TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

BÁN KÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC
CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

BÁN KÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC
CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
ThS. Trần Thị Thu

HÀ NỘI – 2018




●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✸

⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✹

❍➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✶✳✺

▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉
❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝

✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

❑➳t ❧✉➟♥

✸✵

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✶

✐✐


ớ ỡ
rữợ tr ở ừ õ ỷ ớ
ỡ tợ t ổ tr

rữớ ồ

ữ ở tr ự ũ ỳ tr
tự qỵ t õ tốt t
ử õ ồ
t ỡ ỳ tọ sỹ trồ ỏ t ỡ s
s tợ ổ

s r ữớ trỹ t ữợ

t t ú ù õ t t õ

❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✹ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽✳
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

✷


ớ õ

ỵ ồ t
ỵ tt õ ỗ ố tứ trữợ sỹ tỹ
ừ ỡ ồ t ữủ t ữớ
t ồ
ữủ ừ ở ỹ ữủ ữ ỳ
ỵ tữ t q q trồ ừ tứ ỳ tr
õ ự ởt số số t ữủ
t t ỡ ứ õ t tr t
ởt ữợ ữủ ự ởt ữợ q trồ ừ ỵ tt
ở ỹ t ữủ ự ợ
ữủ s ữợ t ở ừ õ tố
ữủ tr ố õ ởt
ữủ t õ ởt ữủ ởt tổ số õ r
õ õ ỏ ữủ ỳ ổ õ t
ữủ ữủ
tứ ởt t ữủ ởt t





♣❤→t tr✐➸♥ ❤✐➺♥ ♥❛② ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❚➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝❤ t➼♥❤ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉
❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳

✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✲ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝❤ t➼♥❤ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉
❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
✲ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❝→❝❤ t➼♥❤ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉

✹


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ❝ö t❤➸✳

✹✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✲ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❍➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
✲ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳

✺✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❚ê♥❣ ❤ñ♣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ t❤✉ t❤➟♣ ✤÷ñ❝ q✉❛ ♥❤ú♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥
✤➳♥ ✤➲ t➔✐ ✈➔ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤✳

✻✳ ✣â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐
❳➙② ❞ü♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ t❤➔♥❤ ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉ tê♥❣ q✉❛♥ tèt ❝❤♦ s✐♥❤ ✈✐➯♥


R

❤♦➦❝

C✳

❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì

n

x

❝❤✐➲✉✳

tr♦♥❣

Kn .
m×n

tr➯♥ tr÷í♥❣

K.

Kn .

▼❛ tr➟♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣✱ ❝❤✉②➸♥ ✈à✱ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥
❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

A.


✣ç t❤à ❝õ❛

F ∗ , F −1

❚♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣✱ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛

G◦F

❚♦→♥ tû ✤❛ trà ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛

(A, B)

▼❛ tr➟♥ ❣❤➨♣ ❜ð✐ ♠❛ tr➟♥

(A|B)

▼❛ tr➟♥ ❝â ❞↕♥❣
◆❤✐➵✉✳

✻

A.

F.
F.

F.

A


❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝â ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❤➺

(A, B)✳

▼❛ tr➟♥ ♥❤✐➵✉✳

sup S ✱ inf S

❈➟♥ tr➯♥ ✤ó♥❣✱ ❝➟♥ ❞÷î✐ ✤ó♥❣ ❝õ❛ t➟♣

FG+

●✐↔ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ▼♦♦r❡✲P❡♥r♦s❡ ❝õ❛

FG .

Wλ+

●✐↔ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ▼♦♦r❡✲P❡♥r♦s❡ ❝õ❛

Wλ = (A − λI, B).

✼

S.


❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à


0

A,

♥❣❤➽❛ ❧➔

❜➡♥❣

rank A = r

♥➳✉

✈➔ ♠å✐ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝➜♣

rank A = rank At .
f :V→W

❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➛✉ ❦❤✐ ✈➔

rank f = dim V.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦

A ∈ Mat(n × n, K).

❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

A,



u = 0, u ∈ Kn

s❛♦

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✈❡❝tì r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

λ.
✽

A


õ tốt ồ

Pữỡ

ợ ồ tr
ồ tr r ừ tr


ừ tr

A



i =



t tỷ t t tử ỳ ú ớ ỳ
ừ t t ỗ tứ ổ tr ữỡ tr t
ừ s r t q ừ t t
ữ ữỡ tr ữỡ
tr r ỵ tt t ỹ tr ỵ
tt õ ú tổ s ởt số tự
q trồ s ữủ sỷ ử s tt ử t ở q
t õ t t tr t

ồ ổ ổ
t t ổ t t tr trữớ
ợ ởt tứ

X

t số tỹ

R, ã

tọ t s





(x X) x 0, x = 0 x = 0
(x X) K x = || x





❧➔

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì

Kn .

❱î✐ ❤❛✐ ✈❡❝tì ❜➜t ❦➻

x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn

t❛ ①➨t✿

n
✐✳

x−y

1

|xi − yi |✳

= d1 (x, y) =
i=1

n
✐✐✳

x−y


❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥

lim xn − x = 0.

n→∞

❑➼ ❤✐➺✉

X

❣å✐

lim xn = x

n→∞

xn → x(n → ∞)✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸✳ ❉➣② ✤✐➸♠
❣å✐ ❧➔ ❞➣② ❝ì ❜↔♥✱ ♥➳✉

(xn )

tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥

X

lim xn − xm = 0.

n→∞

✤➲✉ ❝â t❤➸ t❤→❝ tr✐➸♥ ❧➯♥ t♦➔♥

✈î✐ ❝❤✉➞♥ ❦❤æ♥❣ t➠♥❣✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❝â t❤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝

♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝

F

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t♦➔♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❝❤♦✿

✶✵

X

s❛♦


õ tốt ồ



Pữỡ

F (x) = f (x) (x X0 )
F

X


f = 1.

tr
tr t ữủ q t ự t tr
tứ ỳ ỵ tt ữủ
ự t tr t ữủ ỳ ự ử rở
r õ tr tr t ồ ụ ữ ỹ ớ số ở
ữ tr ỵ tt ữỡ tr ữỡ tr
r ỵ tt tố ữ
t t t ữỡ s ú tổ
ởt số ỵ ụ ữ ởt số t q t ừ tr
s ữủ sỷ ử s tt ử t ở q t õ t
t tr t



X

X, Y

t ủ t ởt

t ủ ỗ t ủ ừ

Y

ữủ ỵ

ồ tr t



•

✣ç t❤à ❝õ❛

•

▼✐➲♥ ↔♥❤ ❝õ❛

F

❧➔

F

❧➔ ✿

F :X⇒Y

dom F = {x ∈ X : F (x) = ∅}✳

gr F := {(x, y)|x ∈ X, y ∈ F} ⊂ X × Y ✳

F

❧➔

F(x)✳

Im F =


♥➳✉

❝❤♦ t❛ ♠ët →♥❤ ①↕ ✤❛ trà

F : R ⇒ R.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✸✳ ❈❤♦

F : Kn ⇒ Km

✤❛ trà ✈î✐

x=0

❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✭❤❛② →♥❤ ①↕✮

K = R ❤♦➦❝ K = C ♥➳✉ ✤ç t❤à ❝õ❛ F

t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛

Kn × Km

t❤➻

F

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥


F

F

x

♥➳✉

❧➔ sè ❤ú✉ t✛

x

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛

❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥ t➼♥❤✳

✶✷

❧➔ sè ✈æ t✛


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

F(0)

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥



✤à♥❤ ❜ð✐

F = sup { inf

y : x ∈ dom F, x = 1}.

✭✶✳✷✮

y∈F(x)

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳✷✳
✐✳ ❚ø ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✹ t❛ ❝â
♥➳✉

F

inf ≤ F . x , ∀x ∈ dom F. ❉♦ ✤â✱

y∈F(x)

❧➔ ✤ì♥ trà t❤➻

F(x) ≤ F

x , ∀x ∈ dom F.

✐✐✳ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤÷ñ❝ tr❛♥❣ ❜à ❝❤✉➞♥ ❊✉❝❧✐❞❡

✭✶✳✸✮


❧➔

F ∗ : (Km )∗ ⇒ (Kn )∗

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

F ∗ (v ∗ ) = {u∗ ∈ (Km )∗ : u∗ x = v ∗ y, ∀(x, y) ∈ gr F}.
✶✸

✭✶✳✺✮


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✐✐✳ ❚♦→♥ tû ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛

F

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣
❧➔

F −1 : Im F ⇒ Kn

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

F −1 (y) = {x ∈ Rn : y ∈ F(x)}.
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳✸✳ ❈❤♦ t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥ t➼♥❤

✭✶✳✻✮



(F(Kn ) = Kn ) ⇔ F ∗

❧➔ ✤ì♥ →♥❤

✭✶✳✼✮

(F ∗−1 (0) = {0})

❧➔ ✤ì♥ trà✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳✹✳ ❈❤♦

F : Kn ⇒ Km , G : Km ⇒ Kl

❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤❛

trà t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❑❤✐ ✤â

✐✳ ❚♦→♥ tû

G ◦ F : Kn ⇒ Kl

∀x ∈ dom F

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

(G ◦ F)(x) = G(F(x)),

❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥ t➼♥❤✳

✳

✶✹

t❤➻ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛

✭✶✳✾✮

F(x) = FG (x) =

FG

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤


õ tốt ồ

Pữỡ

ứ t tỷ ợ õ tr t
t t s sỷ ử

FG (x) = G(x).

t t tỷ ủ

(FG ) : (Km ) (Kn )
v (FG ) (v ) = v G
ụ t tỷ tr t t
ỡ t ỗ t

r tỹ t t tt
tữớ q ở ỹ ổ t
ữỡ tr t ồ ợ tớ tử rớ r

x (t) = f (t, x(t), u(t)),

t0



x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)),
tr õ

x(t)

k = 0, 1, 2, . . .

tr t ổ t ố tữủ r

u(t)



ổ t ố tữủ ừ tố ố tữủ
tr ổ tố ữủ ổ t ữ ỳ
ỳ õ t ở q trồ ự ở ự ở





t❤→✐ ❜❛♥ ✤➛✉
tç♥ t↕✐

✈î✐

= Ax(t)+Bu(t) (∗)

K = R ❤♦➦❝ C ✭ ✤➸ ❝❤♦ ✤ì♥

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ♥➳✉ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ tr↕♥❣

x(0) = x0 ✈➔ ❜➜t ❦➻ tr↕♥❣ t❤→✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ❦➳t t❤ó❝ x1 t❤➻

T >0

✈➔ ♠ët ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤♦ ✤÷ñ❝

❦❤↔ t➼❝❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦

u(t) : [0; +∞] → Km ✱

x(0, 0, u) = x0 ✱ x(T, 0, u) = x1 .

❑❤✐ ✤â t❛ ❝ô♥❣ ♥â✐ r➡♥❣ ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥

(A, B) ∈ Kn×n × Kn×m

❧➔ ✤✐➲✉

❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳


(∗)

❤➺

❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr♦♥❣

V (0) ⊂ Rn

V (0),

s❛♦ ❝❤♦

t❤➻ ❤➺ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭▲❈✮✳

✶✳✺ ▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝
❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣
❜✉ë❝
❳➨t ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤



x = Ax + Bu

✭✶✳✶✶✮


x(0) = x0 , x ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , t ≥ 0

x1 =

x2 + u


x = x1 + 2x2 + 2u
2


 
0 1
1
 , B =  ✳
A=
1 2
2
✶✼


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

❑✐➸♠ tr❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❑❛❧♠❛♥ ✈î✐ ♥❂✷ t❛ ❝â


rank(A|B) = rank(B, AB) = rank 

1 2
2 5


✶✽


❈❤÷ì♥❣ ✷
❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺
✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤
❚❛ ❝â ❝➦♣

(A, B)

✈➔ t❛ ♠♦♥❣ ♠✉è♥
♥➳✉ ♥❤✐➵✉

(A, B)

✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✱ s❛✉ ✤â ♥❤✐➵✉

(A, B)

(A, B)

(A, B)

✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳ ▼ët ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❜✐➳t ✤â ❧➔✱

(A, B)

♠ët ❧÷ñ♥❣



❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
(∆1 , ∆2 ) ∈ Kn×(n+m) .
❝➦♣

(A, B)

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

❑❤✐ ✤â ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝

rK (A, B)

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉

rK (A, B) = inf{ (∆1 , ∆2 ) : (∆1 , ∆2 ) ∈ Kn×(n+m)
s❛♦ ❝❤♦

✈î✐

·

❝õ❛

(A, B) + (∆1 , ∆2 ) ❦❤æ♥❣

❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥✳ ❙è

❝➦♣ ♠❛ tr➟♥


(A, B)
tr♦♥❣ ✤â

(A, B) = (A, B) + D∆E

D ∈ Kn×l , E ∈ Kq×(n+m)

❧➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ✤➣ ❝❤♦ ✈➔

♠❛ tr➟♥ ♥❤✐➵✉✳ ❈→❝ ♠❛ tr➟♥ ❝➜✉ tró❝
♥❤✐➵✉
❧➔

D∆E.

❑❤✐

D, E

D∆E = (∆1 , ∆2 )

D, E

✭✷✳✸✮

∆

❧➔

①→❝ ✤à♥❤ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛


D,E
rK
(A, B) = inf{ ∆ : ∆ ∈ Kl×q

s❛♦ ❝❤♦

(A, B) = (A, B) + D∆E

❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝}.
✭✷✳✹✮
◆➳✉ ❝➦♣

(A, B)

∆ ∈ Kl×q

✈î✐

t❤➻ t❛ ✤➦t

(A, B) = (A, B) + D∆E

✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ✈î✐ ♠å✐

D,E
rK
(A, B) = +∞.

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳✷✳ ❑❤✐


❧➔ t♦→♥ tû ✤❛ trà ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛

✷✶

Wλ .