệ điều khiển xuất hiện thường xuyên; khi sử dụng hệ đó như là
một mô hình toán học trên máy tính, cỡ của hệ thường rất lớn, hàng nghìn đến hàng
tr iệu biến. Với máy tính thông thường, việc mô phỏng trở thành rất khó khăn, chậm
chạp do máy tính phải làm việc với dữ liệu lớn. Từ đó, xuất hiện nhu cầu xấp xỉ, theo
nghĩa nào đó, hệ có cỡ lớn bằng hệ có cỡ nhỏ hơn. Công việc đó gọi là giảm bậc của
mô hình (model order reduction).
Có ba phương pháp giảm bậc thường dùng (cho hệ tuyến tính, không phụ thuộc
thời gian):
• Phương pháp phân tích trực giao-POD (Proper Orthogonal Decomposition).
• Phương pháp chặt cân bằng (Balanced truncation).
• Phương pháp không gian con Krylov.
Mỗi phương pháp có những điểm mạnh và điểm yếu riêng. Phương pháp POD là
phương pháp có ý tưởng và thực hiện tương đối đơn giản; phạm vi của nó không
chỉ giới hạn cho hệ tuyến tính mà còn có thể áp dụng cho cả hệ phi tuyến. Ngoài
ra, chúng tôi cũng muốn nghiên cứu phương pháp này để so sánh với phương pháp
Chặt cân bằng vốn có quan hệ gần gũi với phương pháp POD. Chính vì vậy, chúng tôi
đã chọn "Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian sử dụng
phân tích trực giao" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ. Luận văn này gồm 3
chương.
2

4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Những lí thuyết căn bản của hệ động lực tuyến tính
không phụ thuộc thời gian
Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc
thời gian liên tục dạng
.
x
(t) = Ax (t) + Bu (t) ,
y (t) = Cx (t) + Du (t) ,
(1.1)
với A ∈ R
N×N
, B ∈ R
N×m
, C ∈ R
l×N
, D ∈ R
l×m
. Trong đó
• t ∈ (0, +∞): biến thời gian,
• u(t) ∈ R
m
: đầu vào hay hàm điều khiển,
• y(t) ∈ R
l
: đầu ra,
• x(t): vectơ trạng thái,
• A ∈ R

A(t−t
o
)
x
o
+
t

t
o
e
A(t−τ)
Bu (τ ) dτ, t ∈ R.
Từ đó, đầu ra y(t) được tính theo công thức
y(t) = C(e
A(t−t
o
)
x
o
+
t

t
o
e
A(t−τ)
Bu (τ ) dτ, t ∈ R).
1.1.1 Tính đạt được
Không phải tất cả trạng thái của không gian trạng thái R

Cụm từ "năng lượng hữu hạn" liên quan đến điều khiển u(.) có nghĩa là u có chuẩn
hữu hạn trong U. Thông thường, ta hay xét U = L
2
(R
+
, R
m
).
Lưu ý rằng định nghĩa trên chỉ liên quan đến các cặp (A, B) của Σ, tuy nhiên
chúng tôi muốn gắn khái niệm này vào một hệ động lực cụ thể.
Ma trận đạt được có mối quan hệ chặt chẽ với các gramian đạt được, được định
nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.2. Các gramian đạt được hữu hạn tại thời điểm t ∈ R
+
của hệ thống
Σ = (A, B, C, D),
là ma trận
P (t) :=
t

0
e
Aτ
BB
T
e
A
T
τ
dτ.

Từ Định lý 1.1.3 và 1.1.4, ∀ x ∈ X
r
, ∀ t ∈ R
+
, ∃ ξ sao cho x = P

t

ξ. Do đó
u (t) = B
T
e
A
T
(
t−t
)
ξ
là một điều khiển chạy từ 0 đến x tại thời điểm t. Khi đó u (t) có năng lượng tối thiểu
trong tất cả các điều khiển làm nhiệm vụ tương tự, tức là,
u
2
 u
2
, ∀u (t) ∈ L
2
(R
+
, R
m


C
T
A
T
C
T

A
T

2
C
T


T
được gọi là
ma trận quan sát được của Σ.
• Các gramian quan sát được hữu hạn tại t ∈ R
+
là
Q(t) :=
t

0
e
A
T
τ

= x
T
Q

t

x.
Theo định nghĩa, P và Q là không giảm trong R
+
. Nếu Σ là đạt được, thì P (t)
là không suy biến và nghịch đảo của nó P
−1
(t) là không tăng. Nếu chúng ta thay đổi
một trạng thái x và sử dụng (1.2), thì thời gian điều khiển u(.) sẽ chạy từ 0 đến x, giảm
năng lượng mà nó tiêu thụ. Ta suy ra rằng năng lượng tối thiểu chạy từ 0 đến x tại thời
điểm t là đạt được khi t → ∞. Tương tự như vậy, thời gian trạng thái x hoạt động càng
dài, năng lượng quan sát nó tạo ra càng lớn. Những điều đó đòi hỏi sự cần thiết phải
xác định gramians vô hạn.
Định nghĩa 1.4. Đối với một hệ thống ổn định Σ = (A, B, C, D), hai gramian đạt được
vô hạn và gramian quan sát vô hạn được được định nghĩa là
P : =
∞

0
e
Aτ
BB
t
e
A

C = 0 (1.6)
Bằng những lập luận trên và ký hiệu năng lượng tối thiểu để đạt được x từ 0 là
xP
−1
x,
năng lượng quan sát được lớn nhất được sinh ra bởi x là
xQx.
Chúng tôi xét tiếp theo một phép biến đổi tọa độ x = φx có thể ảnh hưởng đến
gramians như thế nào.

P =
∞

0
e

Aτ

B

B
T
e

A
T
τ
dτ (1.7)
=
∞

Qφ. (1.10)
(1.9) và (1.10) dẫn đến một phát hiện quan trọng: giá trị riêng của PQ là bất biến đối
với phép biến đổi của không gian trạng thái.
1.2 Phân tích giá trị kì dị của ma trận
1.2.1 Phân tích giá trị kỳ dị của ma trận (SVD)
SVD là một phân tích rất quan trọng được sử dụng cho nhiều mục đích khác nhau
cả trong lý thuyết cũng như trong thực tiễn tính toán.
10
Định lí 1.5. Cho A là một ma trận cỡ m × n tùy ý với m  n. Khi đó, chúng ta có
thể viết A = UΣV
T
, với U cỡ m × n và thỏa mãn U
T
U = I, V cỡ n × n và thỏa mãn
V
T
V = I, và Σ = diag (σ
1
, , σ
n
), với σ
1
  σ
n
 0.
Chứng minh. Chúng tôi quy nạp theo m và n: Giả sử A = 0; nếu không chúng ta có
thể lấy Σ = 0 còn U và V là ma trận trực giao tùy ý. Khi n = 1 (vì m ≥ n), ta viết
A = UΣV
T
với U = A/A

U

là ma trận trực giao cấp m × m, và V =

u,

V

là ma trận
trực giao cấp n × n. Bây giờ có thể viết
U
T
AV =


u
T

U
T


A

v

V

=


=
Av
2
2
Av
2
= Av
2
= A
2
≡ σ
và

U
T
Av =

U
T
uAv
2
= 0. Ta suy ra u
T
A

V = 0 bởi vì nếu không
σ = A
2
=


2
> σ,
mâu thuẫn. Như vậy
U
T
AV =


σ 0
0

U
T
A

V


=


σ 0
0

A


.
Bây giờ chúng ta có thể áp dụng các giả thuyết để quy nạp cho


1
T


=


1 0
0 U
1




σ 0
0 Σ
1




1 0
0 V
1


T
hoặc
A =


T
,
đó là điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.5. Các cột u
1
, , u
n
của U trong phân tích A = UΣV
T
nói trong Định
lí 1.2.1 được gọi là các vectơ kì dị trái. Các cột v
1
, , v
n
của V được gọi là các vectơ
kì dị phải. Các σ
i
được gọi là các giá trị kì dị. (Nếu m < n SVD được xác định bằng
cách xét A
T
)
SVD có nhiều tính chất đại số và hình học quan trọng, quan trọng nhất là những
tính chất sau đây.
Định lí 1.6. Cho A = UΣV
T
là SVD của ma trận A cỡ m × n, trong đó m  n. (Kết
quả tương tự cho m < n)
1. Giả sử rằng A là đối xứng, với giá trị riêng λ
i
và vectơ riêng trực giao u

T
A là σ
2
i
. Các vectơ kì dị phải v
i
là vectơ
riêng trực giao tương ứng.
3. Các giá trị riêng của ma trận đối xứng AA
T
là σ
2
i
và m −n số 0. Các vectơ kì dị
trái u
i
được vectơ riêng trực giao cho các giá trị riêng σ
2
i
tương ứng. Người ta có
thể thực hiện bất kỳ m −n vectơ trực giao khác là vectơ riêng cho giá trị riêng 0.
12
4. Cho H =


0 A
T
A 0



5. Nếu A có hạng đầy đủ, các nghiệm của min
x
Ax − b
2
là x = V Σ
−1
U
T
b.
6. A
2
= σ
1
. Nếu A là ma trận vuông và không kì dị, thì


A
−1


−1
2
= σ
n
và
A
2
.



8. Nếu S
n−1
là hình cầu đơn vị trong R
n
: S
n−1
= {x ∈ R
n
: x
2
= 1} và AS
n−1
là
ảnh của S
n−1
dưới A : AS
n−1
= {Ax : x ∈ R
n
, x
2
= 1}, thì AS
n−1
là một tâm
ellipsoid gốc của R
m
, với trục chính σ
i
u
i

k
=

k
i=1
σ
i
u
i
v
T
i
và A −A
k

2
= σ
k+1
. Chúng ta cũng có thể viết
A
k
= UΣ
k
V
T
, với Σ
k
= diag (σ
1
, , σ

viết
AA
T
= UΣV
T
V ΣU
T
= UΣ
2
U
T
=

U,

U



Σ
2
0
0 0



U,

U


x − b


2
2
=








U
T

U
T



UΣV
T
x − b







2
2
=


ΣV
T
x − U
T
b


2
2
+




U
T
b



2
2
Nghiệm được làm gọn bằng cách bỏ bớt các số 0 đầu tiên, tức là x = V Σ
−1


V
T
A
−1
U


2
=


Σ
−1


2
= σ
−1
n
.
7. Lại một lần nữa chọn một ma trận

U cấp m ×(m − n) để ma trận cấp m × m,

U =

U,

U

Av = 0 nếu và chỉ nếu

U
T
AV

V
T
v

= 0. Nhưng hạt nhân của

Σ rõ ràng là mở
rộng ra bởi cột r + 1 đến n của ma trận cấp n ×n gốc I
n
, bởi vậy hạt nhân của A
được mở rộng ra bởi những cột của V , tức là v
r+1
đến v
n
. Lập luận tương tự cho
14
thấy rằng ảnh của A là ảnh thông qua

U của ảnh của

U
T
AV =


i
v
i
T





=













U










= σ
k+1
.
Ta còn phải chỉ ra rằng không còn ma trận nào hạng k gần ma trận A hơn. Cho
B là ma trận bất kì hạng k, vì hạt nhân của nó có chiều là n −k. Không gian mở
rộng ra bởi {v
1
, , v
k+1
} có số chiều là k + 1. Từ đó tổng số chiều của chúng là
(n − k) + (k + 1) > n, hai không gian này phải trùng nhau. Chọn h là một vecto
đơn vị ở giao của chúng. Khi đó
A − B
2
2
 (A − B) h
2
2
= Ah
2
2
=


UΣV
T
h

2
k+1
1.2.2 Ý nghĩa hình học của giá trị kì dị của ma trận
Cho bất kì ma trận A cấp m × n, coi nó như một ánh xạ từ vectơ x ∈ R
n
đến một
vectơ y = Ax ∈ R
m
. Khi đó, chúng ta có thể chọn một hệ trục tọa độ trực giao cho
R
n
(nơi các tr ục đơn vị là các cột của V ) và một hệ trục tọa độ trực giao cho R
m
(nơi
các trục đơn vị là các cột của U) sao cho A là ma trận chéo (Σ), nghĩa là, ánh xạ vectơ
x =
n

i=1
β
i
v
i
đến y = Ax =
n

i=1
σ
i
β

n
)] làm không
gian chiếu. Ta luôn mong muốn tìm được một nhóm nhỏ các vectơ, tốt nhất là trực
giao, {v
i
}
k
i=1
, k  d , sao cho nhóm này là đại diện tốt nhất của X. Nhiệm vụ này có
thể được viết lại như một bài toán tối ưu hóa
arg max
v
i
∈R
N
k

i=1
n

j=1
|x
j
, v
i
|
2
, với v
i
, v