Vấn đề 1. Giải hệ bất phương trình bậc hai hai ẩn nhờ phương pháp tham biến.
Phương pháp:
Chuyển hệ bất phương trình về hệ phương trình nhờ biểu diễn qua tham số.
Bài 1 Giải hệ bất phương trình:
2 2
x y 1
x y xy 1





+ ≤
+ + =
(Đề thi TTPHHSG Khối 10 Tỉnh ĐakLak – 1999)
Giải
Để ý
Do
x y 1+ ≤
nên: x + y = 1 – m với
m 0≥
(1)
Lúc này hệ là:
( )
2
2 2
1
x y 1 m
x y 1 m
xy 1 m
x y xy 1

2 2
1 m 1
3 3
⇔ − ≤ ≤ +
Với điều kiện (1) ta có
0
2
m 1
3
≤ ≤ +
Lúc đó ta có x, y là hai nghiệm của phương trình
t
2
– (1 – m)t + (1 – m)
2
– 1 = 0
Vậy nghiệm của hệ là:

( )
( )
2
2
0
2
m 1
3
1 m 4 3 1 m
x
2
1 m 4 3 1 m

1 m 4 3 1 m
y
2











≤ ≤ +
− + − −
=
− − − −
=
1
Bài 2 Ở bất phương trình thứ hai của hệ của hệ trong bài 1 ta thay dấu “=“ bởi dấu “
≥
” thì ta có
hệ mới sau:
2 2
x y 1
x y xy 1




2
– (1 – m)x + (1 – m)
2
– 1
0≥
(4)
Ta có
( )
( ) ( )
2
2 2
11 m 4 1 m 4 3 1 m
 
− − =
 
 
∆ = − − − −
Trường hợp
0∆ ≤

( )
2
4 3 1 m 0⇔ − − ≤
( )
2
4
1 m
3
≥⇔ −
2 2

2 2
1 m 1
3 3
<⇔ − < +
Với điều kiện (3) ta có
0
2
m 1
3
≤⇔ < +
Lúc đó bất phương trình (4)
( )
( )
2
2
1 m 4 3 1 m
x
2
1 m 4 3 1 m
x
2



⇔




− − − −

1 m 4 3 1 m
y 1 m x
2
⇒
− − − −
= − − ≤
Vậy nghiệm của hệ là:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
m 0 m 0
1 m 4 3 1 m 1 m 4 3 1 m
x x
2 2
1 m 4 3 1 m 1 m 4 3 1 m
y y
2 2
 
 
 
 
 
∨
 
 
 
 

Giải
a) Nếu x = 0 thì hệ là:
2
2
y 0
y 1

−




≤
=
hệ vô nghiệm.
b) Nếu
x 0≠
đặt y = t x. Điều kiện
t 0≠
Vì t = 0 thì y = 0 lúc đó hệ là
2
2
x 0
1
x
2





(*)
Thay y = tx vào phương trình (2) ta được: 2x
2
– 3tx
2
+ t
2
x
2
= 1
⇔
(2– 3t + t
2
)

x
2
= 1 (3)
a) Nếu: 2– 3t + t
2

≤
0
⇔
1 t 2≤ ≤
thì hệ vô nghiệm. Vì vế phải của (3) luôn dương.
b) Nếu: 2– 3t + t
2
> 0
⇔









=
− +
− +
≤ − −
hoặc
2
2
1
t
t > 2
x
t 3t 2
y
t 3t 2
t 1 2





= −


≤
− + ≥
Giải
Rõ ràng về mặt hình thức đây là bài toán phức tạp hơn. Ta thực hiện việc giải bài toán như giải hệ
phương trình đẳng cấp.
a) Nếu x = 0 thì hệ là:
2
2
y 0
y 0

−




≤
≥
Thì hệ có nghiệm
x 0
y



=
∈¡
4
b) Nếu x
≠
0 đặt y = tx. Điều kiện t

t
2
+ 2t – 3
≥
0
t 1
t 3



≥
⇔
≤ −
(*)
Từ bất phương trình (2) ta có x
2
– 3tx
2
+ 2t
2
x
2
= m (3)
a) Nếu 2t
2
– 3t + 1 < 0
1
t 1
2
⇔ < <

⇔= = ±
− + − +
Vậy nghiệm của hệ
2
2
1
t t 1
2
m
x
2t 3t 1
m
y t
2t 3t 1











< ∨ >
=
− +
=
− +

- Chú ý đến tính đối xứng giữa hai ẩn x và y
5
- Nếu cặp (x
0
; y
0
) là một nghiệm thì cặp (- x
0
; - y
0
) cũng là nghiệm của hệ hoặc(y
0
; x
0
) cũng là
nghiệm…
- Tìm điều kiện cần lưu ý x
0
= y
0
( x
0
= -x
0
và y
0
= - y
0
)…. Từ điều kiện cần ta tìm được giá trị
của tham số

y 0
= − =


⇒
 
=
=


−
Lúc đó hệ phương trình là:
m 0
m 0
m 0

⇒


≥
≥
≥
Điều kiện đủ với
m 0≥
a) Trường hợp m > 0
Ta có
x 0
y 0
=



+
 
⇔
 




+ + ≤
+ ≤
− − ≤
− − ≤
2 2
x y 0
x 0
y 0
y 0
x 4xy y 0




⇔ ⇔
 



+ =
=

0
Lúc đó hệ là:
0
4
0
2
2
m
x
m 0
m
x



⇒




≤
≥
≤
Điều kiện đủ với
m 0≥
*) Trường hợp m > 0
Do x
0
= y
0

x y 0 (1)
x y x y (2)
+





≤
+ ≤
Mà x
4
+ y
4

≥
2x
2
y
2

⇒
2x
2
y
2

≤
x
2

= ⇒
=
Tương tự với y = 0 ta cũng có
x 0
x 0
y 0

⇒


=
= ⇒
=
Vậy m = 0 thì hệ có nghiệm duy nhất.
Vấn đề 3. Áp dụng điều kiện S
2

≥
4P tìm tham số để hệ phương trình đối xứng loại I có nghiệm.
7
Lưu ý khi giải:
- Biến đổi hệ chỉ chưa tổng x + y và xy
- Gọi S = x + y và P = xy. Tacó hệ theo S và P
- Khử một trong hai biến S hoặc P ta được phương trình bậc hai của cùng một ẩn.
Bài 7 Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình:
2 2
x y xy m
x y m



S
S P m (1)
2P m (2)





+ =
− =
Điều kiện S
2

≥
4P (*)
Từ (*) và (2) ta có S
2

≥
4P
⇔
m + 2P
≥
4P

⇔
2P
≤
m kết hợp phương trình (1)
Ta có 2(m – S)


Ta có f(S) có hai nghiệm thỏa mãn
m
S
2
≥

1 2
1 2
m
S S
2
m
S S
2


⇔


≤


< ≤
≤
8
a) Trường hợp 1:
1 2
0
m m

m 2






⇔ ⇔
 
 
 


+ ≥
≥ −
+ − > < ∨ >
< −
< −
. Vô nghiệm
b) Trường hợp 2:
1 2
m
S S
2
≤ ⇔≤
m
1.f 0
2
 
 ÷



+ + =
+ =
Đặt
S x y
P xy



= +
=
. Điều kiện S
2

≥
4P (*)
Lúc đó hệ phương trình là:
S P 1 (1)
SP m (2)



+ =
=
Từ (1) ta có SP = S(1 – S)
⇒
S(1 – S) = m
⇔
S

a) Trường hợp 1:
m 4
5
+
< S
1

≤
S
2

0
m 4
1.f 0
5
1 m 4
2 5




 
⇔

 ÷
 





⇔
m 4
1.f 0
5
 
 ÷
 
+
≤

2
m 28m 4 0 14 10 2 m 14 10 2
⇔ ≤
⇔ + − > − − ≤ − +
Vậy
m 14 10 2≤ − +
thì hệ phương trình có nghiệm
10