Trường THCS – THPT Tây Sơn Sáng kiến kinh nghiệm
Gv: Lưu Văn Định
Tên SKKN: GIÚP HỌC SINH KHÁ, GIỎI VẬN DỤNG KIẾN THỨC
TOÁN HỌC VÀO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TẬP VẬT LÍ NÂNG CAO
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Việc giải các bài tập Vật lí, đặc biệt là các bài tập Vật lí nâng cao đối với
một số học sinh, kể cả học sinh giỏi gặp rất nhiều khó khăn. Nguyên nhân
chính là do các em thiếu vốn kiến thức Toán học hoặc các em đã có một số kiến
thức Toán học, nhưng chưa biết cách vận dụng vào bài toán Vật lí cụ thể để
giải. Qua kinh nghiệm giải bài tập cho thấy, nếu học sinh sử dụng đúng lúc và
sử dụng đúng loại kiến thức toán thì bài giải sẽ trong sáng và rút ngắn bài giải
đáng kể.
Chính vì lẽ đó, tôi đã sưu tầm và mạo muội nêu ra một số bài tập Vật lí
nâng cao, có vận dụng những kiến thức Toán học vào trong bài giải, nhằm củng
cố lại một số kiến thức toán học thường gặp để giúp học sinh vận dụng có hiệu
quả vào việc giải bài tập Vật lí nâng cao trong quá trình bồi dưỡng học sinh
giỏi.
Đề tài này giới hạn trong phạm vi nghiên cứu những kiến thức Toán học
cơ bản nhất, có nâng cao đúng mức ở chương trình THCS, mang tính chất điển
hình, thường được vận dụng trong các bài tập Vật lí nâng cao; nhằm mục đích
phục vụ dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nên tôi chọn đề tài này. “GIÚP HỌC
SINH KHÁ, GIỎI VẬN DỤNG KIẾN THỨC TOÁN HỌC VÀO VIỆC
GIẢI CÁC BÀI TẬP VẬT LÍ NÂNG CAO ”
II. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỤC TIỄN :
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Để thực hiện mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
dưỡng nhân tài” thì công tác bồi dưỡng học sinh giỏi là một trong những
công tác quan trọng bậc nhất mà chúng ta cần thực hiện; nhằm ươm mầm
và phát triển những tài năng tương lai của đất nước.
Vật lí học là một trong các bộ môn được tham gia tổ chức dạy bồi
dưỡng để học sinh dự thi học sinh giỏi các cấp. Đối với một học sinh giỏi

này thì nên dùng những kiến thức Toán nào thì tốt hơn.
Qua nhiều năm dạy bồi dưỡng HS giỏi, tôi đã sưu tầm các bài tập nâng
cao, các đề thi HS giỏi, đề thi vào các trường chuyên. Sau khi giải, phân
tích xem những kiến thức Toán học nào được vận dụng trong bài tập đó
và tìm xem kiến thức Toán nào là điển hình nhất để từ đó phân loại về
mặt kiến thức Toán được vận dụng. Trong quá trình dạy chúng ta có thể
lần lượt đưa ra từng dạng kiến thức Toán học trước, sau đó cung cấp các
bài tập Vật lí có áp dụng kiến thức Toán tương ứng để học sinh giải.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP:
1. Giải pháp:
Có một số bài tập Vật lí khi giải, nếu chúng ta không sử dụng một
kiến thức toán học nào đó thì có thể dẫn đến bài giải rất dài hoặc có thể
không giải được. nên tôi đã áp dụng các kiến thức toán học vào việc giải
một số bài tập vật lí nâng cao, đối tượng áp dụng ban đầu là những học
sinh khá giỏi được đi bồi dưỡng.
Tôi bắt đầu áp dụng giải pháp này từ năm học 2012 – 2013 cho
đến nay. Sau đây là một số ví dụ vận dụng kiến thức Toán học vào việc
giải bài tập Vật lí nâng cao. Nó chỉ mang tính chất gợi ý, tham khảo,
nhằm giúp học sinh khi bắt gặp các dạng bài tập tương tự thì có thể vận
dụng kiến thức toán học thích hợp để giải.
2. Các ví dụ minh chứng cho giải pháp:
a-Vận dụng hệ thức Vi-et :
Trang 2
Trường THCS – THPT Tây Sơn Sáng kiến kinh nghiệm
Gv: Lưu Văn Định
a1) Cơ sở toán học để lí luận :
Nếu hai số x
1
, x
2

-Hai cách mắc khác nhau chỉ có thể là nối tiếp và song song.
-Từ cách mắc nối tiếp ta tính được tổng của hai điện trở, kết hợp với cách
mắc song song ta tính được tích của hai điện trở. Vận dụng định lí Viet
để tính R
1
, R
2
.
Giải : Cách mắc nối tiếp có điện trở tư,ơng đương lớn hơn, nên ta suy ra
được cường độ dòng điện qua mạch nối tiếp là 0,27A, qua mạch song
song là 3A.
Điện trở mạch nối tiếp : R
1
+ R
2
=
I
U
=
27,0
4,5
= 20Ω.
Điện trở mạch song song :
21
21
R
.RR
R+
=
'I

= 36Ω (2) ta phân tích phương trình bậc 2 và đưa về dạng
phương trình tích.
(3) (R
1
-18)*(R
1
-2)=0
 (R
1
-18) =0 Suy ra R
1
= 18Ω Hoặc (R
1
-2)=0 suy ra R
1
= 2Ω Thay R
1
vào (1)
ta được
 R
2
= 18Ω hoặc R
2
= 2Ω.
Các nghiệm đều thoả mãn bài toán.
Bài 2 : Nếu mắc nối tiếp hai điện trở R
1
, R
2
và nối với hai cực của một

U
+
(1)
Khi R
1
mắc song song với R
2
:
P
2
=
21
21
2
)(
RR
RRU +
(2)
Thay các giá trị bằng số vào (1) và (2), 6 =
21
36
RR +
biến đổi ta được :
R
1
+ R
2
= 6 27=
21
6.36

1 + 2 + 3 +…….+ n =
2
)1( +nn
b2) Bài tập vật lí áp dụng
Một xe mô tô chuyển động xem như thẳng đều từ A đến B với
AB = 40,5(km), xe bắt đầu đi từ A và cứ sau 15 phút chuyển động, xe
dừng lại nghỉ 5 phút, cho rằng trong 15 phút đầu tiên xe chuyển động với
vận tốc v
1
= 3,6(km/h) và các khoảng thời gian chuyển động kế tiếp sau
đó xe có vận tốc v
2
= 2v
1
, v
3
= 3v
1
, v
4
= 4v
1
. Tìm vận tốc trung bình của
xe khi đi từ A đến B.
Nhận xét :
-Ta xác định xem trên quãng đường AB = 40,5km có bao nhiêu đoạn
đường ngắn s
1,
s
2

Giải : Quãng đường xe đi trong 15 phút đầu tiên :
S
1
= v
1
t = 3,6.1/4 = 0,9 km
Do đó v
2
= 2v
1
= 3,6.2 = 7,2 km/h
Quãng đường xe đi với vận tốc v
2
(trong 15 phút).
S
2
= v
2
t = 7,2.1/4 = 1,8 km
Tương tự V
3
= 3v
1
= 3.3,6 = 10,8 km/h
Quãng đường xe đi với vận tốc v
3
(trong 15 phút)
S
3
= v

Tổng thời gian mô tô chuyển động :
t
1
= n.15 = 9.15 = 135 phút
Tổng thời gian mô tô nghỉ :
t
2
= (n – 1)5 = (9 – 1)5 = 40 phút
Vận tốc trung bình của mô tô là :
v
tb
= s/(t
1
+ t
2
) = 40500/10500 = 3,857 m/s.
c-Hệ số góc của đường thẳng :
c1)Cơ sở toán học để lí luận :
-Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là đường thẳng có hệ số góc tgα = a ( a>0)
Cho 2 đường thẳng có hàm số tương ứng là :
y = a
1
x + b
1
và y = a
2
x + b
2
.
2 đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a

chuyển động của hai vật là hai đường thẳng song song nhau thì hai vật đó có
cùng vận tốc chuyển động thẳng đều.
c2)Bài tập áp dụng :
Đoạn đường AB dài 36 km. Có ba người đi từ A đến B nhưng chỉ có một
xe đạp nên đi như sau : Ba người xuất phát từ A cùng một lúc. Người thứ
nhất chở người thứ hai đến điểm C và để người thứ hai tiếp tục đi bộ đến B.
Người thứ nhất quay lại gặp người thứ ba tại D và chở người thứ ba đến B.
Cả ba người đến B cùng một lúc. Biết rằng vận tốc đi bộ là 5 km/h và vận
tốc đi xe đạp là 15 km/h.
a. Dùng đồ thị biểu diễn chuyển động của ba người để chứng tỏ quãng
đường đi bộ của người thứ hai và người thứ ba bằng nhau.
b. Tính tổng quãng đường mà người thứ nhất đã đi.
Nhận xét :
-Dựa vào dữ kiện bài toán vẽ dạng đồ thị chuyển động của ba người trên
cùng một hệ trục toạ độ (không cần số liệu).
-Các vận tốc bằng nhau và chuyển động cùng chiều thì các đoạn đồ thị
tương ứng phải song song nhau.
-Các đoạn thẳng song song và bằng nhau thì hình chiếu của chúng trên
cùng một trục sẽ bằng nhau.
Giải :
Trang 6
s
t
A
B
C
B’
D
C’
(III)

Cho các số: a
1
, a
2
, a
3
,…, a
n
. Trung bình cộng của n số đó là:
a
tb
=
n
aaa
n
+++
21
Trong Vật lí học, ta thường gặp nhiều biểu thức mà trong đó, đại lượng
này được biểu diễn dưới dạng một hàm số, có chứa biến số là một đại
lượng kia. Việc tính giá trị trung bình của một đại lượng biến thiên có ý
nghĩa hết sức quan trọng; bởi vì giá trị trung bình của một đại lượng biến
thiên, đựơc xem như độ lớn của đại lượng đó và được dùng để tính toán
trong các biểu thức nhằm xác định một đại lượng khác cần tìm.
Trang 7
Trường THCS – THPT Tây Sơn Sáng kiến kinh nghiệm
Gv: Lưu Văn Định
Đối với các biểu thức Vật lí dưới dạng hàm số bậc nhất, biến thiên theo
biến số; khi tính giá trị trung bình ta chỉ cần tính trung bình cộng của giá
trị đầu tiên và giá trị cuối cùng.
d2)Bài tập vận dụng :

Tỉ số
t
QA −
là công suất hao phí do trao đổi với bên ngoài. Hàm số
P = 100+t biểu diễn công suất hao phí, biến thiên theo thời gian, nên ta
tính giá trị trung bình P
tb
từ giây thứ 0 đến giây thứ t:
+ Ở giây thứ 0: P
0
= 100+t = 100(W)
+ Ở giây thứ t: P
t
= 100+t (W)
P
tb
=
2
200
2
0
t
PP
t
+
=
+
Vậy
t
QA −

2
≥− ba
dấu “ = ”xảy ra khi và chỉ khi a = b.
e2)Bài tập áp dụng:
Bài 1: Hai xe máy chạy theo hai con đường vuông góc với nhau, cùng tiến
về phía ngã tư giao điểm của hai con đường. Xe A chạy từ hướng Đông về
hướng Tây với vận tốc 50km/h. Xe B chạy từ hướng Bắc về hướng Nam với
vận tốc 30km/h. Lúc 8h sáng xe A và xe B còn cách ngã tư lần lượt là 4,4km
và 4km. Tìm thời điểm mà khoảng cách hai xe:
a) Nhỏ nhất.
b) Bằng khoảng cách lúc 8h sáng.
Nhận xét :
-Vì hai con đường vuông góc với nhau nên ta áp dụng định lí Pitago để
tính bình phương khoảng cách giữa hai xe.
-Biến đổi để có dạng bình phương của một tổng đại số.
Giải :
a) Chọn gốc thời gian là lúc 8h.
+Sau thời gian t, xe A cách O một đoạn:
OA =
ttv 504,44,4
1
−=−
+Sau thời gian t, xe B cách O một đoạn:
OB =
ttv 3044
2
−=−
Áp dụng định lí Pitago:
AB
2

Bắc Nam
1
v

2
v

Trường THCS – THPT Tây Sơn Sáng kiến kinh nghiệm
Gv: Lưu Văn Định
AB
2
=
36,1
10
1
3400
2
+






−t
mà:
36,10
10
1
3400

Vậy ta cần tìm t để bình phương khoảng cách giữa hai xe là 35,36km.
Tức là AB
2
= 3400t
2
– 680t + 35,36 = 35,36
Suy ra t(3400t – 680) = 0





===
=
phutht
t
122,0
3400
680
0
Vậy thời điểm để khoảng cách giữa hai xe bằng khoảng cách lúc 8h sáng
là: 8h + 12phút = 8h 12phút.
f-Bất đẳng thức Côsi :
f1) Cơ sở toán học để lí luận:
Cho 2 số a, b
0≥
ta có:
ab
ba
≥

R
A B
C
M
N
+
Trường THCS – THPT Tây Sơn Sáng kiến kinh nghiệm
Gv: Lưu Văn Định
- Tích giữa hai số hạng có chứa biến số là một hằng số thì áp dụng được
bất đẳng thức Côsi.
Giải :
a) Cường độ dòng điện lớn nhất khi con chạy C ở vị trí A, và nhỏ nhất khi
con chạy C ở vị trí B của biến trở.
- Ở vị trí A ta có: 4,5 = U/R
1
(1)
- Ở vị trí B: 0,9 =
120
1
+R
U
(2)
Giải hệ phương trình trên ta được: R
1
= 30Ω ; U = 135V.
b) Gọi R
x
là phần điện trở của biến trở từ A đến C, thì công suất toả nhiệt
trên phần đó là:
P

x
x
x
xxx
++
=
++
=
+
(3)
Để P
x
đạt giá trị cực đại, mẫu số của nó phải cực tiểu tức là lượng








+
x
x
R
R
R
2
1
cực tiểu.

= 30Ω và biến đổi ta được phương trình bậc 2:
R
2
x
– 60R
x
+ 900 = 0
Giải phương trình trên ta được R
x
= 30Ω = R
1
. Thay vào (3) ta được:
P
max
= 135
2
/120 = 151,875(W).
IV-HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:
Việc trang bị cho học sinh khá, giỏi những kiến thức toán học cơ bản là
cần thiết. Qua đó giúp học sinh không những phân loại được bài tập, về phương
diện Vật lí, mà còn phân loại bài tập về phương diện kiến thức Toán học được
vận dụng. Qua thực tế giảng dạy cho thấy, những học sinh có kiến thức toán
vững chắc và phong phú, sau khi phân tích bài toán Vật lí, các em biết ngay cần
phải áp dụng kiến thức Toán học nào vào trong bài tập đó; qua đó các em cũng
thấy được, có thể có nhiều cách vận dụng kiến thức toán vào trong một bài tập
Vật lí; đồng thời các em biến đổi bài toán rất linh hoạt, trình bày bài giải chặt
chẽ, gọn gàng.
Trang 11
Trường THCS – THPT Tây Sơn Sáng kiến kinh nghiệm
Gv: Lưu Văn Định

2011-2012 8 2 25 6 75
2012-2013 5 1 20 4 80
Năm học
Số
H
S
Biết áp dụng kiến thức toán
làm bài tập vật lí một cách
linh hoạt
Chưa biết áp dụng kiến
thức toán vào làm bài tập
SL % SL %
2011-2012 8 5 62,5 3 37,5
2012-2013 5 4 80 1 20
Trường THCS – THPT Tây Sơn Sáng kiến kinh nghiệm
Gv: Lưu Văn Định
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:
Qua quá trình giảng dạy vật lí thì tôi thường yêu cầu học sinh học đến
đâu thì hệ thống kiến thức lại đến đó, đặc biệt là hệ thống công thức để vận
dụng. Vậy tôi đề xuất các giáo viên dạy toán cũng nên yêu cầu học sinh tự hệ
thống các công thức toán học đã học và giáo viên bổ sung thêm một số công
thức có liên quan.
Ở cấp THCS chưa được học về bất đẳng thức Côsi, Bunhia côpxki, còn
những kiến thức khác như: giá trị trung bình cộng, hệ số góc, parabol, tính chất
dãy tỉ số bằng nhau.v.v… Tuy được học rồi nhưng nhiều HS quên đi hoặc còn
nhớ nhưng chưa biết cách vận dụng chúng vào trong từng bài tập Vật lí cụ thể.
Bởi vậy việc bồi dưỡng kiến thức Toán và phương pháp vận dụng kiến thức
Toán vào việc giải các bài tập Vật lí là rất quan trọng.
Việc áp dụng đề tài này vào thực tiễn giảng dạy có thuận lợi là một số
kiến thức Toán học được sử dụng có học trong chương trình chính khoá nên

được trang bị kiến thức toán đầy đủ.
Bảng: Kết quả khảo sát chất lượng sau khi thực hiện đề tài
Phiếu thăm dò ý kiến của đồng nghiệp ( trong tổ chuyên môn) Khả năng áp
dụng đề tài?
Trang 14
Năm học
Số
H
S
Biết áp dụng kiến thức toán
làm bài tập vật lí một cách
linh hoạt
Chưa biết áp dụng kiến
thức toán vào làm bài tập
SL % SL %
2011-2012 8 2 25 6 75
2012-2013 5 1 20 4 80
Năm học
Số
HS
Biết áp dụng kiến thức toán
làm bài tập vật lí một cách
linh hoạt
Chưa biết áp dụng kiến
thức toán vào làm bài tập
SL % SL %
2011-2012 8 5 62,5 3 37,5
2012-2013 5 4 80 1 20
Trường THCS – THPT Tây Sơn Sáng kiến kinh nghiệm
Gv: Lưu Văn Định

điện có hiệu điện thế không đổi là 5,4V. Biết rằng cách thứ nhất có cường độ
chạy qua toàn mạch là 0,27A, cách thứ hai là 3A. Tính điện trở R
1
, R
2
.
Nhận xét :
-Hai cách mắc khác nhau chỉ có thể là nối tiếp và song song.
-Từ cách mắc nối tiếp ta tính được tổng của hai điện trở, kết hợp với cách
mắc song song ta tính được tích của hai điện trở. Vận dụng định lí Viet
để tính R
1
, R
2
.
Giải : Cách mắc nối tiếp có điện trở tư,ơng đương lớn hơn, nên ta suy ra
được cường độ dòng điện qua mạch nối tiếp là 0,27A, qua mạch song
song là 3A.
Điện trở mạch nối tiếp : R
1
+ R
2
=
I
U
=
27,0
4,5
= 20Ω.
Điện trở mạch song song :

+ R
2
= 20Ω. (1)
Trang 15
Năm học
Số
gv
Một môn học
Nhiều môn học
SL % SL %
2011-2012 10 8 80 3 20
2012-2013 11 10 90,9 1 9,1
Trường THCS – THPT Tây Sơn Sáng kiến kinh nghiệm
Gv: Lưu Văn Định
R
1
.R
2
= 36Ω (2) ta phân tích phương trình bậc 2 và đưa về dạng
phương trình tích.
(3) (R
1
-18)*(R
1
-2)=0
 (R
1
-18) =0 Suy ra R
1
= 18Ω Hoặc (R

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây)
- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả
tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 
Trang 16
Trường THCS – THPT Tây Sơn Sáng kiến kinh nghiệm
Gv: Lưu Văn Định
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả
tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Trong
Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 
NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN
MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)