MỤC LỤC
STT

Nội dung
TrangLỜI NÓI ðẦU
2

1
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUYÊN
Lê Xuân ðại, Trần Ngọc Thắng - Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

3
2
TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2 ðỂ GIẢI
QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Trường THPT chuyên Hưng Yên

39
3
DÃY SỐ SỐ HỌC
Trường THPT Chuyên Biên Hoà – Hà Nam

48
4
ỨNG DỤNG ðẠO HÀM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Nguyễn Thành ðô - Trường THPT Chuyên Bắc Ninh


ðỊNH LÝ PHECMA VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG
Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Nam ðịnh

155
11
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ðỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ ðỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỐ
NGUYÊN TỐ
Nguyễn Văn Thảo - Trường THPT Chuyên Bắc Giang160
12
SỬ DỤNG PHÉP ðỒNG DƯ TRONG BÀI TOÁN CHIA HẾT
Trường THPT chuyên Hưng Yên173
13
MỘT VÀI BIẾN ðỔI VÀ ỨNG DỤNG ðƠN GIẢN TRONG SỐ HỌC
Dương Châu Dinh - Trường THPT chuyên Lê Quý ðôn - Quảng Trị

181
14
PHƯƠNG PHÁP GEN
Phạm Quang Thăng - Trường THPT Chuyên Thái Bình

190
15
p
 


236 HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV


2 1
1
1
n n n
F F
F F F n
+ +
= =


= + ∀ ≥


Dễ dàng thấy công thức tổng quát của dãy
( )
n
F
là:
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
F
 
   
+ −
 
= −
   

chia hết cho
m
F
.
3. Nếu
n
F
chia hết cho
m
F
thì n chia hết cho m với m>2.
4.
( , )
n m d
F F F
=
với
( , )
d m n
=
.
5. Nế
u
5
n
≥
và
n
F
là s

t nguyên t
ố
cùng nhau.
7.
5
5 .
n n n
F F q
=
v
ớ
i
n
q
không chia h
ế
t cho 5.
8.
5
k
n
F n k
⇔
M M
.
9.
n
F
có t
ậ

c c
ơ
b
ả
n c
ủ
a dãy Fibonacci:
1.
1 2 2
1
n n
F F F F
+
+ + + = −

2.
1 3 2 1 2

n n
F F F F
−
+ + + =

3.
2 4 2 2 1
1
n n
F F F F
+
+ + + = −

1 1 2
.
n n n n
F F F F
+ − +
− =
.
7.
2
1 2 2 3 2 1 2 2

n n n
F F F F F F F
−
+ + + =

8.
1 2 3
. . ( 1)
n
n n n n
F F F F
+ + +
− = −

9.
4
2 1 1 2
1
n n n n n

HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 5
Nh
ữ
ng s
ố
h
ạ
ng c
ủ
a dãy Lucas có th
ể
coi nh
ư
gi
ố
ng v
ớ
i dãy Fibonacci b
ở
i hai
dãy này
ñề
u có cùng h
ệ

2
2. Thặng dư bậc hai

2.1. ðịnh nghĩa.
Ta g
ọ
i là m
ộ
t th
ặ
ng d
ư
b
ậ
c hai modulo (hay là m
ộ
t s
ố

chính ph
ươ
ng ) n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i s
ố
nguyên sao cho , trong

ng .
(ii) N
ế
u . Khi
ñ
ó
là s
ố
chính ph
ươ
ng khi và ch
ỉ
khi ;
không là s
ố
chính ph
ươ
ng khi và ch
ỉ
khi .
2.3. Kí hiệu Legendre.
Gi
ả
s
ử
là s
ố
nguyên t
ố
l

ng h
ỗ
Gauss: N
ế
u là hai s
ố
nguyên t
ố
l
ẻ
thì: HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 6
3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2.
3.1. ðịnh nghĩa.
Ph
ươ
ng trình sai phân tuy
ế
n tính c
ấ
p hai
ẩ

ng quát c
ủ
a (1) có d
ạ
ng , trong
ñ
ó là nghi
ệ
m t
ổ
ng
quát c
ủ
a (2), còn là m
ộ
t nghi
ệ
m riêng nào
ñ
ó c
ủ
a (1).
ðể
tìm nghi
ệ
m c
ủ
a (2)
ñầ
u tiên ta l

ươ
ng trình
ñặ
c tr
ư
ng (3) có nghi
ệ
m kép thì:

TH3. N
ế
u ph
ươ
ng trình
ñặ
c tr
ư
ng (3) có nghi
ệ
m ph
ứ
c
v
ớ
i .
Khi
ñ
ó:
Ở


n
a
xác
ñị
nh b
ở
i
0 1
0; 1
a a
= =
và
1 1
3
( 1)
2
n
n n n
aa a
+ −
− +
= −

v
ớ
i m
ọ
i n nguyên d
ươ
ng. Ch

ó
2 2 2 2 2 2
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
; ; ; ; ;F F F F Fa a a a a
F
a
= = = = = =
,
ở

ñ
ó
( )
n
F
là dãy
Fibonacci.

HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 7
T
ừ

ñ
ó ta có

v
ớ
i m
ọ
i
k n
≤
. Nh
ư
v
ậ
y
2 2 2
1 1 2 2
; ;
n n n n n n
a F a a
F F
− − − −
= = =
(1)
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta có
1 1
3 2( 1)

− − + = ≥
(2)
T
ừ
(1) và (2) suy ra
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
1 1 2 1 1 2
2 2 2 2
1 2 2 1
2 2

n n n n n n n n n
n n n n
F F F F F F F F
F F
a
F F
+ − − − − −
+ − − +
= + − = + + − −
= + − =

V
ậ
y

và
3 2 1
2 2
n n n n
a
a a a
+ + +
= + −

v
ớ
i m
ọ
i n nguyên d
ươ
ng. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
n
a
là s
ố
chính ph
ươ
ng v
ớ
i m
ọ

ứ
ng minh r
ằ
ng
n
a
chia h
ế
t cho n v
ớ
i m
ọ
i
1
n
≥
.
Lời giải
. T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta có
4 5 6
12; 25; 48
a a a
= = =
.

là dãy Fibonacci.
T
ừ

ñ
ó ta có
ñị
nh h
ướ
ng ch
ứ
ng minh
n n
a nF
=
v
ớ
i m
ọ
i
1
n
≥
b
ằ
ng quy n
ạ
p theo
n.
Bài toán 4.


= − + − + ∀ ≥



Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
n
a
+
là s
ố
chính ph
ươ
ng v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
.

HỘ




+ Ta ch
ứ
ng minh b
ằ
ng quy n
ạ
p theo n:
(
)
2
2 2
, 0
n n
F F
n
a n
α β
= + ∀ ≥
(1)
D
ễ
th
ấ
y (1)
ñ
úng v
ớ
i n = 0, 1, 2.

α β α β α β
α β
− − − −
+ +
+ − −
− = − − − −
= + + − +
= +

Suy ra
(
)
1 1 1 1
2
4 2 2 2
2
n n n n
F F F F
n
a
α β α β
+ + + +
= + + = +
. Do
ñ
ó (1)
ñượ
c ch
ứ
ng minh.

ủ
a
2 2
P m n
= +
, trong
ñ
ó m, n là
các s
ố
nguyên tho
ả
mãn
1 ; 1981
m n
≤ ≤
và
2 2 2
( ) 1
n mn m
− − =
.
Lời giải
. Ta xét các nghi
ệ
m nguyên d
ươ
ng
( , )
x y

>
)
+ Xét b
ộ

( ; )
m n n
+
ta có:
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 1
m n m n n n n mn m
+ − + − = − − − =

Suy ra
( ; )
m n n
+
c
ũ
ng là m
ộ
t nghi
ệ
m c

(
)
2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 1
m m n m n m n mn m
− − − − = − − − =

Suy ra
( ; )
m n m
−
c
ũ
ng là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a (1).
- N
ế
u
2 2 2
2 ( ) 2 1 ( 1)
m n m n m n n m m n mn m m
≤ − ⇒ ≥ ⇒ − ≥ ⇒ − − > >
(vô lí)
- N

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 9
Quá trình ph
ả
i d
ừ
ng l
ạ
i và k
ế
t thúc
ở
nghi
ệ
m
( ,1) ( 1)
n n
>
. Chú ý thêm r
ằ
ng
(2, 1) là b
ộ
duy nhât tho
ả
mãn (1) mà
1
n

.
Nh
ư
v
ậ
y, giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a P b
ằ
ng giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
2 2
1
n n
F F
−
+

ng
2 2
1597 987
+
.
Bài toán 6.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng
4
n
≥
thì
1
n
F
+
không
là s
ố

≥
sao cho
1
n
F
+
là s
ố
nguyên t
ố
. Khi
ñ
ó t
ừ
(1) thì
1
n
F
+
chia
h
ế
t ít nh
ấ
t m
ộ
t trong các s
ố

2 1 1 2

+
+
.
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p
ñầ
u tiên thì
(
)
(
)
1 1 1
1| 1| ( 1) ( 1) 1| 1
n n n n n n n n
F F F F F F F F
− − −
+ + ⇒ + + + − ⇒ + −
(vô lí)
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p th
ứ
hai thì
(
)

nguyên
( )
n
x
:
0 1
3; 11
x x
= =
và
2 1
2 7 0
n n n
x x x n
+ +
= + ∀ ≥
.
Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
nguyên d
ươ
ng l
ẻ
a sao cho v
ớ
i m

c
3 (mod8)
n
x
≡

* Ch
ọ
n
3; 1
m n
= =
thì theo gi
ả
thi
ế
t t
ồ
n t
ạ
i
k
+
∈

sao cho
11 (mod8)
k
a≡
Suy ra


HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 10
- V
ớ
i
1
m
=
thì ta ch
ọ
n
1
k
=
tho
ả
mãn
- V
ớ
i
2,3
m
=
thì ta ch

ng minh bài toán b
ằ
ng quy n
ạ
p theo m.
Gi
ả
s
ử
v
ớ
i
3
m
>
t
ồ
n t
ạ
i s
ố

m
k
sao cho
2 2 .
m m
k k
m m
n n

+
=
.
-

N
ế
u b l
ẻ
, ch
ọ
n
2
1
2
m
m m
k k
−
+
= +
.
Khi
ñ
ó
( ) ( )
(
)
(
)

)
(
)
2 2 2
1
2 2 2 1
1 2 . . 2
m m m
m m
k k
m m
n n n n n m
x a x x a a x x b a q
− − −
+
+
− = − + − = +
M
.
V
ậ
y s
ố

1
m
k
+
tho
ả

n có r
ấ
t nhi
ề
u
ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a dãy tuy
ế
n tính c
ấ
p hai là tính
ch
ấ
t sau
ñ
ây:
Cho dãy tuy
ế
n tính c
ấ
p hai
( )
n
u
:
2 1

ở
i:
1 2
2 1
20; 30
3 , 1
n n n
a a
a a a n
+ +
= =


= − ∀ ≥


Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
nguyên d
ươ
ng n sao cho
1
1 5
n n
a a
+

⇒
+ = HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 11
* Xét v
ớ
i
4
n
≥
, ta có:
(
)
2
2 2
1 1 1
2
n n n n n n
a a a a a a
+ + +
+ = + +
, nh
ư

n n n n n
n n n n
n n
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a
a a a a
a a
+ + − −
+ − − −
+ − −
+ − −
+
+ = + + − +
= + − + + −
= + −
= + − +
= −

Do
ñ
ó
(
)
2
1 1 1
5 500 5 1
n n n n n n
a a a a a a
+ + +

+ + +
+ + = + + + +
n n n n n n
a a a a a a(
)
2
1 1
501 5 1
+ +
> + + = +
n n n n
a a a a
V
ậ
y
(
)
(
)
2 2
1 1 1
5 1 1
n n n n n n
a a a a a a
+ + +
+ < + < + +
nên

Cho dãy s
ố
nguyên
( )
n
a
:
1 2
2; 7
a a
= =
và
2
1
1
1 1
, 2
2 2
n
n
n
a
a n
a
+
−
− < − ≤ ∀ ≥
.
Ch
ứ

1 1
1 1
2 2
n n
n
n n
a a
a
a a
+
− −
− < ≤ +
. Do
ñ
o
ạ
n
2 2
1 1
1 1
;
2 2
n n
n n
a a
a a
− −
 
− +
 

ấ
t.
Ta có ngay
1 2
3 2 (*)
n n n
a a a
− −
= +
v
ớ
i
3,4,5
n
=
. Ta hy v
ọ
ng (*) c
ũ
ng chính là
công th
ứ
c truy h
ồ
i cho dãy
( )
n
a
. Tuy nhiên vi
ệ

ñ
ây là
ñ
i xét m
ộ
t dãy
( )
n
b
có tính
ch
ấ
t nh
ư
dãy
( )
n
a
r
ồ
i ch
ứ
ng minh
n n
a b
=
.
Ta xét dãy s
ố


n
≥
thì
2 2
1 1
. ( 2)
n
n n n
b b b
−
+ −
− = −
.
Ta c
ũ
ng d
ễ
dàng có
2
n
n
b
>
b
ằ
ng quy n
ạ
p
T
ừ

nh duy nh
ấ
t nên
n n
a b
=
v
ớ
i m
ọ
i
1
n
≥
.
Khi
ñ
ó
1 2
3 2 , 3
n n n
a a a n
− −
= + ∀ ≥
và ta có ngay
n
a
là s
ố
l

n n
x
x ax b n
+
=


= + ∀ ≥


Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i cách ch
ọ
n a,b thì trong dãy
( )
n
x
t
ồ
n t
ạ
i vô h
ạ

ớ
n h
ơ
n
t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
n tho
ả
mãn. Khi
ñ
ó
m
x
là s
ố
nguyên t
ố
v
ớ
i m
ọ
i
m N
>
.
Ch

( ) (mod )
n n
x t a x t p
+
− ≡ −

Ti
ế
p t
ụ
c quá trình và
ñặ
t bi
ệ
t v
ớ
i m=n ta
ñượ
c
1
1
( ) (mod ) ( ) (mod )
p
m p m m
x t a x t p x t p
−
+ −
− ≡ − ≡ −

Hay

a
xác
ñị
nh b
ở
i:
0
2
1
1
7 45 36
, 0
2
n n
n
a
a a
a n
+
=



+ −
= ∀ ≥


.
Ch
ứ

n n
a a
+
−
là s
ố
chính ph
ươ
ng v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
.
Lời giải
.
a) Ta có
1
5
a
=
và d
ễ
th
ấ
y ngay dãy
( )

7 9 0
n n n n
a a a a
+ +
− + + =
(1)
T
ừ
(1) ta c
ũ
ng có
2 2
1 1
7 9 0
n n n n
a a a a
− −
− + + =
(2)
T
ừ
(1) và (2) suy ra
(
)
(
)
2 2
1 1 1 1
7 0
+ − + −

b) T
ừ
(1) ta có
( ) ( )
2
2
1
1 1 1
9 1 1
3
n n
n n n n n n
a a
a a a a a a
+
+ + +
+
 
+ = − ⇒ − =
 
 
.
Do
ñ
ó
1
. 1
n n
a a
+

1
2
4 15 60, 0
n n n
a
a a a n
+
=



= + − ∀ ≥


.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng s
ố

( )
2
1
8
5
n
b a
= +

ñượ
c:
1 1
8 0, 1
n n n
a a a n
+ −
− + = ∀ ≥

T
ừ

ñ
ó tìm ra
(
)
(
)
4 15 4 15
n n
n
a = + + − .
Nh
ậ
n xét : V
ớ
i m
ỗ
i
1

2 2
4 15 4 15 15 4 15 4 15 15 2
n n n n
k k
 
+ + − = ⇒ + + − = −
 
  HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 14
Do
ñ
ó
( )
2 2 2 2
2
1
8 3 2 ( 1) ( 1)
5
n
b a k k k k
= + = + = − + + +
và ta có


.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u có b
ố
n s
ố
h
ạ
ng liên ti
ế
p c
ủ
a dãy
( )
n
u
là s
ố
nguyên thì m
ọ
i
s
ố
h

ạ
ng
1 2 3
; ; ;
m m m m
u u u u
+ + +
là s
ố
nguyên, t
ừ
(1) suy ra
m
b
và
1
m
b
+
là s
ố
nguyên. T
ừ

ñ
ó suy ra b là s
ố
h
ữ
u t

+ + +
= −


= −


N
ế
u a là s
ố
vô t
ỉ
thì t
ừ
2 h
ệ
th
ứ
c trên suy ra
1 2
0
m m
u u
+ +
= =
, suy ra b=0, m
ẫ
u
thu

= =


= − =


Khi
ñ
ó
[
]
( )
n
Q x x
∈
 , môníc và
deg ( ) 1
n
Q x n
= −
.
Ta có
( )
n n
Q a u
=
,
ñặ
c bi
ệ

ñ
a th
ứ
c
[
]
( )
P x x
∈

và môníc nên
a
∈

. V
ậ
y m
ọ
i s
ố
h
ạ
ng c
ủ
a dãy
( )
n
u
là s
ố

= − ∀ ≥
 HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 15
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ộ
t c
ặ
p
2
( ; )a b ∈

, v
ớ
i
a b
≤

ñể

1
( ; ) ( ; )
n n
a b x x
+
=
.
Bài toán 8.
Cho a,b là các s
ố
nguyên l
ớ
n h
ơ
n 1. Dãy
( )
n
x
xác
ñị
nh b
ở
i:
0 1
2 2 1 2 2
2 1 2 2 1
0; 1
( 1)

.
n m n m n
x x x
+ + − +
chia h
ế
t cho
1
.
m m
x x
−
.
3. Phương pháp sử dụng giới hạn của dãy số
Ta có m
ộ
t tính ch
ấ
t r
ấ
t thú v
ị
v
ề
gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ

i
0
n n
≥
thì
n
a a
=
”
Bài toán 1.
Cho dãy s
ố
nguyên
0
( )
n n
a
≥
tho
ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
1 2
0 7 10 9, 0
n n n

a
=
.
Lời giải
.
ð
ây qu
ả
th
ự
c là m
ộ
t bài toán r
ấ
t khó. T
ừ
gi
ả
thi
ế
t dãy
( )
n
a
nguyên và k
ế
t lu
ậ
n
c

x
là dãy t
ă
ng;
( )
k
y
là dãy
gi
ả
m và
k k
x y
≤
v
ớ
i m
ọ
i k.
Dãy
( )
n
a
b
ị
ch
ặ
n nên hai dãy
( )
k

Do
;
k k
x y
∈

nên t
ồ
n t
ạ
i
0
n
sao cho v
ớ
i m
ọ
i
0
n n
≥
thì
;
n n
x x y y
= =
.
T
ồ
n t

m m m
a x a a y x y
+ +
= ≤
⇒
+ ≥
(2).

HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 16
T
ừ
(1), (2) và x,y là s
ố
nguyên suy ra
0
x y
= =
.
Do
ñ
ó
lim 0
n
a

n n
a c
a
a a n
−
−
=



 
= − + ∀ ≥

 
 


Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ồ
n t
ạ
i s
ố
t
ự
nhiên

ợ
c
lim 3
n
a
=
.
+ D
ễ
ch
ứ
ng minh b
ằ
ng quy n
ạ
p
3 1
n
a n
≥ ∀ ≥
.
+ T
ừ

ñ
ó suy ra ngay dãy
( )
n
a
gi

. Cho dãy s
ố
nguyên
( )
n
a
tho
ả
mãn
trong
ñ
ó là các s
ố
nguyên và m là s
ố

nguyên d
ươ
ng l
ớ
n h
ơ
n 1. G
ọ
i là s
ố
d
ư
trong phép chia cho m. Khi
ñ

Ta s
ẽ
ch
ứ
ng minh bài toán t
ổ
ng quát v
ớ
i m
ọ
i s
ố
t
ự
nhiên n, t
ồ
n t
ạ
i vô h
ạ
n s
ố

h
ạ
ng c
ủ
a dãy Fibonacci chia h
ế
t cho n.

ỗ
i c
ặ
p s
ố
d
ư
theo
modulo n nên t
ồ
n t
ạ
i
1
( , )
i i
F F
+
tho
ả
mãn
i i m
F F
+
≡
và
1 1
i i m
F F
+ + +

ụ
c d
ẫ
n
ñế
n
(mod ) 0
j j m
F F n j
+
≡ ∀ ≥

Suy ra
0 2
0 (mod )
m m
F F F n
≡ ≡ ≡ ≡
, t
ứ
c là có vô h
ạ
n các s
ố

km
F
tho
ả
mãn yêu



= + + ∀ ≥

.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng m luôn t
ồ
n t
ạ
i s
ố
t
ự
nhiên n sao cho
các s
ố

1 2

ả
s
ử

(mod ); 0 1
n n n
a r m r m
≡ ≤ ≤ −
.
Xét các b
ộ
ba
1 2
( , , )
n n n
r r r
+ +
. Khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i hai s
ố
nguyên
p q
<
sao cho:
1 1 1 1

ñượ
c:
(mod )
q k p k
a a m k
+ +
≡ ∀
.
Do
ñ
ó
(mod )
k q p k
a a m k
− +
≡ ∀
.
ðặ
t
*
t q p
= − ∈

thì
(mod )
k k t
a a m k
+
≡ ∀


≡ ≡ −


≡ ≡


V
ớ
i h
ñủ
l
ớ
n thì
4
ht
− ∈

. Khi
ñ
ó
ñặ
t
4
n ht
= −
ta
ñượ
c:
1 2
0(mod ), 1(mod ), 2(mod )

nh b
ở
i:

HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 18

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) M
ọ
i s
ố
h
ạ
ng c
ủ
a dãy
ñề
u là s
ố
nguyên d

. Cho dãy s
ố

( )
n
x
xác
ñị
nh b
ở
i:
0 1
2
1 1
;
5 3 1
n n n n
x a x b
x x x a n
+ −
= =


= − + ∀ ≥

.
Ch
ứ
ng minh r
ằ

x
xác
ñị
nh b
ở
i:
0 1
2 1
22; 9
. 1 0
n n n
x x
x x x n
+ +
= =


= + ∀ ≥

.
a)

Cho p là s
ố
nguyên t
ố
. Ch
ứ
ng minh r
ằ

x p
M
và
1
k
≥
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng dãy
( )
n
x
tu
ầ
n hoàn k
ể
t
ừ
ch
ỉ
s
ố

n k
≥
.

III- KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUYÊN QUA CÁC

a
+
+
 
= +
 
 
v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
2 1
2
n
n n n
a a a
+ +
− =
v


HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 19
Hướng thứ nhất.
Ta th
ử
d
ự

ñ
oán dãy s
ố

(
)
n
a
là dãy tuy
ế
n tính d
ạ
ng
2 1
n n n
a pa qa r

= + +
, v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
ta
ñượ
c h
ệ
:
3 10 4
10 3 34 2
34 10 116 0
p q r p
p q r q
p q r r
+ + = =
 
 
+ + = ⇔ = −
 
 
+ + = =
 

Do

ng hai cách sau
ñ
ây:
Cách 1.
Ta ch
ứ
ng minh b
ằ
ng quy n
ạ
p công th
ứ
c truy h
ồ
i (1). Th
ậ
t v
ậ
y, tr
ướ
c
h
ế
t t
ừ

ñẳ
ng th
ứ
c

n n
n n
a a a n
−
> > > = ∀ ≥
. (2)
Ta d
ễ
th
ấ
y (1)
ñ
úng v
ớ
i
0
n
=
, ta gi
ả
s
ử
(1)
ñ
úng
ñế
n
0
n k
= ≥

2 1 1 1 1 1
1 1
2
2 2
k k k
k k k k k k k k
k k
a a a
a a a a a a a a
a a
+
+ + + − + −
+ +
− = − ⇒ − = −

(
)
2 2
2 1 2
2
1 1 1 1
1 1 1 1
4
2 4 4
2 4 2 4
k k k
k k k k
k k k k
k k k k
a a a

a a a
a a a a a a a a
− +
+ −
+ + + +
+ + −
+ + + + + + + +
−
⇒ − = + − = + = + = +

(do (3)). K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (2) ta
ñượ
c:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 3
1 1 1 1
4 2 1 4 2 1 1
k k k k
k k k k k
k k k k
a a a a
a a a a a
a a a a

úng v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
.
T
ừ

ñẳ
ng th
ứ
c (1) ta suy ra
ñượ
c:
( )
2 2
2 1 1
2 1 2 1 1 1
1
2 2
4 2 2 2 .
n
n n n n
n n n n n n n n n
n n
a a a a

= =
và
2 1
4 2
n n n
b b b
+ +
= −

0
n
∀ ≥
. T
ừ
cách xác
ñị
nh dãy
(
)
n
b
ta
ñượ
c:
2 2
2 1 1
2 1 1 1
1
2 2
2 2
20
2
1
2
2
n
n
n
n n
b
b
b b
+
+
⇒ = +
(4)
B
ằ
ng quy n
ạ
p d
ễ
th
ấ
y dãy
(
)
n

b b n
b b b b b b
+ + + + +
+ +
   
< = + < + ⇒ = + = + ∀ ≥
   
   
(6)
T
ừ
(6) suy ra dãy
(
)
n
b
c
ũ
ng th
ỏ
a mãn:
0 1
1, 3
b b
= =
và
2
1
2
1 , 0

a a a
+ +
− =
v
ớ
i m
ọ
i s
ố
t
ự
nhiên
n
.
Hướng thứ hai.
Ta s
ẽ
d
ự

ñ
oán
ñẳ
ng th
ứ
c
2 1
4 2
n n n
a a a

v
ớ
i m
ọ
i s
ố
t
ự
nhiên
n
.
Khi
ñ
ó ta có:

( )
2 2
2 1 1 2 0
2 1 1 1
1 1
2 2 2
2 4
n n n n
n n n n n n
n n
a a a a a a
a a a a a a
a a a
+ + −
+ + + −

ng minh theo h
ướ
ng th
ứ
nh
ấ
t.
Nhận xét 1.
T
ừ
cách xác
ñị
nh c
ủ
a dãy
0 1
1, 3
a a
= =
và
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a

ó ta có:
2 2
1 1
2
2
1
n
n n
n
n n
a a
a
a a
+ +
+
   
+
= + =
   
   
. T
ừ

ñ
ó ta
ñề
xu
ấ
t bài toán sau:
Bài 1.2

+
+
 
+
=
 
 
v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
2 1
2
n
n n n
a a a
+ +
− =
v

Bài 1.3(IMO Shortlist 1988)
Cho dãy s
ố

(
)
n
a
th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
0 1
2, 7
a a
= =
và
2
1
2
1
2
n
n
n

( )
2
2 1
2
n
n n n
a a a
+ +
− = −
v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
.
Bài 1.4 (VMO 1997, bảng B)
Cho dãy s
ố
nguyên
(
)
,
n
a n
∈



a)

Tính s
ố
các
ướ
c nguyên d
ươ
ng c
ủ
a
2
1 2
n n n
a a a
+ +
−
theo
n
.
b)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 1
1997 4.7
n

nh nh
ư
sau:
0 1
2
1
2
1
2
, 0,1,2,
n
n
n
a a
a
a n
a
+
+
= =


+

= =



Ch
ứ


ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư
sau:
0 1
2
1
2
1
2
, 0,1,2,
n
n
n
a a
a
a n
a
+
+
= =


 
+

= =

2
2012 1 0
x x
− − =
.

Xét dãy s
ố

( )
n
x
:
[
]
10
,
0
1;
n n
ax nx x
+
= ∀ ≥
=
. Tìm ph
ầ
n d
ư
khi chia
2012

ố

là m
ộ
t s
ố
chính ph
ươ
ng.
Lời giải.

Hướng thứ nhất.
Ta tính
ñượ
c

nên ta d
ự

ñ
oán , trong
ñ
ó
Ta s
ẽ
tìm tính ch
ấ
t c
ủ
a dãy .

ó ta có h
ướ
ng gi
ả
i nh
ư
sau: Ta l
ậ
p dãy
ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư
sau:
và v
ớ
i m
ọ
i Sau
ñ
ó ta s
ẽ
ch
ứ
ng
minh v
ớ
i m
ọ

c v
ớ
i m
ọ
i

Cách 2.
Ta ch
ứ
ng minh b
ằ
ng quy n
ạ
p
ñẳ
ng th
ứ
c trên. Th
ậ
t v
ậ
y, t
ừ
cách xác
ñị
nh
c
ủ
a dãy ta ch
ỉ

ñượ
c công th
ứ
c t
ổ
ng
quát: . Khi
ñ
ó ta ch
ứ
ng minh
ñượ
c: Bài tập tương tự.
Bài 2.1 (Problem M1174, Kvant)
. Cho dãy s
ố
nguyên
ñượ
c xác
ñị
nh b
ở
i:
và v
ớ
i m
ọ

xác
ñị
nh b
ở
i
0 1
0; 1
a a
= =
và
1 1
3
( 1)
2
n
n n n
aa a
+ −
− +
= −

v
ớ
i m
ọ
i n nguyên d
ươ
ng. Ch
ứ
ng minh r

i:
0 1
1, 1
a a
= = −
và
2 1
6 5
n n n
a a a
+ +
= +
v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2012
2010
a
−
23
2
6 5 0 3 14
x x x− − = ⇔ = ±
, ta th
ấ
y nghi
ệ
m này l
ẻ
nên công th
ứ
c c
ủ
a
n
a
s
ẽ
ph
ứ
c
t
ạ
p. Do bài toán ch
ỉ
yêu c
ầ

n n
a b≡ ∀

Bây gi
ờ
ta s
ẽ
ch
ọ
n dãy
(
)
n
b
th
ỏ
a mãn:
0 1
1, 1
b b
= = −
và
(
)
2 1
6 5
n n n
b b k b
+ +
= + +

x x k k
− − − = ⇒ ∆ = +
,
ñể

'
∆
là s
ố
chính ph
ươ
ng ta s
ẽ
ch
ọ
n
2011
k
=
. Nh
ư

v
ậ
y ta xây d
ự
ng dãy
(
)
n

ng trình
ñặ
c tr
ư
ng
2
6 2016 0 48; 42
x x x x
− − = ⇔ = = −
, khi
ñ
ó
( )
1 2
48 42
n
n
n
b c c= + −
và k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
0 1
1, 1
b b
= = −

≡
(
)
2011
42 42 mod2011
≡
do v
ậ
y ta thu
ñượ
c:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2012 2012
90 1 41.48 49.42 90 mod 2011 0 mod 2011 1 0 mod 2011
b b+ ≡ + + ≡
⇒
+ ≡

hay
2012
2010
b

2010
a
−
chi h
ế
t cho 2011.
Hướng thứ hai.
T
ừ
dãy truy h
ồ
i
2 1
6 5
n n n
a a a
+ +
= +
ta s
ẽ
tìm công th
ứ
c t
ổ
ng quát cho
n
a
.
+) Ph
ươ

ñ
ó: (3)
Và (4)
D
ễ
dàng ch
ứ
ng minh
ñượ
c: (5)
Ta có suy ra
v
ớ
i m
ọ
i . Do
ñ
ó theo (3) và (4) ta
ñượ
c:

HỘ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ðỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV 24
và , t
ừ

n
=
ta
ñượ
c:
( ) ( ) ( )
2011
2011
2011
90 41.48 49. 42 41.48 49.42 mod 2011 90 mod 2011
b = + − ≡ − ≡ −
,
suy ra
2011 2011
1 2011 1 2011
b a
+
⇒
+
M M
. T
ừ

ñ
ó ta có bài toán sau:
Bài 3.1
Cho dãy s
ố
nguyên
(

ng minh r
ằ
ng
2011
2010
a
−
chia h
ế
t cho
2011
.
Nhận xét 3.
N
ế
u trong (1) thay
n
b
ở
i s
ố
nguyên t
ố

5
p
>
ta
ñượ
c:

= = −
và
2 1
6 2016
n n n
a a a
+ +
= +
v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
.
Ch
ứ
ng minh
1
p
a
+
chia h
ế
t cho
p
, trong
ñ

là s
ố
nguyên t
ố
l
ớ
n
h
ơ
n 5 ta
ñượ
c:
( ) ( ) ( )
( )
1
1 2 2
1
1 1
90 41.48 49. 42 41.48 49.42 mod 180900 mod
90 2010 2010
p
p
p
p p
b p p
b p b p
+
+
+
+ +

ọ
i
0
n
≥
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
2010
p
a
+
−
chia h
ế
t cho
p
, trong
ñ
ó
p
là m
ộ
t s
ố
nguyên t

ấ
y s
ố
nguyên t
ố
th
ỏ
a mãn
hay là s
ố
chính ph
ươ
ng .
Do v
ậ
y trong
bài toán 3
ta có th
ể
thay s
ố
nguyên t
ố
b
ằ
ng s
ố
nguyên t
ố


a a a
+ +
= +
v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
.
Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
nguyên t
ố
sao cho là s
ố
chính ph
ươ
ng và
chia h
ế
t cho .
Lời giải.
Tr

ỉ
khi ho
ặ
c
.
TH1. . Khi
ñ
ó ta có: t
ừ

ñ
ó x
ả
y ra hai kh
ả
n
ă
ng sau:
+) N
ế
u ( ) thì
hay ta
ñượ
c
.
+) N
ế
u ( ) thì
hay ta
ñượ

nên ta lo
ạ
i tr
ườ
ng h
ợ
p
.
V
ậ
y t
ấ
t c
ả
các s
ố
nguyên t
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng:
.
Chú ý
các s
ố
nguyên t
ố
có d

ạ
ng .
Ta tr
ở
l
ạ
i ch
ứ
ng minh
bài 3.4
.
Ta s
ẽ
d
ự
a theo h
ướ
ng gi
ả
i th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a
bài toán 3
. Do là s
ố
chính ph

)
2
2 1
6 9
n n n
b b m b
+ +
= + −

v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
,
d
ễ
th
ấ
y là s
ố
th
ỏ
a mãn . Khi
ñ
ó ph
ươ

b b
= = −
ta
ñượ
c:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2
1
2 4 3 4 3
2 4 3 4 3 4 3 4 3 mod
n n
n
p p
p
mb m m m m
mb m m m m m m m m p
+ +
+
= + + + − −
⇒ = + + + − − ≡ + + + − −
⇒