1

LỜI MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.
Trong khoa học cũng như trong thực tiễn, chúng ta thường gặp các hiện
tượng ngẫu nhiên- đó là những hiện tượng mà chúng ta không thể khẳng định
một cách chắc chắn rằng chúng có xảy ra hay không xảy ra. Lý thuyết xác suất
là một ngành toán học nghiên cứu các quy luật và các quy tắc tính toán trong thế
giới ngẫu nhiên- một thế giới tưởng chừng không có quy luật. Ngày nay lý
thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học lớn, vừa có tầm lý thuyết ở trình
độ cao, vừa có phạm vi ứng dụng rộng rãi trong khoa học cũng như trong cuộc
sống thực tiễn. Lý thuyết xác suất là cơ sở khoa học để nghiên cứu Thống kê-
môn học với chức năng thu thập thông tin, chọn mẫu, xử lý thông tin nhằm đưa
ra các kết luận cần thiết nhằm phục vụ cho nghiên cứu khoa học và đời sống
thực tiễn. Ngày nay với sự hỗ trợ tích cực của máy tính và công nghệ thông tin
Lý thuyết xác suất thống kê đã không ngừng phát triển và có mặt trong nhiều
ngành khoa học khác.
Trong lý thuyết xác suất, nghiên cứu sự hội tụ của tổng các đại lượng
ngẫu nhiên đang là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm. Nếu như đối
với dãy số (a
n
) chỉ có duy nhất một kiểu hội tụ tới giới hạn a thì đối với dãy các
biến ngẫu nhiên (X
n
), sự hội tụ của nó tới giới hạn X lại có nhiều dạng khác nhau
được xây dựng trên nền tảng của lý thuyết độ đo và giải tích hàm. Trên cơ sở đó
chúng ta có thể tìm hiểu về sự hội tụ của tổng các đại lượng ngẫu nhiên. Đây là
một vấn đề lý thú, nó đã thực sự khơi dậy trong tôi niềm đam mê tìm hiểu và
khám phá những kết quả về sự hội tụ của tổng các đại lượng ngẫu nhiên; các
điều kiện để chuỗi hội tụ theo một nghĩa nào đó.

về sự hội tụ của chuỗi các đại lượng ngẫu nhiên độc lập.

3

Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT.
1.1. Đại số và

- đại số
1.1.1. Đại số. Giả sử

là một tập tùy ý khác

. P (

) là tập hợp gồm
tất cả các tập con của

, A

P (

). A được gọi là một đại số nếu:
A1.

A ;
A2.
A

A
A

- đại số nếu nó là đại
số và ngoài ra:
A4.
n
A

,
1
1,2,
n
n
n A


  

,
1
n
n
A




.
1.2. Độ đo xác suất. Giả sử
  
, A là một



    


A thì :
1 1
( ) ( )
i i
i i
P A P A
 
 

 
.
1.3. Không gian xác suất. Giả sử
  
, là một

- đại số các tập con
của

và P: 



là độ đo xác suất. Khi đó bộ ba
(

,,P) gọi là một không
Họ hữu hạn các biến cố A
1
,A
2
,…,A
n
gọi là độc lập (toàn cục) nếu với
mọi
2
k n
 

và mọi bộ k chỉ số
1
1
k
i i n
   
ta có:
4

1 2 1
2
( . ) ( ). ( ) ( ).
k k
i i i i i i
P A A A P A P A P A


A

là họ biến cố độc lập (độc lập đôi một).
Họ đại lượng ngẫu nhiên


i
i I
X


gọi là độc lập nếu họ

- đại số(A
)
i
i I
X


độc lập.
1.5. Hội tụ hầu chắc chắn.Giả sử dãy (X
n
) là dãy đại lượng ngẫu nhiên
xác định trên cùng một không gian xác suất
(

,,P).
Định nghĩa 1.5.1. Dãy đại lượng ngẫu nhiên
( )

n
k n
P X X



 
  
 
 
, với mọi
0


.
HÖ qu¶ 1.5.3. Nếu chuỗi
1
( )
n
n
P X X



   

hội tụ víi mäi
0



a. Nếu
. .h c c
n
X X
 thì
P
n
X X
 .
b. Nếu
P
n
X X
 thì tồn tại dãy con


k
n
X

sao cho
. .
k
h c c
n
X X

.
1.7. Hội tụ trung bình. Dãy đại lượng ngẫu nhiên


n
F x
, X có
hàm phân phối
( )
F x
và
( )
C F
là tập tất cả các
x


mà tại đó F( x) liên tục.
Khi đó, nếu
lim ( ) ( )
n
n
F x F x


, với mọi
( )
x C F

thì ta nói
( )
n
X


0


bất kỳ:
( ) 0,( , )
n m
P X X m n

   

Dãy (X
n
) được gọi là dãy cơ bản theo trung bình bậc p nếu với mọi
0



bất kỳ:
0,( , )
p
n m
E X X m n
   

1.10. Bất đẳng thức Markov
Giả sử
p
E X
 
,

( )
DX
P X EX


  
.
1.12. Bổ đề Borel - Cantelli. Giả sử (A
n
) là dãy các biến cố ngẫu nhiên.
a. Nếu
1
( )
n
n
P A


 

thì
(limsup ) 0.
n
n
P A


b. Nếu
1
( )

n
) hội tụ h.c.c khi và
chỉ khi dãy ( X
n
) cơ bản theo nghĩa h.c.c
6

1.14. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ theo xác suất. Dãy (X
n
) hội tụ
theo xác suất khi và chỉ khi (X
n
) là dãy cơ bản theo xác suất.
1.15. Hệ quả (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn)
Giả sử
n
p
X X


và
(sup )
n
n
E X
 

thì 0;
n n
E X X EX EX

d. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x
1
,x
2
….,x
n
,….với
các xác suất tương ứng p
1
.,p
2
,…,p
n
,…thì:
.
i i
i
EX x p


.
e. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ p(x) thì:
( )
EX xp x dx





.

được gọi là hàm đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên X.
7

Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ TIÊU CHUẨN
HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP

2.1. Một số bất đẳng thức cơ bản
Giả sử
( )
n
X
là dãy các đại lượng ngẫu nhiên, ta kí hiệu

1
k
k i
i
S X



.
2.1.1. Bất đẳng thức Kolmogorov
2.1.1.1. Định lí. Giả sử
1
, ,
n
X X
là những đại lượng ngẫu nhiên độc lập
với

 

 


b. Nếu


1
ax 1
k
k n
P m X c
 
 
thì:


2
2
1
( )
ax 1
k
n
k n
k
k
c
P m S


1
, , , 2, , ;
k k
A S S k n
 
   


1
ax
k n
k
A m S

 
 

1
; ( )
n
k i j
k
A A A A i j

    



Ta có:

.
Mặt khác ta có:
2 2 2 2
1 1 1
2 2
1
ES ( )
( ) 2 ( )
k k k
k k k
n n n
n A n A n A n k k A
k k k
n
n k A k A k A n k
k
ES I I E S I E S S S I
E S S I S I S I S S
  

   
    
   
   
 
 
    
 
 
 


Vì
( )
n k
S S

và
k
k A
S I
độc lập;
( ) 0
n k
E S S
 

nên
( ) ES ( ) 0
k k
k A n k k A n k
ES I S S I E S S
   
và
2
( ) 0
k
n k A
E S S I
 
do đó:

2
( )
n
k
k
P A



 

Hay


2
2
1
1
1
ax
n
k k
k n
k
P m S
 

 

 

2
2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
1
2
2
1
ES I ES ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (2)
k k k
k k
k k
n n A A n A
A A
k
n n n
n
k k
k k k
n n n n
n n
k k
k k k
k
n
n

2 2 2 2 2
1
ES ( ) ( ) ( )
ES ( ) ( )
n
n k
k
n
n k
k
P A P A c
P A c
   
   


 
    
 
 
 
     
 
 



9

2 2

   

 
 


  
     
 
   
  

 
 

Hay


2
2
1
( )
ax 1
k
n
k n
k
k
c
P m S

 
 
 

;
b.
2
1
sup (2.1.1.4)
k
k n
k n
n
P S S



 
 
 
 
 

k
DX
.
Chứng minh
a. Đặt Y
1
=Y

DY DX
  

 
. Áp dụng định lý Kolmogorov cho (Y
m
) ta
được :
   
( )
1
2
1
1
2
P ax max , 0
m
k
Y
k
k m k
n k m k m
m
k
k n
DY DX
m S S P S
  



 
  
k n
( S S )
,
,
m n
  
.
Suy ra B
m
đơn điệu tăng và sup
k n
m n
k
m n
B S S




  


10

Suy ra tồn tại:

2 2
1 1

(sup )
k n
k n
k
n
k
DX
P S S




 
  


2.1.2. Bất đẳng thức P. Levy
2.1.2.1. Định lí. Nếu
1 2
, , ,
n
X X X
là những đại lượng ngẫu nhiên độc lập
và đối xứng thì:




1
ax 2 , 0 (2.1.2.5).

, ; ε; ;
k k
A S S A S S S
   
      
1
.
Ta có:
1
; ( ).
n
k i j
k
A A A A i j

   



Mặt khác ta có:



 
1
1
( ),
( ),
.
n k k n

hay
( ) ( ), 1,2, ,
k k k
A A B A B k n
  

.
Theo giả thiết do
1 2
, , ,
n
X X X
độc lập và đối xứng nên
n
S
và

n
S
cùng
phân phối và có :
( ) ( ) ( ) 2 ( )
k k k k
P A P A B P A B P A B
  

.
Vì
A B B
 


2.1.3. Bất đẳng thức Ottaviani
2.1.3.1. Định lí. Giả sử
1 2
, , ,
n
X X X
là những đại lượng ngẫu nhiên độc
lập. Khi đó, với
0


nào đó:
 
1 1
1
ax
2
n k
k n
m P S S

  
  
(2.1.3.6)
Thì:






1 1 2 1 2 1 1
2 , 2 ); 2 , , 2 ; ; 2 ; 2
k k k
A S A S S A S S S
     

        


; 1; 1,
k n k n
B S S k n B

      

Ta có:
1
1
; ( );
n
n
k i j k k
k
k
A A A A i j A B B


     


k k k k k k k
k k k k
P B P A B P A B P A P B P A P A
   
    
   

( ) 2 ( )
P A P B
 
.
Hay




1
ax 2 2
k n
k n
P m S P S
 
 
  
.
2.1.3.2. Định lí. Giả sử
1 2
, , ,
n
X X X

     

.
Chứng minh
Đặt
1 2 1 2
1
1
( ax ); ( ); ( ); ( ; ); ;
k n
k n
A m S a B S a A S a A S a S a
   
 
            
1
1
( ; ; ; )
k k
k
A S a S a S a
  

      

( ); 1, .
k n k
B S S k n

   

k n
 ) và
( ) 1
k
P B

 
.
Do đó, ta có:
1
1 1 1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )
n n
k k k k
k
n n n
k k k
k k k
k
P B P A B P A B
P A P B P A P A
 

  

 
    
 

 
là đối xứng
hóa của X.
Tổng quát: Giả sử


, 1
n
X n


là dãy các đại lượng ngẫu nhiên. Ta định
nghĩa


*
, 1
n
X n


là đối xứng hóa của


, 1
n
X n

.
*


  


là median của X.
Chứng minh
a. Do X và X’ có cùng phân phối nên các median của chúng bằng nhau
hay ta có: mX = mX’.
Ta có:
* '
( ) [( ) ( ' ) )] [( ) ;( ' ') 0]
( ). ( ' ' 0)
P X P X mX X mX P X mX X mX
P X mX P X mX
  

          
    

'
( ). ( ' )
1
( ) )
2
P X mX P X mX
P X mX


   
  




Chứng minh (i):
Từ bất đẳng thức (2.1.4.10) ta thay X bằng –X thì ta được:
*
*
( ) ( ) )
( ( ) ) 2 ( )
2 ( )
P X mX P X mX
P X mX P X
P X
 
 

      
      
 

Kết hợp với (2.1.4.10) suy ra (i).
Chứng minh (ii):
Ta có:
*
'
X X X
 

suy ra:
*



, 1
n
X n

là dãy các đại lượng ngẫu nhiên. Nếu dãy các tổng
riêng
1
n
n k
k
S X



hội tụ theo nghĩa nào tới S thì ta nói chuỗi
1
k
k
X



hội tụ theo
nghĩa ấy và gọi S là tổng của nó.
2.2.1. Định lí P.Levy. Nếu


, 1




hội tụ hầu chắc chắn.
Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh
( ) ( ) ( )
a b c
 
.
(a)

(b): Giả sử chuỗi
1
k
k
X



hội tụ theo phân phối nhưng không hội tụ
theo xác suất. Nghĩa là dãy
( )
n
S
không cơ bản theo xác suất. Khi đó tồn tại
0


và dãy

sao cho:
 
sup
2
n
n
P S a

 
.
Từ đó:






2 , ( , ).
n m n m
P S S a P S a P S a m n

       
Nghĩa là, họ


, 1
n m
S S
P n m



  

    

Từ đó, ta có:
  
 
. Như vậy
0
 

với
0

là độ đo xác suất tập trung
tại 0, tức là
0
( ) 0
B


nếu
0
B

và
0
( ) 1
B




hội tụ theo xác suất, ta chứng minh
1
k
k
X




hội tụ
h.c.c.
Thật vậy, giả sử
P
n
S S

. Khi đó
(0;1)

 
, tồn tại
0
m
sao cho nếu
0
n m m
 

(**)
Với mọi
0


cho trước, ta chọn

: 0 min 1,
2

 
 
 
 
 
. Khi đó, từ (**) ta
suy ra:
lim(sup )
1
m
j m
mj
S S





  


,
1
n

) là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập và
hai chuỗi
1
n
n
EX




và
1
n
n
DX



hội tụ

thì chuỗi
1
n
n
X


n
) Cauchy trong L
2
, suy ra (S
n
) hội tụ trong L
2
hay
1
n
n
X




hội tụ
trung bình cấp 2.
2.2.2.2. Định lí ( Định lý Kolmogorov – Khichin). Giả sử (X
n
) là dãy các
đại lượng ngẫu nhiên độc lập,
0
n
EX

. Khi đó:
a. Nếu
2
1

1
n
n
EX





.
Chứng minh
a. Do
( )
n
X

độc lập,
0
n
EX

;
1
n


và
2
1
n

m n
 
.
Áp dụng bất đẳng thức Markov ta có với mọi
0


:
   
2
2
0,
m n
m n m n
E S S
P S S P S S m n
 


         
.
Suy ra
( )
n
S

hội tụ theo xác suất và do đó theo định lí 2.2.1.1, dãy
( )
n
S

( )
(sup ) 1
k
k
n
n
n k
k
c
P S S







   


Nếu
2
1
k
k



 





2.2.2.3. Hệ quả. Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập. Khi
đó, nếu
1n
n
DX


 


thì
1
( )
n n
n
X EX





hội tụ h.c.c.
Chứng minh
Đặt
n n n

n
n
EY




hội tụ. Áp dụng định lý Kolmogorov - Khinchin cho (Y
n
)
ta được điều phải chứng minh.
2.2.2.4. Hệ quả. Nếu (
n
X
,
n 1

) là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập và
hai chuỗi
n
n 1
EX



và
n
n 1
DX




hội tụ h.c.c (*).
Mặt khác:
n n n n
X (X EX ) EX
  
(**)
Từ (*), (**) và chuỗi
n
n 1
EX






(giả thiết ), suy ra
n
n 1
X




hội tụ h.c.c 

Bây giờ, ta xét trường hợp


b. Chuỗi
n
n 1
X



hội tụ trung bình cấp 2.
c.
n
n 1
DX



và
n
n 1
EX




hội tụ.
Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh
(a) (c)

.
Nếu cần phải mở rộng không gian xác suất

 

thì


'
n n
P X X 2c 1
  
.
Ta có chuỗi
'
n n
D(X X )


hội tụ và do đó :
'
n n n
n 1 n 1
1
DX D(X X )
2
 
 
 
 
hội tụ.
Do chuỗi
n


Mệnh đề 2.2.2.6. Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập,
EX
n
= 0, DX
n
=1 và tồn tại số
c
 
:
( ) 1
n
P X c
 
, n

1 (2.2.2.12)
Nếu (
n
a
) là dãy số thực bất kỳ thì chuỗi
1
n n
n
a
X



n
a X



hội tụ h.c.c
(hiển nhiên).
Ngược lại, nếu chuỗi
2
1
)
(
n n
n
a X




hội tụ h.c.c thì dãy (
2
n
a
) bị chặn. Thật
vậy, giả sử (
2
n
a
) không bị chặn, khi đó tồn tại dãy
2


nên dãy
2 2
n n
a X
bị chặn bởi ac
2
với xác suất
1.
Theo định lí 2.2.2.5 ta có chuỗi
2
1
)(
n n
n
aE X


 

. Áp dụng định lý
Kolmogorov- Khinchin suy ra chuỗi
1
n n
n
a
X







hội tụ h.c.c, suy ra (S
n
) hội tụ theo phân
phối.
19

Do đó tồn tại:
 
1
( 1)
lim lim
k
n
k
it
n
n
S
t e









X



hội tụ h.c.c.
Thật vậy, từ giả thiết
1
n
n
EX



hội tụ ta suy ra
1
n
n
DX



hội tụ (X
n
có phân
phối Poisson nên ta có EX
n
=DX
n
)
Theo tiêu chuẩn 2 chuỗi suy ra





hội tụ.
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử
1
n
n
X



hội tụ h.c.c .Khi đó
1
n
n
X



hội tụ theo phân
phối, suy ra tồn tại
 
2
2
1
)
(

n
n




hội tụ, khi đó, ta có:
0
n
EX

,
2
1
n
n



 


2
1 1
2
1
n n
n n
n
n


hội tụ thì chuỗi
1
n
n
X




hội tụ h.c.c.
20

b. Nếu ( ) 0, 1,
n
P X c n c
   


và chuỗi
1
n
n
X



hội tụ h.c.c thì chuỗi
1
n


  
.
Suy ra


n
S
là dãy Cauchy theo xác suất, suy ra


n
S
hội tụ theo xác suất.
Mặt khác


n
S
là dãy tăng do đó


n
S
hội tụ h.c.c hay chuỗi
1
n
n
X


n
n
EX



hội tụ.
2.2.2.10. Định lí. Giả sử


, 1
n
X n

là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập,
chuỗi
1
n
n
X



hội tụ h.c.c đến S,
1
n
n k
k
S X


b.
1
sup
n p
n
X L


, tức là
1
sup
p
n
n
E X

 
 
 
 
;
c.
p
S L

, tức là
p
E S
 
;

  
Vậy ta có
1 1
sup 2sup
n n
n n
X S
 

.
Do đó, khi
1
Esup
p
n
n
S

 
ta suy ra
1
Esup
p
n
n
X

 
. 
(a)


Mặt khác ta có:
p
E S
 

nên
1
Esup
p
n
n
S

 
.
Vậy theo định lí Lebesgue về hội tụ bị chặn ta có:
p
L
n
S S

.
Mệnh đề 2.2.2.11. Giả sử (X
n
) là dãy đại lượng ngẫu nhiên. Khi đó :
a. Nếu chuỗi
1n
n
X



   


Chứng minh
a. Theo giả thiết chuỗi
1n
n
X



hội tụ h.c.c, nên
0
n
X 
h.c.c.
Suy ra với mọi
0:



(sup ) 0
k n
k
P X


 

n
S S n

   
.
suy ra
h.c.c
sup 0
m n
m
n
k
k n
Z X


 


22

nếu
nếu

suy ra 0,
n
P
Z n
  
.


Suy ra dãy (Y
n
) là dãy giảm và hội tụ theo xác suất đến 0, suy ra:
. .
0,
h c c
n
Y n
  
.
Do đó (S
n
) là dãy cơ bản h.c.c nên chuỗi
1n
n
X



hội tụ h.c.c.
Mệnh đề 2.2.2.12 . Giả sử (X
n
) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
Khi đó, nếu chuỗi
1
n
n
X


( ) . ( ) 1
X Y
t t
 

, với mọi
t



Suy ra:
2 2
( ) ( ) 1
X Y
t t
 
 
hay
* *
( ) ( ) 1
X Y
t t
 
 

Do đó X*=0, Y*=0 h.c.c.
Vậy X và Y h.c.c bằng hằng số.
Từ đó suy ra rằng nếu:
1
1

X c
X c



23

2.2.3.1. Định lí ( Tiêu chuẩn ba chuỗi)
Giả sử (X
n
) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó
1
n
n
X




hội tụ h.c.c
khi và chỉ khi 3 chuỗi :
1
( )
n
n
P X c





X




hội tụ h.c.c. Ta cần chứng minh 3
chuỗi
1
( )
n
n
P X c




;
1
c
n
n
DX



và
1
c
n
n


h.c.c
1
c
n
n
X




héi tô

hai chuỗi
1
c
n
n
DX




và
1
c
n
n
EX





;
1
c
n
n
EX




và
1
c
n
n
DX




hội tụ,
ta chứng minh chuỗi
1
n
n
X






hội tụ (**).
Chuỗi
1
( )
n
n
P X c


  

, suy ra:
)
1 1
( ( ) (***)
c
n n n
n n
P X X P X c
 
 
    
 

24


:


 
là song ánh bất kỳ. Khi đó, nếu chuỗi
1
n
n
X



hội tụ
h.c.c thì chuỗi
1
( )
n
n
X




hội tụ.
Thật vậy, nếu chuỗi
1
n
n
X


1
( )

n
n
P X c



 
  
 
 

;
1
( )
n
c
n
DX



 

.
Mặt khác
1
( )



hội tụ h.c.c nếu và chỉ nếu
1
2
2
1
n
n
n
X
E
X


 
 
 

 

.
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử
2
1
n
n
X


1
n
n n
n
X
Y X
X
 


25

Mà
2
1
n
n
X




hội tụ h.c.c nên chuỗi
1n
n
Y





n
n
n
X
E
X


 
 

 


hội tụ.
Điều kiện đủ: Giả sử
2
2
1
1
n
n
n
X
E
X


 
 

( )
1
1
n
n
n
X
X




 






Từ (*) suy ra
2
( )
2
( )
0
1
n
n
X
X

1
n
n
n
X
X n n
X




  

(**)
Từ (*) và (**) suy ra
2
1
( )
n
n
X



 

( với mọi
A

