
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Một lớp các phương trình vô tỷ có thể giải được bằng phương pháp chuyển về phương trình
lượng giác (hay ngược lại).
 Dấu hiệu nhận biết là trong phương trình xuất hiện các biểu thức

2 2 2
1 x , x 1, x 1,
− + −


L
ợ
i th
ế củ
a ph
ươ
ng
phá
p
nà
y
là đư
a ph
ươ
ng
trì
nh ban
đầ

nh
đẳ
ng c
ấ
p,
đố
i x
ứ
ng, c
ổ đ
i
ể
n, ……

Nh
ượ
c
đ
i
ể
m
củ
a ph
ươ
ng
phá
p
nà
y
là

giá
c
là
tu
ầ
n
hoà
n, nên khi
đặ
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n
cá
c bi
ể
u th
ứ
c l
ượ
ng
giá
c th
ậ
t
khé
o

+
v
ò
ng
trò
n l
ượ
ng
giá
c)

M
ộ
t s
ố
ph
ươ
ng
phá
p l
ượ
ng
giá
c
hó
a th
ườ
ng g
ặ
p

−

{ }a
x , ÐK : t ; \ 0
sin t 2 2
a
x , ÐK : t 0; \
cos t 2

 
π π

 
= ∈ −

 

 

 

 
π
 
 
 = ∈ π
 




 


= ∈ π

a x a x
a x a x
+ −
∨
− +x a cos 2t, ÐK : cos 2t 1;1
 
= ∈ −
 
 

(
)
(
)
x a b x
− −

Bà
i
giả
i tham
khả
o
●

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1 x 1
− ≤ ≤
.
●

Đặ
t

2 2 2
x cos t, t 0; 1 x 1 cos t sin t sin t sin t
 
= ∈ π ⇒ − = − = = =
 
 
.
(


= − + π

⇔ ∈

π

= − + + π


ℝ

( )

k
t
8 2
, k
t k
4

π π

= +

⇔ ∈

π

= − + π

●

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1 x 1
− ≤ ≤
.
●

Đặ
t
2 2 2
x sin t, t ; 1 x 1 sin t cos t cos t cos t
2 2
 
π π
 
= ∈ − ⇒ − = − = = =
 
 
.
(
)
(
)
1 cos t sin t 1 2 cos t


t
cos 0
2
3t 1
sin sin
2 4
2


=

⇔

π

= =




WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM( )t
k


⇔ ∈
π π π π

= + ∨ = +


ℤ
.
●
Do
t ; t t
2 2 6 2
 
π π π π
 
∈ − ⇒ = ∨ =
 
 
.
● Với
1
t x sin
6 6 2
t x sin 1
2 2


π π



Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
2
x 1 0
x 1
x 0


− >


⇔ >


>



.
● Đặt

2 2
2
2 2 2
1 1 1 cos t sin t sin t
x , t 0; x 1 1
cos t 2 cos t
cos t cos t cos t
 




 

( )

2t t k2
4
sin 2t sin t t k2 , k
4 4
2t t k2
4

π

= + + π
 
π π




⇔ = + ⇔ ⇔ = + π ∈







.
Thí dụ 108. Giải phương trình:
( )

1 2x 1 2x
1 2x 1 2x
1 2x 1 2x
− +
− + + = + ∗
+ −

Bài giải tham khảo
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM● Điều kiện:
1 1
x
2 2
− < <
.
● Đặt

2
2
t t
1 2x 1 cos t 2 sin 2 sin
2 2
1 t t


+ −

+


.
( )
t t t t
2 sin 2 cos tan cot
2 2 2 2
∗ ⇔ + = +t t
sin cos
t t
2 2
2 sin cos
2 2 t t
sin cos
2 2
+
 



⇔ + =







− =






⇔
 


=



( )

t 3
k t k2 , k
2 4 2 2
π π π
⇔ − = + π ⇔ = + π ∈
ℤ
.
●
Do

ươ
ng
trì
nh:
(
)
(
)
( )

2
2
2
2
2
x 1
x 1
x 1
2x
2x 1 x
+
+
+ + = ∗
−

Bà
i
giả
i tham
khả

 
 
.
● Ta có:
2 2 2
2
1 1
x 1 tan t 1 x 1
cos t
cos t
+ = + = ⇒ + =
.
2
2 2
2 tan t 2x x 1 1
sin 2t
2x sin 2t
1 tan t x 1
+
= = ⇒ =
+ +
.
(
)
(
)
(
)
( )
2

0
cos t 2 sin tcos t 2 sin tcos tcos2t
⇔ + − =

(
)

2
1 1 1
1 0
cos t 2 sin t
2 sin t 1 2sin t
 
 
⇔ + − =
 
 
−
 
 

(
)
(
)

2 2
2 sin t 1 2 sin t 1 2 sin t 1 0
⇔ − + − − =


sin t sin t k2 t k2 , k
2 6 6 6
π π π
= = ⇔ = + π ∨ = + π ∈
ℤ
.
● Do
3
t ; \ 0; x x tan
2 2 4 6 6 3
   
 
π π π π π

 


∈ − ± ⇒ = ⇒ = =

 



  
 
 
 
.
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
3

ề
u ki
ệ
n:
x 0
3
x
3
x 3


≠





≠ ±





≠ ±



.
( ) ( )



 


= ∈ − ± ±

 



  
 
 
 
.
( )
3
1 cost 3 sin 2t 4 sin 2t sin 6t cos 6t
2
 
π



⇔ = − = = −






= −



ℤ
.
● Do
5 3 3 5
t ; \ 0; ; t ; ; ; ; ; ; ;
2 2 3 6 14 14 10 14 18 14 14 14
     
   
π π π π π π π π π π π π

   


∈ − ± ± ⇒ = − − − −

   



    
 
   
   
.
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM

− = + ∗

Đề nghị Olympic 30 – 04 – 2006
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
x 2
≥
.
● Nếu
x 2
>
thì
(
)
3 2
x 3x x x x 4 x x 2
− = + − > > +
nên phương trình đã cho không
có nghiệm khi
x 2
>
.
● Nếu
2 x 2
− ≤ ≤
thì đặt

x 2 cos t, t 0;
 
= ∈ π

( )

t t
3t k2 3t k2 , k
2 2
⇔ = + π ∨ = − + π ∈
ℤ

( )

k4 k4
t t , k
5 7
π π
⇔ = ∨ = ∈
ℤ
.
● Do

4 4
t 0; t 0 t t
7 5
π π
 
∈ π ⇒ = ∨ = ∨ =
 
 
.
● Vậy nghiệm của phương trình là


n:
1 x 1
− ≤ ≤
.
●

Đặ
t
x cos t, t 0;
 
= ∈ π
 
 
.
(
)
(
)
(
)
3
3 2 2
cos t 1 cos t cos t 2 1 cos t
∗ ⇔ + − = −
(
)

3
3 2 2
cos t sin t cos t 2 sin t


= + = + ⇒ = + ⇔ =





 
.
Do
5 5 1
0 t t sin sin t sin u ; 2
4 4 4 4 4 4 2
   
π π π π π π


 

≤ ≤ π ⇒ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇒ ∈ −



 


 
 
.
( )

2
u 2 N
u 2 u 2 2u 1 0 u 2 1 N
u 2 1 2 L

=



⇔ − + + = ⇔ = − +


= − − < −


.
● Với
( )

2
u 2 sin t 2 sin t 1 t k2 , k x
4 4 4 2
   
π π π
 
 
 
= + = ⇒ + = ⇔ = + π ∈ ⇒ =
 
 

Theo định lí Viét thì
sin t, cos t
là nghiệm của phương trình bậc hai:
(
)
(
)
(
)
2
1 2 2 1 2 3
X 1 2 X 1 2 0 X
2
− ± − +
− − + − = ⇔ =
.
Do
(
)
(
)
1 2 2 1 2 3
sin t 0 x cos t
2
− − − +
≥ ⇒ = =
.
● Vậy phương trình có hai nghiệm
(
)

●

Đặ
t
2
t x 1 x
= + −
.
2
x 2
t' 1 0 x t 1; 2
2
1 x
 
= − = ⇔ = ⇒ ∈ −
 
 
−
.
●
Khi
đó
:
2 2
2x 1 x t 1
− = −
và
( )
3
3 2 3

2
t 2 N
t 2 t 2 2t 1 0 t 1 2 N
t 1 2 L

=



⇔ − + + = ⇔ = −


= − −


.
● Với
2
2
t 2 x 1 x 2 x
2
= ⇒ + − = ⇔ =
.
●
2
1 2 2 2 1
t 1 2 x 1 x 1 2 x

i
ề
u ki
ệ
n:
1 x 1
− ≤ ≤
.
●

Đặ
t

2
2 2
t t
1 x 1 cos t 2 sin 2 sin
x cos t, t 0;
2 2
1 x 1 cos t sin t




− = − = =

 
= ∈ π ⇒

 

2 cos 2t 2 cos
4 2 2
   
π π
 
 
 
⇔ − = +
 
 
 
 
 
   

( )

t t
2t k2 2t k2 , k
4 2 2 4 2 2
π π π π
⇔ − = + + π ∨ − = − − + π ∈
ℤ

( )

k4 k4
t t , k
2 3 10 5
π π π π

10
π
= ∨ =
.
Thí dụ 114. Giả
i ph
ươ
ng
trì
nh:
(
)
(
)
(
)

2 4 2
8x 2x 1 8x 8x 1 1
− − + = ∗

Bài giải tham khảo
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM(
)
(
)

≤ − ⇒
vế trái
(
)
0 2 :
< ⇒
vô nghiệm
(
)
1 :
⇔
vô nghiệm.
● Trường hợp 3.
1 x 1 :
− ≤ ≤
đặt

x cos t, t 0;
 
= ∈ π
 
 
.
(
)
(
)
(
)
2
sin 8t sin t
⇔ =

( )

k2
t
8t t k2
7
, k
8t t k2
k2
t
9 9

π

=

= + π


⇔ ⇔ ∈


= π − + π
π π


π π π π π π
 
⇒ ∈
 
 
 
 
.
Thí dụ 115. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)

2
2 2 2
128x 4x 1 8x 1 1 2x 0
− − + − = ∗
với
1
x 0
2
− < <
.
Học Viện Quân Y năm 2001
Bài giải tham khảo
( )
( ) ( )

 
 
 
 
 
∗ ⇔ ⇔
 
 
 
− < <
− < <
 
 





( )
( )
2 2 2
2
2 2
t
64 cos cos t cos 2t 1
2x cos t, t ;
2

π
 


 

= ∈ π

 
+ − =



 
 




2
2 2 2 2 2 2 2
t
2x cos t, t ; sin 0 2x cos t, t ;
2 2 2
t t t t
64 sin cos cos t cos 2t sin sin 4t sin
2 2 2 21
x cos t, t ;
2x cos t, t ;
2 2
2
4 6 8 2
cos 8t cos t
t ; ; ;
7 7 9 3

 

π




 


= ∈ π
π
 





 

 
 

1 4 1 1 1
x cos ; cos ; cos ;
2 7 2 7 2 9 4
 
 
π π π
 
⇔ = − − −
 
 
 
 
.
Thí dụ 116. Giả
i b
ấ
t ph
ươ
ng
trì
nh:

 
= ∈ π
 
 
.
( )
2
cos t
1 cos t 1 cos t 2
4
∗ ⇔ + + − ≤ −

2 2
t t t
2 cos 2 sin cos
2 4 2 4 2 4
     
π π π
  
  
  
⇔ − ≤ − − −
  
  
  
  
  
     
  
  
⇔ − − − − − + ≥
  
  
  
  
  
     

( )

2
2
t t t
cos 1 cos 2 cos 2 0
2 4 2 4 2 4
   
     
π π π
  
  
   
  
⇔ − − − + − + ≥ ∗ ∗
  
  
   
  
  

x 1;1
 
∈ −
 
 
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 413. Giả
i ph
ươ
ng
trì
nh:
3
8x 6x 3 0
− − =
.
Đ
S:

11 13
x cos x cos x cos
18 18 18
π π π
= ∨ = ∨ =
.
Bài tập 414. Giả
i ph
ươ
ng

u ki
ệ
n
0 x 1, x cos t, t 0;
2
 
π



< ≤ = ∈






WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COMBài t
ập 416. Giải phương trình:
2
2
5
1 x x
2 1 x
+ = +
+

3 4
= ∨ =
.
Bài tập 418. Giải phương trình:
2
2
x
1 x
4x 1
− =
−
.
ĐS:
5 2
x cos x cos x
8 8 2
π π
= ∨ = ∨ =
.
Bài tập 419. Giải phương trình:
2
4 2
x
1 x
16x 12x 1
− =
− +
.
ĐS:


x ; cos ; cos ; cos ; cos
2 16 16 16 16
 
 
π π π π
 
 
∈
 
 
 
 
 
.
Bài tập 421. Giả
i ph
ươ
ng
trì
nh:
(
)
2 2 3 2
2x 4x 1 1 x 4x 1 x
+ − − = + −
.
Đ
S:
2
x

2
1 1
1
x
x 1
+ =
−
.
HD:
Đặ
t
(
)
1
x x 6 2
sin t
= ⇒ = − +
.
Bài tập 424. Giả
i ph
ươ
ng
trì
nh:
2
3 1
1
x
x 9
+ =

1 2 cos sin sin t
2 2
 



+ −





 
= ⇒ = ⇒ =
 



+ − −





 
.
Bài tập 426. Giải phương trình:
2 2
1 1 4x x 1 1 1 2 1 4x
 

+ − + − − = +
 
 
.
HD: Đặt
( )
(
)

1
x cos t, PT 2 sin t 6 cos t 1 0 x
6
= ⇔ + − = ⇒ =
.
Bài tập 428. Giải phương trình:
2 2
1 x 2x 1 2x 1 x
− = − + −
.
ĐS:
3
x cos
10
π
=
.
Bài tập 429. Giải phương trình:
3 2
64x 112x 56x 7 2 1 x
− + − = −

 
∈ ⇒ = − ∨ =

 

= −

 


.
Bài tập 431. Giải phương trình:
( )
2
1 x 1 x x 1 x
3
+ − = + −
.
HD:

2
x cos t, t 0;
2
 
π
 
= ∈
 
 
.

+ =
.
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COMHD
:

x cos t, t 0;
 
= ∈ π
 
 
.
Bài tập 434. Giả
i ph
ươ
ng
trì
nh:
2
2
5x 2
4
x 1
x 1
+ =
+
+

 
 
= ∈ ⇒ ∈
 
 
 
 
   
.
Bài tập 436. Giải bất phương trình:
2
2
1 3x
1 x
1 x
>
−
−
.
HD: Đặt
2 5 2
x sin t, t ; x ;1 1;
2 2 5 2
   
 
π π  
 


 

 
 
= ∈ ⇒ ∈ −
 
 
 
 
.
Bài tập 438. Giải phương trình:
( ) ( )
3 3
2 2
1 1 x 1 x 1 x 2 1 x
 


+ − + − −  = + −





 
.
1984 Vietnamese Mathematical Olympiad
ĐS:
2
x
2
=




.
Bài tập 440. Giả
i ph
ươ
ng
trì
nh:
1 x 1 x x
+ − − ≤
.
Đ
S:
x 1;0
 
∈ −
 
 
.
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
Không có việc gì khó
Chỉ sợ lòng không bền
Đào núi và lấp biển
Quyết chí cũng làm nên
Hồ Chí Minh