2.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI .
A-Lý thuyết
1.
2.
3. ( )( ) 0
A B B A B
A B
A B
A B
A B A B A B
< ⇔ − < <
>

> ⇔

< −

> ⇔ − + >
Các tính chất :
,
,
1.
2. . 0
3. ,
4. ( ). 0
A B
A B
A B A B
A B A B A B
A B A B
A B A B A B B

x
− − ≤ −
− + + >
+ > −
− +
≤
−
Bài giải :
Bài 2:
2
2
2
2
2 3 3 3
(1)
2 3 3 3
6 0 3 2
0 5
5 0
2 5
x x x
x x x
x x x x
x
x x
x

− − ≥ − +

⇔

2 2
2 2
2
(2) 3 2 2
3 2 2
3 2 2
1
2
2 5 2 0
2
2 0
2
1
2
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x
x
⇔ − + > −

− + > −
⇔

− + < −

3
x x
x x
x x x x
x x
x x x
⇔ + > −
⇔ + − − >
⇔ + + − + − − >
⇔ − − >
⇔ − − > ⇔ < <
Kết luân :
4. Đk: x
2≠ ±
2 2
2 2 2 2
2
(3) 5 4 4
( 5 4) ( 4)
(8 5 )(2 5 ) 0
8
0
5
5
2
x x x
x x x
x x x
x
x

vậy
9
0
2
9 9 9
0
2 2 2
t
x x
≤ ≤
⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Bài 4:
1
+) Xét :
0
4 5
x
x
<


≤ <

2
2
2
4 3
(1) 1
5
3 2

4 3
(1) 1 2 5 2 0
5
1
2
2
x x
x x
x x
x
− + +
⇔ ≥ ⇔ − + ≤
− +
⇔ ≤ ≤
+) Xét
5x
≥
:
2
2 2
4 3 5 8
(1) 1 0
5 5
1 21 8 1 21
2 5 2
x x x
x x x x
x x
− + −
⇔ ≥ ⇔ ≤

1 2 8
2 2 7 0
9
9
2
2
t t t
t t t
t t t
t t
t
t
⇔ − ≤ − +

− + − ≤ −

⇔

− ≤ − +



− + ≥

⇔ ⇔ ≤

≤


Bài tập về nhà :

x x x m
x x x m
⇔ − − ≤ − +
⇔ − − ≤
⇔ − − ≤
Ta có :
7
(2 7)( 2 ) 0 2 0
2
x x x m x m x x− − = ⇔ = ∪ = ∪ =
+) Nếu 2m < 0 :
Có trục xác định dấu:
Kết luận :
2
7
0
2
x m
x
≤



≤ ≤

Nếu 2m = 0
Kết luận:
7
2
x ≤

≤



=

+)Nếu
7 7
2
2 4
m m> ⇔ >
Kết luận:
0
7
2
2
x
x m
≤



≤ ≤

2
2
2
2
2
3 3 9 2



⇔ ⇔


− + <

+

>


Bài 2:
1.Đặt :
2
, 0x t t= >
Ta được :
2
2
2
4
2
1. 1
2 3
2. 1
1
3. ( 3)( 1) 5 ( 1) 11
x
x
x

≤


≥

3.)
2
0 1
x
x
= −


≤ ≤

4.)
2
2
2
2
2
2 2
1
2
2
2
2 0
0 1
2 0
t

− ≤ ≤

< ≤ ⇔

≠

2.Đk :
1x
≠ −
Th
1
:
x o≥
2 2
2
2 3
(2) 1 2 3 1
1
(2 3 ) (1 )
8 14 3 0
1 3
4 2
x
x x
x
x x
x x
x
−
⇔ ≤ ⇔ − ≤ +

x x
x
+
⇔ ≤ ⇔ + ≤ +
+
⇔ + ≤ +
⇔ + + ≤
⇔ − ≤ ≤ −
( tm )
Kết luận :
3.
2 4
2 4
(3) 2 3 5 ( 1) 11
( 1) 9 ( 1) 11
x x x
x x
⇔ + − − ≤ + −
⇔ + − ≤ + −
Đặt :
2
( 1) , 0t x t= + ≥
Ta được :
2
2
2
2
2
9 11
9 11




≤ −


≥

Vậy
4t ≥
( tm ):
5
(3)
2
x⇔ ≤ −
Nếu m < 0:
0 2
5
2
x m
x
≤ ≤ −



≤ −

Kết luận :
Bài 4:
2 2

x
x
⇔ + ≥ ⇔ − + ≥
≥

⇔

≤ −

Kết luận :
Bài 3:
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
(3) 2 3
2 (2 5 ) 0
(2 5)( 2 ) 0
x x m x x m
x m x x
x x x m
⇔ − + ≤ − −
⇔ + − ≤
⇔ + + ≤
Nếu :
5 5
2
2 4
m m− < − ⇔ >

m x

≤ −

⇔

− ≤ ≤

Nếu
2 0 0m m
− = ⇔ =
2 2
2 2
2( ) 1 0
( )
(5)
2( ) 1 0
( )
x x m m m
I
x m
x x m m m
II
x m


+ − + + − ≤


≥

2 2
2
1 2
2 1 0
1
1
2
m m m m
m m
m
⇔ − + ≥ +
⇔ + − ≤
− ≤ ≤
(II)
2 2
2 ( ) 3 1
x m
x x g x m m
<

⇔

− = ≤ − − +

(II)có nghiệm
2 2
2
2 3 1
2 1 0
1

2
m m m+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Bài tập về nhà :
Bài 1 :
Tìm a để với mọi x :
2
( ) ( 2) 2. 3(1)f x x x a= − + − ≥
Bài 2:
Tìm a để bpt :
Ax + 4 > 0 (1) đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn
điều kiện
4x <
Bài 3:
Tìm a để bpt sau nghiệm đúng với mọi x :
2 2
( 4 3)( 4 6)x x x x a+ + + + ≥
Bài giải :
Bài 1:
Bài toán thỏa mãn :
Bài 2:
Nhận thấy trong hệ tọa độ xoy thì y = ax + 4 với
-4 < x < 4 là một đoạn thẳng . Vì vậy y = ax + 4 >
0
( 4) 0 1
1 1
(4) 0 1
y a
a
y a
− ≥ ≥ −

6 1 2 ( ) 0 (3)
x a
x a
x x a f x
x x a g x
≥
<

− + − = ≥ ∀

⇔

− + + = ≥ ∀


2
' 0
0
0
' 0
(2)
1. ( ) 0 4 1 0
2 3
1
1
2
a
a o
a
f a a a

<





− <



(3)
2
' 0
8 2 0
8 2 0
4
' 0
1. ( ) 0 4 1 0
2 3
3
2
a
a
a
g a a a
a
b a
a
a
∆ ≤



< −



Vậy để thỏa mãn bài toán :
0
4
a
a
≤


≥

5